REMARQUE SUR UN THÉORÈME DE CÂUCHY

Comptes rendus de l' Académie des Sciences, i. XLI.

C'est à M. Cauclij qu'on doit la première démonstration générale de Irréalité des racines de l'équation remarquable à l'aide de laquelle se déterminent les inégalités séculaires des éléments du mouvement elliptique des planètes. Cette équation s'obtient, comme on sait, en égalant à zéro le déterminant du système

Cln.n— '

dont les éléments ajj(,,v sont des quantités réelles soumises à celle condition,

J'ai fait, au sujet de cette équation, la remarque suivante que l'illustre géomètre a bien voulu m'engagera communiquer à l'Académie. Supposons que les éléments a^^y du déterminant cessenl d'être réels et prennent des valeurs imaginaires quelconques, mais avec la condition que a^^y et a^^^ soient des quantités conjuguées. Il est aisé de voir que le nouveau déterminant ainsi formé et que je nommerai 0, sera essentiellement réel quoique composé d'éléments imaginaires. Il ne change pas de valeur en effet en v mettant — y/ — 1 au lieu de y/ — i, car on ne fait ainsi que remplacer ^ijL,v par av,(xj c'est-à-dire substituer les colonnes horizontales aux colonnes verticales, et l'on sait bien que cette transposition n'altère pas la valeur d'un déterminant. Cela posé, l'équation 0 = o conserve la propriété si remarquable de l'équation B = o, elle a toutes ses racines essentiellement réelles. On peut le démontrer de plusieurs manières, par exemple en transformant le détermi-

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48o OEUVRES DE CHARLES IIERMITE.

nant Q en un autre à éléments réels, d'un nombre double de colonnes et symétrique par rapport à la diagonale, de manière à retrouver précisément la forme analytique du déterminant 6. On obtient aussi une démonstration directe en employant la belle et savante méthode qu'a donnée mon ami M. le D*" Borchardt, de Berlin, pour calculer les fonctions de M. Sturm dans le cas de l'équation 6 == o. Quoi qu'il en soit, la réalité des racines une fois établie, on détermine par la règle suivante combien il s'en trouve entre deux limites données 9o et Oj. Nommons Q/le déterminant du système

<^^1.2 «2,2—9 ... aV,2

calculé de manière que le terme principal ait le signe -f-, et désignons par (0) le nombre des termes positifs de la suite

a,, il,, i>3, ..., i2„.

Si l'on suppose 0| >9o> la quantité (Qq) sera plus grande que (9,), et la différence (Ôq) — {^k ) -^^'^^ précisément égale au nombre des racines de V équation 0 = 0 qui sont comprises entre Oq et 0,. On remarquera que la suite

est plus simple que la suite des dérivées du premier membre de l'équation proposée qui serviraient d'ailleurs au même usage à cause de la réalité de toutes ses racines, et sans doute il serait possible de passer directement de la seconde suite à la première, comme l'a fait M. Cauchy dans une circonstance analytique très semblable {Comptes rendus, t. XL, p. 1329). Mais, au point de vue où je me suis placé, l'équivalence des deux suites, comme l'existence d'une infinité d'autres qui jouissent des mêmes propriétés, se déduisent immédiatement d'une proposition élémentaire et fondamentale de la théorie des formes quadratiques. Au reste, c'est dans l'étude algébrique des formes quadratiques, mais des formes quadratiques d'une nature toute particulière et dont je vais donner la définition, que vient s'ofi'rir d'une manière directe Téquation Q ==: o. Leur caractère principal consiste en ce que les

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indéterminées j sont partagées en deux groupes de variables imaginaires, les variables de l'un des groupes étant les conjuguées des variables de l'autre groupe. A.insi, en représentant in variables imaginaires par

X r=z X -^ x' ^ — I. Y =. y ^ y' ^ — I, ..., U = W -H wV — I,

Xo=.r — x' \/ — 1, \^~ y — y' sj — I, .... \}ç^— u — u' \/ — I,

on aura l'expression analytique suivante de ces formes, savoir

cp = Xo(ai,i X H- <^i,2 Y H-. . .-H ai,^U) -4- Yo(a2,i X + «2,2 Y -h. ..+ «2,/iU)

• Uo(«/i,i X -h an^%^ -f-. . .-^ a„,«U),

et cette expression sera évidemment réelle en mettant en évidence ^, JK, ..., it^ x' ^ y', ..., il! ^ si les constantes a,^^^ et a^^^ sont comme précédemment des quantités imaginaires conjuguées. C'est principalement en vue de l'étude arithmétique des nombres entiers complexes de la forme a ^ h sJ — i que j'ai introduit la notion de ces nouvelles formes, comme on pourra le voir dans un de mes Mémoires publiés dans le Journal de C relie ^ t. 47. Mais, dans ce Mémoire, je me suis borné au cas le plus simple où l'on considère seulement deux paires d'indéterminées imaginaires conjuguées. Depuis, en essayant d'étendre ces premières recherches, j'ai reconnu qu'elles conduisaient à des principes nouveaux et féconds pour l'étude des équations algébriques à coefficients complexes. A.insi, au seul point de vue algébrique, je me suis trouvé amené à la détermination du nombre de leurs racines qui sont comprises dans l'intérieur d'un rectangle, d'un cercle et d'une infinité d'autres courbes fermées ou à branches infinies comme l'hyperbole (^). Ce sont autant de cas du beau théorème de M. Cauchy sur le nombre des racines qui sont renfermées dans un contour quelconque, et dont la démonstration très facile et très simple présente ce caractère particulier d'être indépendante de toute considération de continuité.

(*) Voyez sur ces questions l'extrait d'une Lettre que j'ai adressée à M. Borchardt et qui a été publiée dans le Journal de Crelle, t. 52.

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