CONSIDERATIONS SUR LA RESOLUTION ALGEBRIQUE

Nouvelles Annales de Mathématiques, Tome I.

1 . On sait que Lagrange a fait dépendre la résolution algébrique de l'équation générale du cinquième degré, de la détermination d'une racine d'une équation particulière du sixième degré, qu'il nomme réduite {Résolution des équations numériques, Note XIII). De sorte que, si cette réduite était décomposable en facteurs rationnels du second ou du troisième degré, on aurait la résolution de l'équation du cinquième degré. Je vais essayer de démontrer qu'une telle décomposition est impossible. A cet effet, j'ai besoin de la proposition suivante due à Lagrange [Mémoires de l^ Académie de Berlin^ t. 3) et de quelques observations sur les permutations.

2. Deux fonctions semblables non symétriques des racines d'une même équation X = o peuvent toujours s'exprimer rationnellement l'une par l'autre.

Démonstration, — Ondi^^eWe fonctions semblables de racines celles qui varient ensemble ou deviennent les mêmes pour les mêmes permutations : telles sont

(') Cet article, ainsi que le précédent, sont signés par M. Hermite, élève au Collège Louis-le-Grand (Institution Mayer). E. P.

Hosted by

Soient donc cp et ^ deux fonctions quelconques semblables des racines d'une équation, et supposons qu'en permutant les racines de toutes les manières possibles, la fonction cp ait n valeurs représentées par

les valeurs correspondantes de ^ sont

4^1, 4^2, 4^3, ..., 4^/î-l, ^ri-

11 est évident, par la théorie des équations, que les n valeurs de o sont racines d'une équation de degré n, qu'on obtient en effectuant le produit des facteurs

et, par les formules des fonctions symétriques, on connaît les coefficients de cette équation.

On a de même

f(x) =^(x — ^i)(a; — ^2).,.(a7—^ri-i)(^ — ^n) = o:

désignons par F\'cp^), ¥'(^2)^ - ■- -, les valeurs successives de la dérivée de F(^), en remplaçant x par cp^, cpa, . . ., cp,^. Formons la fonction suivante du degré n — i

(^•-CpOPHTl)"^' (^-?2)F'{T2)'^' (^-?«)F'(9.)'^"~''^^^'

et, par la théorie des fonctions symétriques, les coefficients de cette fonction sont donnés en fonction des coefficients de X = o, car on reconnaît facilement que les racines de l'équation X =1^ o j entrent sous forme invariable; donc 7t(^) est une fonction rationnelle de X, Faisant dans cette identité x = o^^le premier membre

F(,t) se réduit à son premier terme, carie quotient '- — ■ devient F^(cp, ),

lorsque .r=cD|, et tous les autres termes s'évanouissent : on suppose d'ailleurs tous les facteurs inégaux; donc

de même

Hosted by