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un nouveau système linéaire, pour lequel on ait
ao dg -h bo C3 — Co bg — do aa = ai dâ -f- bi Co — C| ba — di a2 = i .
On pourra représenter dans toute leur généralité les systèmes correspondant à un nombre premier /r, en faisant, et dans l'ordre qui est indiqué, la composition suivante :
/ ao ai a. 2 aj \ / A^ o o o \ l clq ai t^ «3
\ bo b, \h hJ o A o o \ % Pi [3.2 (33
Co c, C2 C3 f j o o I o ( j Yo Yi Y2 Y-J
do di (12 dg J \ o o o 1 ] \ Oo Oi 02 Ô3
Les propositions que je viens d'énoncer montrent avec évidence que les systèmes linéaires composés de seize éléments assujettis à vérifier les équations (7), sont entièrement analogues aux systèmes
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linéaires à quatre lettres | ,^ ,^ ( (^^- Les considérations suivantes
rendront cette analogie encore plus manifeste. Je rappellerai d'abord ce que M. Gauss nomme substitution adjointe à une substitution donnée. Soit, par exemple, la substitution S, entre quatre indétermintes
X =^ ao X -4- «1 Y H- «2 2^ H- <^3 ^ ^
z — CqX -h CiY -\- c.yZ -h c-^ U, u = do\ ^ diY -h d^T, -\- d^V ,
et A le déterminant du système
Co
Cz
dt
la substitution S adjointe à S sera
dao
dai
^A da.2
das
dùo
db,
dL
db.^
dbs
dl dcç,
d\ dci
dc.^
du
de.
ddo
6/A ddi
d\ dd2
ds
dd.
iMais c'est seulement en vue de la théorie des formes quadratiques à plus de deux indéterminées que M. Gauss introduit cette notion, car une substitution entre deux indéterminées étant
(^) Voyez sur les systèmes linéaires une Lettre que ?n'a adressée M. Eisenstein {Journal de M. Liouville^ t. XVII), et dans les Comptes rendus de V Académie de Berlin (juin iSSa ), un article du même géomètre, intitulé ; Uber die vergleichung von solchen ternàren quadratischen Formen, welche verschiedene de terminanten haben.
H. - I. ou
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4 3o OE U V R E s 1) E C H A U L E S II K K M I T E .
on obtient, pour la substitution adjointe,
et il est visible qu'on passe de la première à la seconde en faisant
Or une propriété toute semblable appartient aux substitutions à quatre indéterminées, dont les coefficients vériiient les équations (7). Alors, en effet, la substitution adjointe S se déduit de S en faisant
X=- Al(,
X=-Atp,
