AX
Ce résultat découle de ce qu'on peut remplacer le système des équations (7) par le suivant :
CIq C3 H- «1 C2 — «2 Cl <^3 Co — O,
«0 6/3 -h ai <:/2 — ct-2 <^i — <^^3 <^o = ^'f 60 C3 -M- bi Cy —biCi —■ b-s Cq =z a, bo cl^ -i~ bid^ — b-2 di — b^do = o, Cq d-j -+- Cl (^2 — C2 d\ — c^dç, — o,
qui lui est entièrement équivalent.
Un dernier lemme nous reste encore à établir avant d'aborder la théorie de la transformation des fonctions abéliennes. Soit
l'expression générale d'une forme à quatre indéterminées, les coefficients vérifiant la relation aij=:aj^i et le signe ^ s'étendant aux valeurs o, i, 2, 3 des deux indices. En établissant entre les
Hosted by
TRANSFORMATION DES FONCTIONS ABELIENNES. |3l
coefficients de celle forme les équalions suivanles :
elle jouira de cette propriété que, la forme adjointe étant désignée par
i(JÏ'o) -^1? ^2î -^Ts),
on aura
f{xç^, ^1, ^'2, ^3) = i-(^o, ^1, X2. J3),
en faisant
La quantité 5 est donnée par la relation
et son carré est précisément l'invariant de /*.
De là résulte facilement la proposition suivante : Soit
une transformée de/, obtenue par la substitution linéaire
.ro = «oXo -H <^iXi -h «2X2 H- «3X3, ^1 = ^0X0 H- b^ Xi + ^>2X2-^ ^3X3, ^2 = co Xo -f- Ci Xi + C2 X2 -^ C3 X3, :r3 == 6/0 Xo -H <ii Xi -h 6^2 X2 -i- d-i X3,
dont les éléments vérifient les équations (7), les coefficients Aij seront soumis aux mêmes conditions que ceux de la proposée. Ainsi, on aura
A 00 '^ 33 — A.| 3 = Al 1 A22 — A f 2 ,
Aqo A23 -f- A22 Aoi — A02 ( Ao3 -h A12) =^ o,
Ali A23 -l- ^^33^-01 — Ai3( A12 H- A 03) = 0,
^00^13 — An A02 -f- Aoi( A12 — A03) = (),
A22 Ai3 A33A02 — A 23 (A 12 — A03) — o,
Hosted by
et enfin, si Ton pose
AooA33-f- A01A23— A02A13— A53= A]i A224- Aoi A23— A02A13— AI2 = ^7 on obtiendra
Ce résultat montre qu'on peut isoler en quelque sorte les formes^ des formes générales à quatre indéterminées, pour les comparer entre elles par les substitutions spéciales que nous avons définies. On pourra ainsi se poser sous ce point de vue le problème de l'équivalence arithmétique de ces formes, établir la notion de classe, rechercher les rapports entre les classes distinctes qui correspondent à une même valeur de S. Dans un Mémoire publié dans le Journal de C relie y tome 47, page 343, j'ai déjà donné un exemple d'une théorie arithmétique conçue de cette manière, et qui se rapporte à des formes à quatre indéterminées d'une nature analogue à celle des formes binaires. Mais il me suffît ici d'avoir donné la notion des formes/*, dont on va voir le rôle important dans la théorie des fonctions abéliennes,
Les propriétés des fonctions de deux arguments analogues à la transcendante 0, que Jacobi a introduite dans la théorie des fonctions elliptiques, étant la base de nos recherches, il est nécessaire que nous les rappelions en peu de mots.
Soit d'abord
en ayant égard à la relation
Qo^s — ^3^^0-H QiT^ — Q2Ï^ ^ o, on trouvera qu'aux périodes simultanées de F, représentées par
Û2, T2, correspondent respectivement dans la fonction transformée f, les
Hosted by
périodes
OÙ l'on fait, pour abréger,
^ ^ Q,\\—Qi\\ ^ ^ Q2V1 — Q1V2 ^r ^ Q0V2 — Q2V0
Cela posé, désignons par <ï>(^, j') la forme quadratique
et soit
(8) 6(a7j, r) = ^ ( — lynq+np Qi^z[{'Lnl-{-]x)x^-{^n-hv)y]+\i'K^l,lm+\}.,1ll-^v)^
]^i sommation s'étendant à toutes les valeurs entières de m et /i, depuis — 00 à +ao. En attribuant aux quantités />, q^ a, v toutes les combinaisons possibles des valeurs o et i , on obtiendra les seize fonctions par lesquelles Gopel et M. Rosenhain ont exprimé les numérateurs et le dénominateur commun de iF, (x^ y)^ Soi^^y)-, - - -, £i^(x^y). Ces fonctions, que nous réunirons dans une même forme analytique, en gardant les quantités /?, q, [jl, v, vérifient, comme on le reconnaît très facilement, les relations suivantes :
e(x-^i,y) = {-iye{x,y), ^ e{x, j4-i)=z(-i)v 0(^,7),
^'^ ^ e(^+H, y -h G') =(—i)pe(x, y) ^-^71(27+0^
e(x-{- G, JH-H) = (—i)q Q(x, y) e-/7l(2;r+G).
Et, réciproquement, ces relations déterminent la série (8), sauf un facteur constant; qu'on suppose, en effet,
S{X, y) = % A,„ ji( — lynq+np g/7r[(2/;î-f-fjJ:r+(2n+V)j] + |/7C<ï>(2/;î+{X,2//+v)
on trouvera, en substituant, que les deux premières sont satisfaites, quel que soit A^^^,^, et les deux dernières donneront, en égalant dans les deux membres les coefficients des mêmes exponentielles.
d'où il suit bien que le coefficient A;^^;^ est un facteur constant.
Hosted by
454 ŒLVRES DE CHARLES IIERMITE.
La forme que nous avons donnée à la série (8) met également en évidence la relation
(10 ) e(x,y) = ..•7r(^,.-.v,-)^i/u4>(M Oo L + ^G + vII + y^ ^^^H + vr/+/>\
en appelant pour un instant Oq celle des seize fonctions dans laquelle /?, q^ [i., V sont tous égaux à zéro. On voit par là qu'en augmentant les arguments de demi-périodes, on peut aussi exprimer les seize fonctions par l'une quelconque d'entre elles. Enfin nous aurons cette propriété
d'où résulte que les fonctions impaires correspondront aux valeurs de />, c/, [i., V, qui donneront
/> V H- ^ |JL E^ r ( mofl 9,).
Ces fonctions, comme Ta déjà remarqué Gopel, sont au nombre de six.
y II.
Ces préliminaires établis, nous aborderons, comme il suit, le problème de la transformation.
Soit, en conservant les notations du § ITf,
a.Q ai a, a,, \ ùo ùi Ù.2 ùs I
C() Cl C2 C:i
do di d^ d^
un système linéaire, dont les éléments sont des nombres entiers qui vérifient les équations
aç)di-^ b^Ci — Co^i —«:/() r^i = o, cio d-i -^- ^0 c± — Co ^2 — '^o <^2 = o, a^ d-^ -^- ^0 <^3 — C() b:\ — <^o «3 = /' , (7i d-i - bi c-2 — Cl h-i — di ct-i = Â , a i r/.j -\- bxC'^— Cl b-i — dia-i=z o, a y <-/;{ -^^1^3 — c-i b^ — d^ r/3 = o.
Pour abréger Técrilure, représentons un instant par z-i la fonclion linéaire aix -|- bn\ i désignant l'un des nombres o, 1, 2, H,
TRANSFORMATION DES FONCTIONS ABÉLIENNES. f\5^
et posons
(i'2) e(3o+G53-i-H52, ^i^Hz3+G'^2)^''^f--+--+^^^-^^^^ = II(:r,7);
on aura ce théorème :
La fonction \\{x^ y) satisfait à ces équations de même forme que les équations (9), sa^'oir :
I\{x-^i,y) = (— i)"Ul(.?7, y),
V I\(x-{- g, y + h) = (— 0^ n(>, y) e^-i'^'^-^'^-^-^^'^ et si Von représente^ pour simplifier, les quantités aibj — ctjbi^ aiCj — Ojd^ ..., par {ab)ij^ i^^)ij^ ^^<^v f^^ valeurs de g^ A, g^ et de h- — ;?V seront
/ ^ {dh)n + (r//^),i G H- 2(rZ^)o,H -i- (^^>)ooG^+ (^/^^^..(tr^ — GG')
1 ^"^ (a6)oi — (rt^)3iG + '>.(a^)o3H -4- (a6),2 G'+ (a6j,3(H=i- GG') ' 1 (a^Z)o,-i-(«^):nG+ [2(a<i)o3 — A-JH + (a^)o2G'+(a6/)23(n2 — GG')
! ^ " (aZ^)oi -^ (a^)3i G 4- 2 (a6)j3 H -4- (a^)o2 G'-i- (a^)23 (H^ — GG')
I ^ "~ (a6)o, + (a/^)3iGH-2(a6)o3H -r-(a/^)o2G'H-(a^)23(H^ — GG)'
[ ,2 . (g^)oi -h (c^)3i G + 2 {cd\y, H -+- (c^)o2 G'h- (e^)23 (H" - GG') ^^ ~ iab),^^ iab).,^ G ■+- '2(a6)o3H H- (a^)o2G'+ (a^)23(H-^ — GG') '
On aura enfin , pour les nombres entiers lU, U, p, ï|, /e5 r^.rpr es s ion s
Im = p-^o-f- v<2i+/)a2-H qa^n = [JL^o -H vbi-\-pb.i -i- ^^3- (i5)
' ;i ^ p.Co -H vci 4-/7C2 4- 7C3 -
[JL <io -i- V <ii -f- /?<i2 H- ^<^3 ^- <^0 <^3 + <^1 ^2 •
Nous ajouterons comme corollaire à ce théorème, qu'en résolvant les équations (i/f)? par rapport à G, H, G^, H- — GG', on obtient
(c<i)o2^- (^c)o2^-f- i(bc)(^2à -h (r/Z>)o2 ,<?-'— (cd))^^^{Ji^- -
{cd)ri^{ac).^g -\-~ i{bc).yji -^^ {dbW^g' ^ {ab)r^{/i'— gg')'
jj ^ (c^/)t2-l- {ac)^1g-^ \9Abc)^2— k\li + (^Z>).i2 >?' -t- {ab),.{h'^— gg' ) (cd)ri-^- (ac)2-ig ^- 'i{bc)rJi + (dbj.y^g'^ {ab)y,{lr^ — gg') '
G'— (^^^)-n -^ (^<^')3i ff' + '^(^>g)3i h -;- (db):u g' -h (ab):u(tr-— gg') ~ {cd}.iz-\-{ac).rig ^ '2{bc),Ji -^ (^db),-àg' -^ {ab),-^{/i'^ — gg')' JJ2 __ QQ' ^ (cd)^^ ^ (ac)os g -i- o.(bc)(,^ h -j- ( dtj)o^g' -h (ab)oi(h^-— gg') (cd)2:i -\- {ac)ri g -+- 1. {bc)^^ a -'- {dbjr^g' H- {ab)^^ (/i^ — g g') '
Hosted by
Les résultais que je viens d'énoncer mettent immédialenient en évidence la méthode que j'ai suivie dans la question de la transformation. Cette méthode, bien naturelle et bien simple, consiste à introduire le système de seize fonctions 6, analogues à 0, mais dans lesquelles G, H, G^ auront été remplacés par g^ h^ g\ puis à employer les relations (i3), pour exprimer n(^, y) par des combinaisons entières et homogènes de ces seize fonctions. En effet, on voit de suite que le facteur exponentiel g'^[-o2;3+-i-2-+-*^(-3,-2'j étant indépendant des quantités />, q^ [Ji, v, disparaîtra dans Je quotient de deux fonctions différentes U[x,y)^ qui correspondent à deux systèmes distincts de valeurs de ces quantités. Or, ces quotients représenteront les C[uinze fonctions £ aux arguments Zq-\-G z^-\-Yiz'y^ z^-{-'Rz^-\-(j' z-i-) exprimées rationnellement par les quinze quotients provenant de la division de deux fonctions 6(^,y). Mais avant d'exposer cette méthode, nous avons à approfondir la question suivante, qui mérite un examen attentif.
vm.
La fonction 0(x, j), étant seulement définie par la série
n'a d'existence qu'autant que cette série est convergente. Or, en posant
G = (jo-i- iÇ, H -5o-H l(j, G'r- Çi-f- /(/', H2 GG':=. (Do4- ÛD,
on trouve que la condition nécessaire et suffisante de convergence consiste en ce que la forme quadratique (Ç, f)^ Cf) soit définie et positive. Il est donc indispensable, lorsqu'on introduit le système des fonctions 6(^,jk), de s'assurer si la condition analogue, relative aux éléments ^, A, g'^ se trouve remplie. Ainsi, en posant, pour mettre encore en évidence les parties réelles et les coefficients de i,
nous avons à reconnaître si la forme (g, 1), q') est elle-même définie et positive.
Hosted by
A cet effet, j'introduis la forme suivante à quatre indéterminées
— 'i((^So—^Oo[))or2X-^--^jL(^}jo—{)Ço)^i^^~^(F^Ôo—Ç]oÇ')^o^-3,
et je représente par DTL le module du dénominateur commun des valeurs de g\ A, g'^ dans les équations (i4) du § VII, de sorte que
01I2=[(a6)oiH-(a6)3igo+2(a6)o3r>+(a6)o2g;-i-(a^>)23®o]-,
Cela fait, on aura les théorèmes exprimés par les relations suivantes :
Bx^--t-i\}xy-h^]'i^= ^^/(box — aoy, b^x — a^y, h^x — a^^y, b^x — a^y),
Comme la seconde montre que les déterminants l)- — gg', ff — ÇQ"' sont de même signe, il suffira de prouver que l'un des coefficients 0 ou g' est positif, pour être assuré que (g, l), g^) est une forme définie et positive comme (Ç, f>, (/), Par là on se trouve amené à la considération de cette expression remarquable
qui présente le tjpe général des formes à quatre indéterminées dont j'ai donné précédemment la notion (§ V). Ainsi, en désignant la forme adjointe par ((JTo, -^m -31%, X^)^ on a cette propriété caractéristique que / se change en f par la substitution
De là résulte une analogie très grande avec les formes binaires; au point de vue algébrique, par exemple, on reconnaît qu'elles sont réductibles par des substitutions réelles à l'une de ces trois espèces :
(I) x§ + x?-xn-xi,
(II) X^-Xf-X|-Xl,
(^") X5-^xî-Xi-xi,
Hosted by
mais seulement à l'une d'elles, de sorte qu'on doit exclure celles-ci :
d=(XJ + X| + X|-X|).
Mais je n'insiste pas davantage, en ce moment, sur cette analogie, et je vais, en appliquant les formules connues, montrer que f appartient à l'espèce (I). Il faut pour cela calculer les invariants des formes /(^o, ^i, o, o), /(^o? ^i? ^25 o), et enfin l'invariant de / elle-même. Ces invariants sont respectivement
%'-h\ ç'iw-5'y et m'-rf)'-
En j joignant l'unité et le coefficient de ^J, on forme ainsi la suite caractéristique
Or cette suite ne présente que des permanences, puisqu'on admet par hypothèse que y, (J\ (J(f — f)^ sont des quantités positives. De là résulte que la forme /est réductible par une substitution réelle à une somme de quatre carrés; ainsi les quantités
sont l)ien essentiellement positives.
En posant
les seize fonctions dont l'existence se trouve démontrée par ce qui précède, seront représentées ainsi :
les nombres m, n, p, c| étant, comme [jl, v, /?, ^, égaux à zéro ou à l'unité. Elles satisfont aux équations suivantes, entièrement semblables aux équations (9), et qui les définissent à un facteur constant près, savoir :
0(^-}-i,jK) = (— i)"^6(^,7), 0(^,jK-l-i) = (— i)"e(^,jr), 0(^ -j- A, jr -f- s-') = (— '):' 0(^, y) e~-'^^'-y+ff'\ 0(x-i~ ^,y -+- A) =r (—1)1 0(.r, j/) <?-/ix(2a'+^).
Hosted by
TRANSFORMATION DES FONCTIONS AJ3ÉLIENNES. 4^9
Il s'agit maintenant de les employer pour exprimer Ja fonction U{x^ r), que nous avons définie par les quatre relations (i3), § VIT. A cet effet, je remarquerai d'abord qu'avant
on peut joindre à ces relations fondamentales la suivante :
n(— ^, — jr) = n(^, r)(;— i)A^v+7iJ'.
Or, il est très facile d'établir qu'en supposant k impair, on a /? V -f- çr [jL E= ;in H- qm ( mod ?. ) ,
de sorte que nous pouvons écrire
(16 bis) n(— a-, ~y) = U(x, y)(—i)V^^-^'W.
Cela posé, je fais abstraction de toute autre propriété de la fonction U(x, y) et, ne gardant absolument que les relations (\?>) et (16 ùis)^ je cherche en premier lieu combien elles impliquent de constantes arbitraires dans la fonction qu'elles servent à définir.
Pour cela, soit
On satisfera ainsi, quel que soit A^,^ ,^, aux deux premières,
n(^^-M,jr)-(-i)Wn(:r,7), U(x,y-^i) = (-^y^U(x,y):
([uant aux deux suivantes, elles donneront, en comparant dans \c^ deux membres Jes coefficients des mêmes exponentielles,
enfin on tirera de l'équation (i6 bis)^ cette dernière condition
Or les équations (17) font voir que tous les coefficients A,n^,i s'ca- ()riuieront par ceux où les indices sont moindres que /r, et qui sont en nombre égal à A-. Distinguons maintenant celui dont h's indices vérifient les conditions
ni = — m — jjL, A2 = — n — V ( mod À ),
(jui sont évidemment possibles, puisque le module esl impair.
Hosted by
46o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
L'équation (i8) sera alors une identité, et le coeffieient dont nous parlons restera arbitraire; mais, en vertu de cette même relation, tous les autres, qui sont au nombre de k'^ — i, seront égaux deux à deux. De là nous tirons cette proposition :
U expression lapins générale de la fonction \i{x,y) qui est définie par les relations (i 3) ^^ (i6 bis)^ renferme ^-7 — coefficients entièrement indépendants ,
Les considérations précédentes sont également applicables à des valeurs paires du nombre k. Soient par exemple, pour A* = 2, les relations
(19) 11(^-1- !,r) = W{x,y), n(^,jr-hi) = II(^*, J),
on trouvera, en posant
«T:(2m.r -+-?//)•)+ -^ cp(777, //)
les conditions
Donc li(x^y) est la somme de quatre séries déterminées, à savoir celles qui se trouvent midtipliées respectivement par les coefficients Ao,Oî -^o,M ^<,07 Ai,t7 qui restent seuls arbitraires. Or on satisfait également aux équations (19), en prenant pour U(x^ y) ]e carré d'une quelconque des fonctions ^(x^y). Donc ces carrés s'expriment linéairement par quatre nouvelles fonctions, et de là se tire immédiatement la réduction algébrique des seize fonctions 9, à quatre d'entre elles, prises arbitrairement.
En général, toutes les relations algébriques et di(Térentielles des fonctions 9 peuvent être obtenues d'une manière analogue. Ici ce sont les relations algébriques qu'il nous importe de considérer, et
Hosted by
particulièrement celles où entrent d'une manière homogène le plus petit nombre de fonctions, et qui sont en même temps du degré le moins élevé. Telle est par exemple, après les relations quadratiques, l'équation mémorable du quatrième deg^ré obtenue par Gopel (^) entre P^, S^, P^^, S'^, qui se déduisent de l'expression générale de 6, en faisant :
Pour
m rrr: ()^
li == 0,
lii = 0,
li =: 0,
ci=0,
li = I,
Cl = 0,
Ul — I ,
li= I,
ci= [.
Je vais encore établir l'existence de cette équation, et des autres du même genre, qui ont aussi lieu entre quatre fonctions, car elles sont fondamentales pour ce qui va suivre.
Soit, à cet effet, U(x,y) une fonction ainsi définie
/ n(^-Hi,^) = n(^,j/),
, , 1 n(^, j^-4-i) = n(^,jr),
U{x -T- g-, y -^ h) = U{cc^ y) e-4i'7ri2.r+^)^ En la supposant représentée par la série
on trouvera, pour déterminer les coefficients, les relations
A //i-f-4 ^n^=^ ^m,ni -^m, «4-4 ^=^ ^ 111,11 ^
et si l'on veut exprimer que le développement représente une fonction paire, on y joindra la suivante :
Alors les coefficients se réduisent à ceux-ci :
-^0,0? ^0,2; ^2,07 -^^2,2? Aq,!, Aj^Qi -^0,3, ^lAi ^1,2^ ^1,3
(M Voyez Tome 25 du Journal de Crelle, le Mémoire de l'illustre géomètre : Theoriœ tianscendentium Abelianarum pjnmi ordinis adumhratio levis.
Hosted by
et la fonction Il(^,j/) sera la somme des dix séries entièrement déterminées, et multipliées respectivement par ces coefficients qui demeurent arbitraires. Cela posé, soient Ôq? ^i? ^2? ^3 quatre des seize fonctions 9; nommons 9/ Tune d'elles, et m/, n/, p/, ,y les valeurs des nojnbres m, n, p, t], qui la caractérisent. Faisons encore, |)our abréger, i>i= p/i»/-f- »]/iii/; on satisfera évidemment aux é<jualions (19), en prenant pour U.(x^y) les quatrièmes puissances de ces fonctions, et les carrés de leurs produits deux à deux, quels que soient m/, n/, p/, c^/. Or on peut joindre à ces expressions, qui sont au nombre de dix, le produit So^i ^'2^;)i si l'on pose, suivant le module 2,
1 uiQ-f- Mlj -h lll2-r- IU3 s= o, liQ-h ili H- 1I2-4- 113^^ O,
(•20) < Pq i- p^ -I- p2 -H ps = O, qoH- qi+ qs-H cl3= O,
Sous ces conditions, on obtient nécessairement, entre les onze quantités que nous considérons, une relation linéaire, puisque toutes s'expriment linéairement par dix fonctions déterminées. Or l'existence de cette relation suffit à notre objet, et nous n'aurons pas à employer les valeurs des coefficients, qu'il sérail d'ailleurs bien facile de trouver. Nous nous bornerons aux remarques suivantes :
1° On satisfait aux équations (20) de la manière la plus générale, en prenant, suivant le module 2,
Ul)
1^ m -f- nii,
1112^^ m -j- nu,
1113= m -j-iui-i- m. 2,
iio=n,
^ n H-iti,
Il 2= n -+- Ho,
ïi^~ n ^ Ul H- n2,
Fo=V,
Fi
= V -H Pi,
P3— p H- pi -hfU,
^10= il,
^ i\ -+-ih,
^12= Il -Hil2,
^13= q -+- ih -Mh,
m, n, p, ij, étant arbitraires, et les autres entiers devant vérifier la condition
^1112 4- ;i2ni •+- iiiJiu -+- ii2iiii= o.
2" Des quatre fonctions Qq, 9^, Oo, 63, deux peuvent être arbitrairement choisies parmi les seize fonctions 0. Ce choix fait, il existe trois systèmes distincts de deux autres fonctions qu'on peut leur associer, de manière à satisfaire aux équations (20).
3" Les fonctions 9o, 9,, 9o, 83 peuvent être paires, ou bien deux
Hosted by
seront paires el les deux auLres impaires : aucune relation algébrique du quatrième degré n'aura lieu entre quatre fonctions impaires.
Je considère maintenant une fonction liomogène de So? ^i, 827 6;$? dont le degré soit le nombre impair k. Une telle fonction s'exprimera linéairement par des quantités de la forme 9j9^92^3, où a, b, f, îr sont des entiers positifs dont la somme est A. Cela posé, en assujettissant ces nombres aux conditions particulières
