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Comptes rendus de l'Académie des Sciences, t. XL, i85j.

En représentant par ox un polynôme du cinquième ou du sixième degré en x^ et posant

on sait, par les travaux de Gopel et de M. Rosenhain, que x ^y et xy s'expriment par des fractions dont le numérateur et le dénominateur sont des fonctions des arguments u et r, qui ont une valeur unique et finie pour toutes les valeurs finies réelles ou imaginaires de ces arguments. Ces illustres géomètres ont en même temps donné, sous une forme analogue, l'expression analytique de treize autres fonctions de u et de v qui dépendent algébriquement, mais d'une manière irrationnelle, des deux premières. Comme elles sont aussi à sens unique pour toutes les valeurs finies des arguments, il est impossible de ne pas les conserver dans le calcul, et le système complet des quinze fonctions se présente dans l'étude des transcendantes abéliennes du premier ordre, comme ûnamu^ cosamu et Aamu dans la théorie des transcendantes elliptiques. Je désignerai ces quinze fonctions par /i{ih ^)t Ai^^: ^)-! -- -, fisif^i ^)y

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et pary(i/, p) l'une quelconque d'entre elles. Semblablement, je nommerai F^ (w, r), F^i^^ ^), • • ., F<5(w, v) les fonctions de même nature auxquelles on parviendrait en prenant pour point de départ les équations

où a, [3. y, 8 sont des constantes et iix un polynôme du cinquième ou du sixième degré en x. Maintenant je poserai, comme il suit, le problème de la transformation des fonctions abéliennes du premier ordre :

Le polynôme ox étant donné, déterminer les coefficients de ^x et les constantes a, [3, y, S, de telle sorte que les quinze fonctions F(?^, ç) puissent s'exprimer rationnellement par les quinze fonctions f{u^ v)*

On sait que les fonctions symétriques rationnelles de^etj^', définies comme fonctions de u et ^ par les équations (i), possèdent quatre paires de périodes simultanées, et que ces périodes, ou au moins leurs doubles, appartiennent aux quinze fonctions f{u^ v). Ainsi, en désignant par les lettres to et u les indices simultanés de périodicité, on aura quatre relations de cette forme

/(if ~{-LOi, P^-U,) =/(w, i^), /(u-hMs, ç~\-^J:i) .=zf(u, t^).

Mais il existe entre ces périodes, telles qu'on les tire du calcul intégral, une liaison exprimée par l'équation suivante :

(3) cijo'^a — Ws'Jo -I- a)i'j2 — W2'Ji ~ o.

Et si l'on nomme Q/ et T/ les quantités analogues à to/ et u/, dans les fonctions F(i^, r), on aura de même

<4 ) i'K ^\ — ^h Vo H- ^^1 V2 — Q^ Vi = o .

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Cela posé, si l'on demande que les fonctions F(Uj p») s'expriment rationnellement parles fonctions /"(w, ^), il faudra évidemment que les périodes simultanées o>/ et ui appartiennent à F, et soient, par suite, des sommes de multiples entiers des périodes Q/ et T/. On de\ra donc avoir ces relations linéaires à coefficients entiers.

savoir

ÙQ = aoQo-\- aiQi-\-a2i22-i- «3^3? '->o = <^o^"o-^ «iVi-t- aA\-\- a^Y^^, L>i — bç^Qo-^ OiQi-i- 62Û24- ^3^3, '^1 = bo^\-^ ^i^^-i- ^2^'2-t- à^Yi,

d^Qi

0)2 = CqÛo -+- Cl Qi-I- C2Û2 -f- C3 Û3, '^2 = Co lo"^ '^l ^1^^ ^2 ^2 -4- C3 I3, CO3 = <io ^0 -r- di Ûi -{- <i2 ^2 + <^3 ^3, '^3 = <^^0 ^"o "^ <^1 ^^-+- <^2 ^^2 "f" «^3 ^^3 •

Mais, à cause des relations (3) et (4), on voit que les nombres entiers qui composent le système linéaire

ne sont pas entièrement arbitraires. L'étude arithmétique des propriétés de ces systèmes particuliers de seize lettres, qui vient ainsi s'offrir, a été le point de départ de mes recherches et m'a donné les résultats suivants.

En premier lieu, et pour satisfaire à la relation

tOo 'J3 f03 Uq -t- Wi 'J2 (.Oj) 'Jj =0,

SOUS la condition

Q0V3 — ^3Vo-i-Oir2 — Qol'i =0, il faut poser les équations ( * )

a^dx H- ^0^1 — c^bi — d^ai — o,

«0 d-i -\- bç^c^ — ^0 bt — d^a^ =^ o, ( % l «0 <^3 -h bii C2 — Co ^3 — <3?o «3 = aid.2-h biC2 — Ci b^ — d^ a-i^ ai d^ -{- biCs — Cl 63 — <^i «3 — o, «2 d-â -{- b-iCz — C2 63 — d^a^ = o.

(') M. H ermite suppose ici implicitement que les fonctions abéliennes sont générales. Il le dit d'ailleurs explicitement au § XIV. E. P.

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TUANSFORMATION DES FONCTIONS ABELIENNES. 4 Î7

Faisons

on aura les propositions suivantes :

i" Le déterminant de système linéaire (6) est un carré pariait, à savoir A"^.

2*^ Si deux systèmes linéaires sont soumis aux conditions (7), on oJjtiendra, en les composant, un nouveau système linéaire, pour lequel elles auront également lieu. Et en exprimant la relation de composition par l'équation

«0 <^i «^2 «3 \ '[ «0 ^1 a2 a;} \ / Ao Ai A2 A3 j

f Bo Bi B. B3 f

co ct ^2 C3 L i To Yi Y-2 Y3

Go C<i C2 C(3 k Do Di D2 D3 )

dç^ di di d-i ] \ Oo Oi 02 03 ] on trouvera, si l'on pose comme précédemment,

<^0^3 -H ^0 C3 Co ^3 <io <^3 = <^1 <^2 -f- ^1 <^2 — ^i b^ d^ «9 = ^^ ^

«0 03 -+- ^0 Y3 — Yo Pa — 5o «3 == ai o, -H ^i Y2 — Yi h — Oi as == /,, AoD3H-BoG3— GoB3-DoA3= AiDs-hBiG,- C1B2— D,A2=3 K,

l'équation

K = Âx.

3'' Si X = I , on aura donc K = A; alors je définirai comme équivalents les systèmes

«0 <^l '<^2 <^3 ] [ Ao Al A2 A3

^0 ^1 ^2 ^3 f Bo Bi B2 B3

Set < ^ j Go Gi G2 G3 ( Do Di D2 D3

Cela posé, lorsque /c est premier, le nombre total des systèmes non

équivalents est

4^ Ces systèmes non équivalents sont représentés parées quatre types, où les lettres i désignent des nombres entiers arbitrairement

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pris dans la série o, i , 2, . . ., A* — i :

5" A l'un quelconque d'entre eux correspond toujours un autre, et un seul, tel qu'en les composant, on obtienne le système

ou un système équivalent à celui-là.

()" Soit

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