C -I- Il = T

(mod. 2),

£ et 71 étant o ou 1, on formera quatre espèces bien distinctes de fonctions homogènes, que je désignerai ainsi :

no(^, y) lorsqu'on fera s — o, r^ = o ; Wi{x, y) » £ = I, T| = o;

W3(^, JK) » £ r^: I, T^ == I ;

et l'on aura ce théorème :

Les fonctions ^^{x^y)^ W^{x^y)^ \\.^{x^y)^ n^i{x,y) correspondent respectivement à O^, 9,, ôo? ^3 ; <^<? f^elle sorte qu'en représentant par Wi{x^y) t' une quelconque cC entre elles, V indice pouvant recevoir les valeurs o, i, 2, 3, on aura les relations suivantes :

n,-(^ -^h, y-\- g-') = (— i)r»- Ui(x, y) e-/7iA(2j+^'j^

^i{x -h g-, y -h h) = {—iy]i U/(x, y) e-^'7i/.-(2a--hé^) ^

^hi-x-y) = (~iy\l\,(x,y),

qui sont analogues aux équations de définition de la fonction 9/, savoir :

^i{x + 1, jK) = (- ifi 6,-(^, y). 0/(:r, y -^ x) ^ {-. i)m, o.(^, yy 6/(07 -H /i, j + g') ^ ( i)Pi e/(.r, y) e~/7i(2j+^o.')^

Hosted by

Je vais maintenant établir que les quatre fonctions 11/ (^, y) contiennent, sous forme linéaire, un nombre égal à de coefficients indépendants. Concevons, pour cela, qu'en employant l'équation homogène et du quatrième degré, dont nous avons établi l'existence entre 80? ^\f ^2? ^3? on élimine, dans ces fonctions, toutes les puissances de l'une des quantités 9, de G3 par exemple, qui surpasse la troisième. Cette réduction faite, toutes les expressions 9y 6^92^3, où l'exposant ïï ne surpasse pas 3, seront linéairement indépendantes. Car, s'il en était autrement, on aurait une seconde relation algébrique, homogène entre Qo? 9^, 92, 93, d'où résulterait que les seize fonctions 9 s'exprimeraient algébriquement par deux seulement d'entre elles; et, par suite, que deux quelconques des quotients quadruplement périodiques seraient fonctions algébriques l'un de l'autre. Nous conclurons de là, qu'il existe précisément autant de coefficients arbitraires dans lli(x^y) que de solutions distinctes, en nombres entiers et positifs, des équations

iTH- Il -f- c -h ïi = /i , b -f- l« = £, c -I- îi = r^ ( mod 2 ),

lorsqu'on suppose successivement

Il — o, I, 9., 3.

Or, on trouve sans peine que le nombre de ces solutions est -^^ ,

c'est-à-dire précisément égal au nombre des coefficients indépendants qui entrent linéairement dans la fonction définie par les équations (i3)et (16 bis) (^). Cela posé, il a été établi, § XI, que sur les quatre systèmes de quantités m/, u/, p/, q/, deux sont arbitraires. On pourra donc, en disposant seulement de l'un d'eux, prendre

(^) La coïncidence de ces deux nombres est si importante, au point de vue où je me suis placé dans la théorie de la iransformation, que je crois devoir donner (e calcul qui sert à l'établir. Soient e^ et t^, les valeurs o ou i, déterminées par

les conditions

s, =£-i-i, T^ == Tj -h I (mod2),

on trouvera immédiatement que, pour

h = Oj h = 2, les nombres de solutions sont respectivement les coefficients des puissances x^ et

Hosted by

TRANSFORMATIOxN DES FONCTIONS ABÉLIENNES. 465

par exemple

) (mod 2), po == }) = [^Co-i- vci -^ pCi H- qc-i -h Cq c^ -h c^ c^

c|o = q ^ [JLc/o -H V c/i -h /?<if2 + ^<^3 -4- <^o <^3 + <^i ^2 et pour i = o faire ainsi coïncider les équations (21) avec les rela-

x^~^ dans le produit

tandis que, pour

& = I, îr ~ 3,

ces mêmes nombres sont les coefficients de x^~^ et x^"^ dans le produit

(i-hx-\-x^-^...)(xh-^x^i+'-i-x'i + ^-h,..)(x'^i-hx'^i+^-\-x'^i+^-{-...)= , ^ — ;•

De là on conclut que, pour

le nombre total des relations est donné par le coefficient de x^ dans le développement de la fonction

Passons maintenant aux valeurs particulières de s et tj. Lorsque ces quantités sont nulles toutes deux, cette fonction devient

et, dans les trois autres cas, elle se présente toujours comme égale à

{l-h X')(X -hx^-)

Mais les développements de ces fractions ont même partie impaire, car leur différence est la fonction paire —^ ; donc, pour des valeurs impaires de k, le

nombre des solutions des équations proposées ne dépend pas des valeurs de £ et 7\. Ce nombre sera ainsi le quart de celui qui se rapporte à l'équation unique

en supposant îr = o, i, 2, 3. Or, suivant ces cas, on trouve successivement les nombres

et leur somme, divisée par .], est bien égale à •