IV. ^i{kx,kif,z, u, kG, kll, kG

s'expriment par des polynômes entiers homogènes et du degi'é k, composés des quatre fonctions

(^) Cette dernière circonstance peut toujours être réalisée à l'égard de toutes les substitutions réduites. Rien n'empêche, en effet, de prendre pour chacun des nombres désignés par i, i' , ï' un système quelconque de résidus suivant le module k, au lieu des résidus minima o, i, 2, . . ., A^ — 1. Or, en faisant choix des A" nombres pairs o, 2, 4, . • ., 2 ( A — i), on voit immédiatement qu'on aura

ui • = [X-, u . ^ V-, p • ^/»j, t] ■ = ^j, mod 2.

(*) On peut remarquer que les transformations relatives aux fonctions I et IV correspondent parfaitement à ce que Jacobi nomme, dans la théorie des fonctions elliptiques, transformatio prima, modali niajoris in minorem et transformatlo secunda minoris in niajorem. (Fundamenta, p. 5(i.)

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Cela posé, il est clair qu'en appliquant l'une après l'autre les transformations relatives aux fonctions I et lY ou II et II l, on parviendra de ces deux manières à l'expression de

Ç/(/wx, X.,, A-^, Â:u, G, H, G'),

par des polynômes entiers homogènes et du degré A-, contenant les quatre fonctions aux mêmes modules

Ki(x, ij, 2, II, G, H, G').

Revenons maintenant des fonctions ^ aux fonctions de deux arguments dont elles tirent leur origine, nous obtiendrons le théorème fondamental de la multiplication des transcendantes abéliennes, à savoir que les quatre fonctions B/(A.r, ky) sont des polynômes entiers^ homogènes et du degré k^ composés des quatre fonctions %i[x^ y),

Les formules de multiplication pour les quotients quadruplement périodiques, provenant de la division de deux fonctions 0, découlent naturellement des théorèmes qui viennent d'être établis. Seulement, il importe de préciser les divers groupes de trois quotients, qui correspondront respectivement aux divers groupes de quatre fonctions 0/, dont les nombres caractéristiques [x/, v/, /?/, qi sont assujettis aux conditions

. J^o -4- fJLi -I- (i.2 -h fJL3 = O, Vo -4- Vi -h V2 -h Vs = G, \

i'iobis) ^ Po-^ Pi-^ P2-^ P3 = o, go-hqi-^g2-i Çs^o, > (moda).

Je me fonderai, pour cela, sur la distinction de ces quotients en deux genres bien différents, telle que l'a faite M. Veierstrass? non seulement pour les fonctions abéliennes du premier ordre que nous considérons en ce moment, mais pour celles d'un ordre quelconque ('). Les quotients du premier genre, en adoptant les

(0 Voyez Journal de Crelle, tome 47, ou dans le Journal de Liouville (traduction de M. Wœpcke), le Mémoire dans lequel ce savant géomètre a donné un aperçu de ses grandes et belles découvertes. Voyez aussi, dans le tome XI du Recueil des Savants Étrangers, le Mémoire de M. Rosenhain couronné par l'Académie,

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\yi OEUVRES DE CHARLES IIERMITE.

notations de cet auteur, seront désignes par al (.^ r)a, avec un seul indice qui recevra les valeurs o, 1,2, 3, /\, Ils s'expriment comme il suit, par les fonctions Sii.j^ „,,, savoir

alo = al, = al-2 = ala ==

Qiooo

^0000 QlOOl ^0000 QplOl ^0000

Qoiii

Ceux du second genre seront représentés par al(^, j)a,p, avec deux indices, devant chacun recevoir encore les valeurs o, 1,2, 3, 4? et qu'on pourra permuter entre eux. Ils sont au nombre de dix, et s'expriment de cette manière :

alo,i — alj 0 — a '0 2 -~ aU 0 ^^-~ a'0,3 "= al3^o = alo, 4 = aIv,o == ali,2 = al2,i = al], 3 = al3,i = ali,v = ali 1 = aU.s = al3.2 ==

Qqooi

Quoi

al2,;^ = al4,2 == -x

'^oooo

alsA = 3U,3 =

et qui, beaucoup plus complet sous ce point de vue que celui de Gopcl, renferme les expressions du système des quinze quotients périodiques, telles (sauf une légère modification) que les donne M. Weierslrass.

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TRANSFORMATION DES FONCTIONS ABKLIENNES. ly^

les indices des fondions 0 étant déterminés dans ces formules parla condition qu'en supposant

ala = -^^ ' ^^^='-^ ' ^^a,p== -^ >

WOOOO "OOOO '^0000

u/, v'^, p^' ^ ff soient les valeurs o ou i, qui satisfont aux relations

a" = ulH- ul', v" = V -h v' )

\ mod. 2.

Cela posé, on aura ce théorème :

Tous les groupes de trois quotients 2i\[x ^ y) J^or niés cwec quatre fonctions dont les nombres caractéristiques [x/, v/, /?/, qi vérifient les équations (20 bis) seront compris dans cette forme générale :

aI(^,jK)a, aI(a7,jK)p,y, al(^.jK)6,c,

sous la condition que les indices a, [3, y, S, s seront tous différents les uns des autres.

Cette condition admise, le théorème fondamental pour la multiplication des arguments dans les fonctions abéliennes quadruplement périodiques s'énonce ainsi :

Les trois fonctions

al(/v^, X■J^')a, al(/i-.r, Ay)^,y, al(fe, ky)^^.

sont des fractions rationnelles, ayant pour numérateurs et dénominateur commun des polynômes entiers et du degré A-, par rapport à

^K^^y)(^, aU-^,r)^,v: aK-^,r)5,E-

Ces trois fonctions sont d'ailleurs liées par une équation du quatrième degré, conséquence de Téquation homogène et du même degré qui existe entre les quatre fonctions 0/(^,jk).

C'est aux résultats précédents que je me suis arrêté jusqu'ici dans l'étude de la transformation des fonctions abéliennes, et je vais terminer cet exposé succinct de mes reclierches, en faisant

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47^ ŒUVRES DE CflARLES HERMITE.

voir comment cette théorie analytique de la transformation se trouve étroitement liée à la théorie analytique des formes quadratiques dont j'ai parlé § IV. Reprenons le théorème du § XIV, consistant en ce que :

Les quatre fonctions représentées par

si Von attribue à V indice i les valeurs o, i ,2, 3, s^ expriment au moyen de fonctions homogènes et du degré k^ des quatre quantités

Cut.u,p,ci-(^' 'y' '' '^' ^' ^' ^'^'

les modules g^ A, g' dépendant de G, H, G^, par les équations (î4) du § VII, et les arguments .X, 3*, ^, t) de .x, i|, z, u, par celles-ci :

l ^^ =z a^x -t- bo y -+- Cqz -\- dQ u,

1 ^ =: a2X -h b^ Ij -f- 02^-4- ^2liî [ ÏD z= «3 a: -h ^3 If 4- C3 Z 4- <^3 II .

Or, à cette relation ainsi formulée entre les transcendantes S^, de différents arguments et de différents modules, correspond la relation arithmétique que donne le théorème suivant :

Soit

G = Ç/o -H i 1) , H = 5o + ^0, G' =. C/i -f- iC/', 112 . GG' = (Do -4- ÛD, ^ = 00 + ifl, A = 1)0 H- i'I), .^' =00-^ i^'j à^' — gg' = ï-o -r- n;

nommons ^(^%, jy, ^, t)) /a forme quadratique qui s'est déjà présentée § VIII, savoir :

-^(goS-g5o)g't)-2((D5o-cooS)^^

et considérons de même V expression semblable

f(.x, t|, r, u) = 0'oc2 H- flp2 ^ (g'î,^ g^ î,).2 ^ (gî,^ ^oî«) ii2

— 2!;A:if — 2(0'o!; — ^'l;o).vi. — 2(0o!) — ^j|I)o) iju

— 2(ïl|)0 — ï-ol;) Zli — 2(1)1)0 — c-).^;) ijc — 2(1)1)0 — 903') JCll.

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Les variables ^^ J*, i, t) étant liées à .x, ij, 2, u par les équations (22), dont les coefficients sont des nombres entiers assujettis aux conditions fondamentales

i aodi -^ boCi — Cobi — d^ai = o,

V «0 û^2 + bo Ci — Cobi — do a^ — o,

^ ^^ \ aod^-^boC-:^ — Cobi~ d^a^ — k,

j ai ^2 -(- ^1 C'i — Cl 6^2 — «i <^2 — /i",

r «1 <^3 -i- ^1 6*3 — Ci bi — diUs — o, «2 â?3 -T- ^2 <";» — ('2 bi — d^ a-i = o,

on aura identiquement

.f(^x,fT,^,r)) ^ f(x,~iuz,ii)

Telle est donc la nature de la relation entre ces deux formes quadratiques, semblablement composées avec les modules G, H, G' et gj A, ^^, que la première se change en la seconde multipliée par A-, au moyen de la substitution qui transforme les transcendantes Ç aux modules G, H, G', en des fonctions homogènes et du degré A*, des transcendantes analogues aux modules g^ A, g' . On voit ainsi comment vient se présenter cette étude arithmétique de formes particulières à quatre indéterminées, où l'on n'emploie pas comme instrument analytique les substitutions les plus générales entre deux groupes de quatre variables, mais les substitutions particulières (22) définies par les équations (23), et qui reproduisent des formes du même genre. C'est précisément à cette idée que je me suis déjà trouvé conduit dans un autre travail [Journal de C relie, t. 47, p. 343), en ayant en vue l'étude purement arithmétique des nombres entiers complexes a -\- b \/ — i J'ai pu alors traiter, par les méthodes propres aux formes binaires, les principales questions concernant les formes particulières à quatre indéterminées qui étaient l'objet de mes recherches, et ajouter par là de nouveaux caractères de similitude entre les nombres entiers réels et les nombres complexes (*).

(^) En poursuivant les recherches que je viens de rappeler, j'ai obtenu le ihéorème suivant, qui ofTre un nouvel exemple de cette analogie :

Les équations à coefficients entiers complexes et en nombre infini de la forme az'' 4- 6^'*-' -+-... -h gz -\- h~ o, pour lesquelles la norme du discriminant {c'esl-

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Un pareil rapprochement entre les formes .^(.X-, Jf, ^, t)) et les formes binaires semble également devoir se présenter; on peut du moins le présumer, d'après les propriétés relatives aux formes adjointes, énoncées au § VIII, et surtout par cette expression remarquable et facile à vérifier, savoir :

où j'ai fait, pour abréger,

-Vi = ^^ -H bo^ -^ Çjo t), 5-1 = ?T + y'o ^ + 5oX').

Cependant l'analogie de ces formes particulières, que j'ai nommées à indéterminées imaginaires conjuguées avec les formes binaires, ne persiste pas toujours; parfois, comme je l'ai fait voir, il arrive qu'on ait à la suivre dans plusieurs directions différentes, et bientôt on est amené à des questions où la nature des formes à quatre variables se manifeste sous un point de vue qui lui est ])ropre, et qui exige de nouveaux principes. Les mêmes circonstances viendront-elles s'offrir dans les questions analogues dont le point de départ s'est trouvé dans la théorie des fonctions abéliennes? C'est là un ordre de considérations arithmétiques aussi intéressantes que difficiles, sur lesquelles je pourrai peut-être un jour offrir aux amis de la science le résultat de mes recherches.

à-dire du nombre entier complexe, égal à a^"-') multiplié par le produit symétrique des carrés des différences des racines), conserve la même valeur, ne contiennent qu'un nombre essentiellement limité d'irrationalités distinctes. (Voyez pour le théorème analogue, relatif aux nombres réels, le Journal de Crelle, t. 47, p. 335.)

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