Soit maintenant l'équation générale du cinquième degré

(i) x^ — Aia7*-i-A2^^ — k'^x'^-\' h^'^x — A5 = o (racines a, p, v, s, S).

Les coefficients sont supposés réels et rationnels. Formons l'équation au produit de deux racines ; elle est de la forme

(2) ^io Bi:r9-f-B2:z^8-i-...-^Bio=-o racines \ ^'^^ ^^'' ^^^' !.l' '!"'

B^, Bo, . . . sont des coefficients connus, réels et rationnels, et B< = Ao ; soit /(m, n,/?, q^ r) une fonction symétrique quelconque des cinq quantités qui y entrent; remplaçons d'abord les cinq quantités respectivement par les cinq racines de la première ligne, on obtient

/(^P» Pï' ï^' ^2' ^^) -~= ?'

et ensuite par les cinq racines de la seconde ligne, on obtient

/(aY, Y£, £p, p8, ^a)r=~.^.

Quelque permutation qu'on fasse entre les racines, ç 4- A ne peut prendre plus de six valeurs différentes. En eff'et, '^ n'est susceptible au plus que de cent vingt valeurs diff'érentes ou de vingt-quatre groupes de cinq termes chacun donnés par l'indice 2345 1; il est évident par la seule inspection que les cinq termes de chaque groupe deviennent identiques : ainsi le premier terme du premier groupe est

et le second terme devient

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égal au premier. Donc les cent vingt valeurs de cp et de ^|> se réduisent à vingt-quatre termes donnés par les permutations des quatre racines p, y, S, s, lesquelles se rangent en six groupes de quatre termes fournis par l'indice 2^i3; mais il est évident que cp se change par cet indice en ^ et vice versa; car fiySe, qui appartient à cp, donne en vertu de cet indice ye^S qui appartient à tj/, et ainsi des autres.

On prouvera de même que cp^j; n'est susceptible que de six valeurs.

cp =r ap -I- Py -H y8 -H 8e -h sa,

^ =^ ay H- yt ^- s^ -f- ^o -|- 8a ; l'équation d'où dépendent les valeurs de o^ sera donc de la forme (3) ;rs— d^s-hCg^'^-f- ...H- Ge^o.

Désignant les six racines par X^ , X2, )^3, . . . , Xc, on aura

1. (ap -f- Py -^ 78 ^- 8£ -f- sa j(aY -i- ys -+ sjB -f- ^8 -h 8a) — Xi,

2. («8 -f- 8e -H £p -{- Py -^T°')(^P -1- fio m- oy -f- Y^ "^ ea ) == X2,

3. («Y -i- yP -t- p8 ^- 80 -4- £a)(a8 -4- 8y h- Y^ -i- ep -i- ^a) = X3,

4. (aY -+- y8 -+- 8s H- ep ^- pa)(a£ -t- £Y -f- Y? ~^ P^ "•" ^^ ) — ^4»

5. (as -+- £p -f-pY-f^Y^ + 8a)(aY-+- Y^ -H £8 -1- 8p + pa) = X5,

6. («8 -i- 8£ + £Y -i- yP "^ P^)('^ï -f- Y^ + ^H "^ P- "+" ^^) ~ ^6-

Ces six racines se composent de douze facteurs ; la somme de deux facteurs de la même racine est connue et constamment égale à A2; de plus, chaque facteur a deux ou trois termes en commun avec dix autres facteurs, et ces termes communs sont des racines de l'équation (2). Cela posé, je dis que l'équation (3) ne peut admettre un facteur rationnel ni du deuxième, ni du troisième degré ; supposons qu'il existe un facteur rationnel du deuxième degré, et qu'il comprenne les deux racines ).< , X2 • dans cette hypothèse, ces deux racines sont déterminables et n'impliquent qu'un radical carré : connaissant le produit et la somme de deux facteurs, on connaît les facteurs; donc, les quatre facteurs qui servent à former les racines 'ki , X2 sont connus et ne renferment que des

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radicaux carrés. Or, l'équation (2) admet deux cent cinquantedeux facteurs du cinquième degré, tous de la forme

x^ — Cl iz-'^ H- C^x^ — G3^2 | G^ip — G5.

Il est évident que dans le nombre il existe quatre facteurs où Ci a pour valeurs les quatre facteurs des racines \^^ X2 ; C^ est donc déterminé, et ne renferme que des radicaux carrés; et par conséquent tous les autres coefficients C2, G3, C4 sont aussi déterminés d'après la proposition énoncée (4)- Parmi ces quatre facteurs du second degré il j en a deux qui ont deux racines en commun, Py et Se par exemple ; si l'on avait pris les deux racines \^ et X4, on trouverait, dans les diviseurs du cinquième degré, trois racines en commun a^, yS, Se. En tout cas, deux facteurs du cinquième degré qui correspondent à deux racines de l'équation (3) ont soit deux, soit trois racines en commun. D'après la théorie des équations, des racines communes à deux diviseurs peuvent être données séparément; donc a^ est racine d'une équation, soit du deuxième, soit du troisième degré, dont les coefficients ne renferment que des radicaux carrés; donc la valeur de a^ est donnée en fonction des coefficients de l'équation (i) et ne renferme que des radicaux carrés et cubiques; mais a + [^ peut toujours s'exprimer rationnellement en fonction de a[3 (2); il s'ensuivrait donc que les racines a et p de l'équation du cinquième degré ne renfermeraient que des racines carrées ou cubiques, résultat absurde, qui provient de l'admission d'un facteur rationnel du second degré dans l'équation (3); donc ce facteur n'existe, pas. On démontrerait de la même manière et a fortiori que cette équation n'a pas de facteur rationnel du troisième degré ; et par conséquent les racines X^, X25 ••• ^^ peuvent s'exprimer en radicaux carrés et cubiques.

8. Je vais maintenant démontrer comme une conséquence de ce qui précède que les racines de la réduite de Lagrange ne peuvent non plus s'exprimer en radicaux carrés et cubiques. En effet, rappelons succinctement la manière d'obtenir cette réduite. On pose l'équation

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et l'on fait

^ = a 4- (x^ + [JL2y | jj^ag | p.4£^

d'où

OÙ Ç', ^'', Ç'^^, i^^^ sont des fonctions déterminées des cinq racines de l'équation (t); la réduite dont il s'agit a pour racines les valeurs que peut prendre une fonction symétrique de ces quantités, pour toutes les permutations entre les racines a, [3, y, S, s ; or ces valeurs se réduisent à six, par la même raison que les valeurs de cp^|^ se sont réduites à six (7) : i^ à cause de l'échelle de permutation 2 345 1 qui les réduit à vingt-quatre; a"" de l'échelle 24x3, qui réduit les vingt-quatre à six 5 nommons /une racine quelconque de la réduite de Lagrange et X une racine correspondant à la même permutation de notre équation (3). Il est évident que ces quantités varient simultanément ou restent les mêmes pour les mêmes permutations ; elles sont donc des fonctions semblables des racines ; l'une peut donc s'exprimer en fonction rationnelle de l'autre ; on a ainsi X = F(/); donc, si / ne renfermait que des radicaux carrés et cubiques, il en serait de même de X, ce qui a été démontré impossible ; donc / doit admettre d'autres radicaux ; par conséquent la réduite de Lagrange est essentiellement irréductible, n'a pas de facteurs rationnels du deuxième et du troisième degré. Or, elle devrait en avoir pour que la résolution de l'équation du cinquième degré fût possible, donc cette résolution est impossible et a fortiori la résolution des équations de degré supérieur.

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