II. - I. 3q
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lions (i3) et (i6 Ois), Nous sommes amené par là à cette proposition fondamentale de la théorie de la transformation des transcendantes abéliennes du premier ordre :
La fonction
l^.T, y) =&{zo-\- G^3 + H22, ^i -^ H 23 -^ G'z2)e'''^^^oZ^-^^i^.+'^iz,,zJ]
aux modules G, H, G^ peut être exprimée par une fonction entière et homogène, du degré /c, des quatre fonctions ^q{x^ y)^ 0, {x^ y)^ 62 (^j y)^ ^3(^1 y) ^^^^ modules g^ A, g^ ^ qui dépendent (les premiers par les équations (i4)-
Mais ce n'est pas une seulementdes seize fonctions B qui s'exprime ainsi par 9o, 0^, O27 63- En prenant en effet pour n(^, y) successivement les quatre fonctions homogènes de ces quantités que nous avons précédemment nommées IIo(^, jk), n,(^, 7), IT2(^,jr),
Il3(^, jk)j et qui toutes renferment linéairement constantes
arbitraires, on satisfera de la manière la plus générale aux équations (i3) et [iGbis) pour quatre systèmes différents de valeurs des nombres [jl, v, /?, q. Et les valeurs de ces nombres s'obtiendront
en posant
ii\i^ fjirto -H ''<^i -^ pct-î -^ qciz -H ^o«3 -H a^a-i.
^i = [jLCo -H vci -\- pc-i -h qc-:>, 4- c^ C3 -h Ci C2, tjf- = jJL 6/0 -f- V di -f- /><^2 H- qd^ -h r/o <i;i -^ did^^
suivant le module 2. Pour plus de clarté, je désigne par [j./, v/, />?/, ^/, celles qui correspondent à m/, n/, p/, lj/, et je fais 5/ = v//>/-l-[^/5'/; on trouvera alors très facilement
M-o + P^l -+- [^2 -f- M.3 = o, Vo -h V, -H V2 -H V;j = o )
V (mod 2j.
Po-^Pi-^P2-^P6^o, q,-i- qi-^ q>-t-q:i^o )
Or ces relations sont de même forme que les équations (20), § XI, et l'on en conclut cette proposition :
Les quatre fonctions S que nous exprimons par des fonctions
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homogènes et du degré /c, de Gq, 9i, 82, 0;}, sont liées, comme celles-ci, par une équation homogène du quatrième degré.
Les résultats précédents conduisent immédiatement aux relations entre les quotients quadruplement périodiques qui proviennent de la division de deux fonctions 0, et ceux qui proviennent de la division de deux fonctions 6. Ces derniers, en resrardant ^, A, o-' comme arbitraires, représenteront les fonctions périodiques les plus générales, auxquelles donnent naissance les intégrales ultraelliptiques de première classe, lorsqu'on aura remplacé les arguments X et y par d'autres qui en dépendent linéairement d'une manière quelconque. On obtient ainsi la solution du problème de la transformation, tel que nous l'avons posé en commençant. Mais nous allons présenter la relation obtenue entre les fonctions 6 et Û de différents modules, sous une forme analytique mieux appropriée aux considérations qui nous restent à développer.
Nous ferons, dans ce but, la substitution suivante : X = X -{- hz, -+- ^ti, y r= i| H- g' z, -\- hu,
et nous poserons
Ç(oc, 1^, r, u, ^, h, g') = 6(0: -h h^-^ ga, ,^-|-^'^-f-/iu);
remplaçant ainsi la fonction 8 aux deux arguments x et jk, par la fonction ï^, qui dépendra de x, x\, r, u. Cela posé, soient
p\; = a^ a: -h ^0 'J -^ ^0 - -^ <^o "'i ;rf = a 1 .X' -h 6 1 ij^ -h Cl r -h c?! u,
on trouvera aisément ces relations importantes (') :
z, -f- \\z, -f- G'^. = ^ -I- H o -h G'I^ 5o^3-H z^Zi^^{z-i,z,) =z «^(^X, f- H i^ 4- GO) (oc -4- fi^ -+-^iO 4- 63(^V^ + H & -f- GO) ( i^ 4- ^'^ -I- A u) ^ -HaaO^ -l-G'i)-4-HO)(A:-f-A^ -^ gn) -- 6 , ( :T H- G ' t^ -f- H O ) ( X -- ^ ' c -^ /m i ) .
(M On se SDiivient qu'au § VII, la (|uantilé a^x -k- b-y a été désignée, pour abréger, par z-.
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Pour abréger l'écriture, représentons par y cette expression do la forme quadratique ZqZ<^-\- z^z^-^-^^z^^ z^^)^ et convenons de mettre en indice à la fonction ^ les valeurs des nombres wt, u, p, .], qui figurent dans la fonction 6 dont elle dérive, nous aurons alors ce nouvel énoncé des théorèmes de transformation :
Les quatre fonctions représentées par
le nombre i pouvant recevoir les valeurs o, 1,2, 3, s^ expriment par des fonctions entières homogènes, et du degré k des quatre quantités analogues
Les modules g^ A, g^ dépendent de G, H, G' par les équations (1 4), § VII, et les quatre nombres tji/, v/, /?/, qi de lu/, h/, p/, .^/ par les relations
(mod 2),
u/ = \xi b^ -i- v/ bi -+-pib.2~^ qi 6.J -H 60 ^3 -^b^b<i,
p,- E- 1^,- Co -i- V,- Cl -1-/?/ C.i -f- ^,- C3 -f- Co C3 -f- Cl C2,
c-)/ ~ jj./<io -f- v/û?, ~\~pid^ 4- 7/<^3 + ^o<3?3 -H ^1 <^2, auxquelles il faut joindre les suivantes :
HiQ -T- uti -1- UI2 -f- i»3 ^ o, Hq -t- iii -- 112 -h H3 ^ O, \
po -H Pi H- p2 -f- p3 ^ o, c|o -f- ^li -4 ^\i -r- c-ja ^ o, > (mod 2),
et celles-ci, qui en sont, comme nous Savons dit^ la conséquence :
Ko H- {^1 -+- [^2 -H :^3 ^^ o, Vo -+- V, -4- V2 -r- V3 = O,
En partant de ces résultats, je vais déterminer combien s'obtiennent de transformations distinctes lorsque le nombre impair X est supposé premier. Je me fonderai à cet eflet sur cette proposition :
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Considérant la substitution
^X" = ao X -I- ai Y -4- a2 Z -4- %-^ U,
% =r YoX + Yi Y-I-Y2Z-I-Y3U, t) = 8oX-hSiY4-a2Z4-83U,
dont les coefficients sont des nombres entiers assujettis aux conditions
«0^1-^ ?oTi— Topi — 00^1 = o, «0^2-1- 13oY2 — To^2 — 8oa2 = o.
«0^3+ [3oY3 — Yoi^3 — Oo^a = I, a,02-l- (3iY2 — Til^2 — 5ia2 = r,
«103-+- l^iYs— Yl?3 — Siag =r O, «2 ^3 -i- p2 T3 — T2 ^3 — ^2 «3 = O,
p/7 la faisant suivre des quatre suivantes :
Z = k^, ' j Z = nj -h z,
U = /ai, ( U r=kii,
X == kx, ( X =:: /rx,
m. <( '' IV. { /'
7j =:^ kz, j Z = t\\: -F i' i) H- i,
U = i' X — ir -f- u, l u = i'\x -H û) -h II,
o^<ç i^ i\ U' désignent des entiers positif s inférieurs à A", on pourra obtenir dans toute sa généralité la substitution
„\- = (2o .Y -f- ho i) H- (?;) ^ -i- <:/() Il , ^y = «1 oc -h bi I) -f- Cl c -+- <ii u , X: = «2 a: -h b-i i| -f- C2 - -T- t/2 u , t) =1: aa.x -4- b:i \] -h c^z -\- d^n,
dont les coefficients sont assujettis aux relations fondamentales
a^d)^ -^ bç^Cx — Co^i — d^a^ = o, a^dy -^ b^c^ — c^b-i — d^^a-i ^=z o, «0 <^3 H- ^0 C3 — Cq bs — 6/0 «3 — A , ai <:/2 -H bi c-i — Cl ^2 — d^a-i^^ X-, a, 6/3 -f- ^1 C3 — Cl Z>3 — 6^1 «3 = o,
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47^ OEUVRES DE CHARLES UERAllTE.
Cette proposition renferme, comme on voit, la théorie arithmétique de la réduction des systèmes linéaires
bo
Co
ai
bi
fh
en se fondant sur la notion d'équivalence qui a été nommée, par E\^en?>iein^V équivalence à gauche des systèmes. En prenant, au contraire, l'équivalence à droite des substitutions pour point de départ, on obtiendra les substitutions ou systèmes réduits que j'ai donnés § 11. On en conclut que toutes les transformations des fonctions abéliennes qui répondent à un nombre premier A*, résultent des transformations particulières où l'on emploie les substitutions réduites 1, II, 111, IV, combinées avec les transformations où figurent les substitutions au déterminant un. Or le nombre des substitutions réduites étant i + A -f- ^"2 + A^, on obtient précisément autant de transformations distinctes, dans lesquelles les fonctions ^(X, Y, Z, U) sont exprimées par des polynômes homogènes et de degré A:, contenant quatre des fonctions Ç(.x, ij, z, u). Nous n'avons plus ainsi qu'à passer des fonctions ^(X, Y, Z, U) aux fonctions Î^(<X, g*, &, O), les arguments rv;, g*, ^, t9 étant liés aux arguments X, Y, Z, U par les équations (22). Or, en omettant les modules, pour abréger l'écriture, la dépendance de ces fonctions est exprimée par la relation
e'""^^ C^v,/.,^ (eX, g-, %, t)) = const. Cnt,n,|3,q (^. Y, Z, U),
dans laquelle
m = [JLao -4- vai -f-/>a2 H- <7a3 H- aoa3 H- aia2
U = ix'^o H- Vfîi -+-/> ^2 -i- ^ p3 -i- ^0^3+ ^1 1^2
^1 = j^Yo-f- vYi4-/?Y2-+- ^T3-HYoT3+TiY2
i] = [xôo H- vOi ~h p^2-\- qo^ -h Oo Û3 -t- ôi 02
(mod 2).
Cela posé, si l'on a
î)=/?, i]^q (mod '2),
la fonction Ç se trouvant changée en elle-même, la combinaison de celte transformation avec celles qui correspondent aux subsli-
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TRANSFORMATION D t: S FONCTIONS ABELIENNES. Î7l
tutions réduites ne donnera point de formules nouvelles. Mais si les nombres îtt, U, Ji, il ne coïncident pas tous avec jx, v, p^ q^ la combinaison de cette transformation aura évidemment pour effet de permuter les expressions des diverses fonctions Ç, dans les formules de transformation relatives aux substitutions réduites.
On est amené par là à une considération entièrement semblable à celle qui a été présentée par Abel dans la théorie des fonctions elliptiques, et qui a pour conséquence de multiplier par six le nombre total des transformations données pour la première fois par Jacobi. Seulement, il faut bien remarquer que les expressions rationnelles de la forme
considérées par Abel ( ' ), conduisent à des relations irrationnelles, si l'on compare deux intégrales elliptiques prises l'une et l'autre à partir de la limite zéro.
Dans la théorie de la transformation de fonctions abéliennes, le nombre de ces transformations distinctes dans lesquelles k = i est égal au nombre des substitutions différentes, représentées par les équations (22), lorsqu'on prend les coefficients suivant le module 2. Or, en ayant égard aux relations qui existent entre les coefficients, on trouve ce nombre égal à ^20, c'est-à-dire au produit : 2.3.4.5.6; nous avons ainsi ce théorème :
Le nombre des transformations distinctes des fonctions abéliennes qui correspondent à un nombre premier k est
Parmi ces diverses transformations, celles qui correspondent aux quatre types de substitutions réduites, lorsqu'on y suppose égaux à zéro les nombres entiers i^ i' ^ i" ^ méritent une attention particu-
(M Voyez les Œuvres d'Abel, Lomé I, page 879. Ce point de la théorie de la transformation sur lequel insiste l'illustre géomètre, est effectivement de la plus grande importance, par exemple dans la recherche des modules qui donnent lieu à une multiplication complexe.
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473i OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
lière. On voit alors, en effet, se présenter immédiatement la notion importante des transformations supplémentaires, qui, sous le point de vue le plus général, résulte de la cinquième des propositions arithmétiques données § III. Les substitutions que nous allons ainsi considérer, dans les théorèmes de transformation, seront les suivantes :
/ X = kx,
l X = kz,
