EXTRAITS
DE
Tome I des Opuscula mathematica de Jacobi, 1846 et Journal de Crelle^ Tome 32.
Paris, Janvier i843.
L'étude de votre Mémoire publié dans le Journal de M. Crelle sous le titre : De fiinctionibus quadrupliciter periodicis quibus theoria transcendentium Abelianarum innititui% m'a conduit, pour la division des arguments dans ces fonctions, à un théorème analogue à celui que vous avez donné dans le troisième Volume du même journal, pour obtenir l'expression la plus simple des racines des équations traitées par Abel. M. Liouville m'a engagé à vous écrire pour vous soumettre ce Travail; oserais-je espérer Monsieur, que vous daignerez l'accueillir avec toute l'indulgence dont il a besoin?
Soit
/-''(g -4- ^x')dx r^'(o^-i~?y)àr
, r"" {y! -\- ^' x) dx r^(o^'-i- ?'y)ày ""-X M^) ^J, Hr) '
X = lo{u, u'), ^ — Xi( w, w').
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LETTRES DE M. CHARLES HERMITE A M. JACOBI. Il
Faisons pour abréger
x,i^= ^^{nu, nu'), yn ~ \\ {nu, nu):
ceà deux quantités seront déterminées simultanément par les deux racines d'une équation du second degré,
dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de x^ y^ ^{x), A(jk); j'ai trouvé qu'ils étaient de la forme P + Q A(^) A(jk)? où P et Q sont des fonctions rationnelles de x et y; mais cette remarque n'est pas essentielle pour ce qui suit.
Je partirai de ce que les racines simultanées des deux équations
(A) Va;l-+-V'xn-^W--= o, Vyl-^V'yn-^ IJ" '-^ o
sont données par les formules
^ / mil i/ - ï -^ ^'^9 -+- J^" i-i \/ - I H- m" i'^
X =^ kç^y u '
mi\
iW-
-ï-^tn"'i'.,.
mi^
rr+ m'" H
mi\
en attribuant aux nombres entiers m, m! ^ m!' ^ ml" les valeurs o, 1,
Cela posé, soit pour abréger
I — mil sj — 1 -T- in! i^ -i- m!' 4 / — i -r- m!" 4 , r = mi\ \J — i -4- m! i'^ -\- ml' i'^ \J — i -h m'" i\^ ,
et désignons par /(^, y) une fonction rationnelle symétrique de x et y y et par/?, q^ r, s quatre racines de l'équation binôme ^"==: i, je dis que l'on aura
Xi ( w -h -, u'-h - ) I [p'^q''''r"'"s'^"'
:= V^JAH-BA[Xo(/ia,^w')]-t-GA[Xi(nw, aiw')] + DA[Xo(^Wj nu')]^['kl{nu, nu'
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A, B, C, D désignant des fonctions rationnelles de \{nu^ nu')^ \ (nUj nu').
Le premier membre peut d'abord se ramener à une fonction rationnelle de >.o(w, i/), ^^(w, u'). En effet, d'après la propriété fondamentale des fonctions Iq, li, un terme quelconque, tel que
f\lo(u-^ -' ^'-^ n)' ^^ V^'^ n' ^ "^ n) r P^^^^^ ^^^^ exprimé rationnellement en loi^, u'), )., (?/, u'), ^{\q{u, u')\ ^[\^{u^ u% et les quantités analogues relatives à la division des indices. Or on trouve aisément ces formules
qui montrent que les radicaux carrés A[}vo(«/, ié)\ A[X|(w, y!)\ pourront s'exprimer rationnellement en \{u^ u')^ ^\{u^ u')] car en faisant disparaître les irrationnelles des équations (A), puis les différentiant successivement par rapport k u el u\ on obtiendra les expressions des dérivées partielles en fonction rationnelle de \q{u^ u') et )v, [u^ u').
Représentons le premier membre de l'équation (B) par cp(^, u')] on démontrera bien aisément que
ki, y/^ -f- k' 4 -H k" 4 \/^^i 4- k'" H , ki\ v/=T-- k' i\ + k!' i\ sj~^i + k
n ri
quels que soient les entiers A", k'j k", k"^ .
En l'élevant à la puissance n}^"^^^ on obtient donc une fonction rationnelle de \o{u^ u'), '^{{u, u')^ qui ne change point en substituant à ces quantités deux autres quelconques des racines simultanées des équations proposées. 11 suit de là et de la théorie des fonctions symétriques des racines d'un système d'équations à plusieurs inconnues, que cette fonction pourra être déterminée rationnellement par les coefficients des équations (A).
J'observe actuellement qu'il a été introduit les quantités
dko(nu, nu') dlo{nu, nu') dXi(nu^ nu') d\\{nu^ nu') i,
, — , j -j—, que ion
du du du du ^
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LETTRES DE M. CHARLES HERMITE A M. JACOBI. l3
pourra éliminer par les formules suivantes :
Or, une fonction rationnelle quelconque des deux radicaux A[}vo(^/, u^)]j à[A^(u, u')] peut toujours être mise sous la forme
ce qui achève la démonstration du théorème énoncé.
En supposant successivement/(^, j) = ^ -^Xj et /(^, y) = xy, on aura séparément par une somme de n'^ — i radicaux /^iènles {^^ coefficients d'une équation du second degré, dont les racines détermineront finalement celles des équations proposées. On pourrait aussi faire voir qu'il suffit de connaître l'un d'eux, l'autre se déterminant rationnellement par celui-là.
Pour obtenir la division des indices, soit
, ki\ v/~ - I -4- A:' f^ -h k'^ ^3 \/— I H- k'" i\ V
on aura ^,^ = o, yn = o, et les équations à résoudre seront
leurs racines seront comprises dans les formules
H /— 1 -^ rii! U + m!' U \/ — [ H- m'" ij, mi\ sj ~ ^ 4- m' i\ -+- m" i'^ J — r -i- m!" i'
m- il sJ — I -\- m! û^ + m" 4 s/— i 4- m'" 4 m i\ y/ — ] -t- m' i'^ h- m" i'^ sJ — \^m"' i
en attribuant aux nombres entiers m, m! ^ ni' ^ m!" les valeurs o, i, 2, ..., n — I. Mais si l'on suppose n premier et impair, on verra aisément qu'en supposant successivement
( Il rrr i'i \J~^^\, \\ = i\ \l— I : I2 — fi. t'i y/— 1 4- H, l'a — H^ i\ \l — 1 -
\ 1 4 = [j(. il sj— I + [jl' i^^ 4- [Jt." iz s/— H- 4 , Jt 4 = I^ ^'1 /— I ^- !^' ^2 -^ ^^" ^ s /" '
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l4 ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.
on pourra leur substituer les suivantes
X' — Aq ( m — , m -^ ) , y= Ali m~, m —
â7 = An 7?i — - m -- 1 y = XaI m - y m -^
-s/ A3 AoX ^/J3 lo
— Ào m — ^ /?! -^ ' V = Al m —
en excluant la solution zéro, et donnant à m les valeurs i, 2, . . ., n — I et à [JL, ^'j ^" les valeurs o, 1,2, . . .^ n — i.
Mais comme les intégrales qui entrent dans les expressions (le u et u^ ont été prises à la limite inférieure zéro, on a \o(—u, — u') = 'ko(Uj u')^ \i(—u, — u')==^\^{u^ ii')j d'où il arrive ([ue les /^^ — 1 solutions des équations (C) sont égales deux à deux; et il suffira de prendre, dans les formules précédentes, m^^i, 2, ,.., ^(/i — i).
Soit toujours y"(^, /y) une fonction rationnelle et symétrique de X et y] on établira d'abord qu'en désignant par I l'une des ([uantités I^, I2, I3, I4, par F la quantité correspondante au second argument, l'expression
peut se ramener, quel que soit le nombre entier A", à une fonction rationnelle de )^o(— ^— )' ^i(— ')• Gela résulte de ce que les
n n \nn
radicaux A ).p(— ? -)p A )^W-j —M s'expriment eux-mêmes
rationnellement en )vo ( — ' — ) » ^i \ —^ ~\' comme il est facile de le
voir d'après ce qui a été dit plus haut. Cela posé, l'expression
OÙ /est un entier quelconque, pouira être ramenée à une fonction rationnelle et symétrique de Àq ( — ? — ), À| ( — , - )? que je repre-
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senterai, pour abréger, par ^( - ^ — )' et que l'on démontrera aisément jouir de la propriété que
quel que soit le nombre entier v.
Donc, donnant successivement à I et F toutes les valeurs correspondantes comprises dans les formules (D), on pourra construire une équation entièrement rationnelle, qui aura pour racines les
valeurs qui en résulteront pour la fonction Ç ( -^ - j •
Il est bien facile de voir que son degré sera le nombre
ainsi, l'équation de degré ^{n'' — i) de laquelle dépend la détermination d'une fonction rationnelle symétrique de )^o ( - ? ^ ) ' ' peut être décomposée en facteurs du degré tXti — i ),
\n n au moyen des racines d'une équation rationnelle du degré — — — .
Les équations de degré ^(aî — i) sont résolubles par radicaux. Pour le faire voir en peu de mots, soit p une racine primitive par rapport au nombre premier n, on établira d'abord que leurs racines peuvent être représentées par la formule
/[Xo(p4:
^ n/ y n ' nj
en supposant /: = o, i, 2, ..., ^(ai — 3); et si l'on considère la puissance de degré ^(n — i) de l'expression
OÙ 0 est une racine de 0^ — 1 = 0, on verra qu'elle peut être ramenée à une fonction rationnelle et symétrique de Ao(~' -)'
}xW - ? - ) que je représenterai, pour abréger, par ^ 1-, ~), et qui
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jouira, comme la fonction cp, de la propriété que
^\n n ! ^ \n nj
Dès lors on démontre aisément qu'on peut trouver une fonction rationnelle F (^) telle que, pour toutes les valeurs de I et F comprises dans les formules (D), on ait
Or, connaissant la fonction ^, on sait comment en déduire toutes les racines de l'équation proposée.
Les considérations précédentes semblent pouvoir s'appliquer également aux autres classes des transcendantes nommées généralement par Legendre /o/ic^iO/25 ultra-elliptiques; 'A est facile en effet de trouver les formules suivantes. Soit
e>t(a?) == «A- -4- Pat^H- YA:^^+. • • -\--r\kX'',
k{oc) = f
posons
et soit
Ui=^l{Xo)-\- 4>i(a7i)+. . .-f- ^i{Xn), •)
Un=^n{0!^o) + */^(^l) -+-...+ *,i(.r,ï ),
Xq — Xo (Woj Ui, . . ., Un), Xi = Xi ( Mo, Wi, . . . , Un),
Vn =^ ^ni^Oi ^1? • • • ; ^n),
on aura
^ , ^ dxo ^ . . dxo - . . dxo ^ , . dxo
M-o) = 6o(^o) ^ -H 6.(.ro) ^ + 6.(^0) ^ +. . ■+ e„(^„) ^^,
^ , , dxi ^ , , dxi „ , . dxi „ . , dxi
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Les fonctions 0 étant du degré n^ on trouve aussi que les racines de l'équation du n^^"^^ degré
sont les /i fonctions Xq, x^^ x^-^ - - -, ^A-i? ^k+\ • • •? ^/z-
En cherchant à déterminer directement le degré des équations relatives à la division des arguments dans les fonctions )., j'ai été conduit à cette remarque, que l'équation algébrique correspondante à l'équation transcendante
<ï>(ao) -f- *(ai)-i- ^(ag) +. . .-h *(a;i) = (jL<ï>(^j
a ses coefficients rationnels en x, quel que soit le nombre entier [Ji; mais voici quelque chose de plus étendu.
Considérez la transcendante / „, '^ où F(^) est un poly-
nome entier du degré m, ^(x) un autre polynôme d'un degré
<< m I. Si l'on suppose n el m premiers entre eux, et si l'on
fait v = ^(m — ■ï){n — ^i), on sait que la somme d'un nombre quelconque de pareilles intégrales relatives aux variables x, y^ z^ ... est réductible à une somme composée de v termes seulement, dont les arguments a^, a^, ..., av i sont déterminés par les racines d'une équation du degré v, dont les coefficients sont rationnels
enœ,y,z,..., v/[FM> Vî^iy)], VÏW)], ■•••
Or, si l'on fait x =.y =z ^ = . . .^ l'équation correspondante à l'équation transcendante
r""' ^{x)dx r^"' î
Jo V\F(x)^] "^ Jo V
(x) dx
VvY{xY\ j, y\Y^xf\
r'''-' e{x)dx r^^ ^{x)d.r
aura tous ses coefficients rationnels en x.
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Paris, Août i844-
La bonté avec laquelle vous avec accueilli mes premières recherches sur les fonctions abéliennes m'engage à vous écrire une seconde fois, pour vous soumettre quelques nouveaux résultats auxquels j'ai été conduit par l'étude de vos Ouvrages, en essayant d'étendre aux transcendantes plus générales les principales théories des fonctions elliptiques. Mon Travail m'a amené, naturellement, à rechercher la démonstration de quelques-uns des théorèmes que vous avez énoncés dans le Journal de M, Crelle ; c'est aussi, Monsieur, ce dont je vous demanderai la permission de vous entretenir d'abord; je m'occuperai surtout de l'expression de
sinam(w, x) par sinam( j^r» ^j? si importante pour la théorie des
fonctions elliptiques; mais je ne sais si j'aurai véritablement rencontré les principes qui vous ont conduit à ce beau théorème.
En suivant vos notations, je nommerai H(^), %[x) les deux fonctions qui donnent
et qui satisfont aux conditions
et voici d'abord une remarque sur laquelle je me fonderai principalement. Soit O(^) une fonction définie par l'équation
(•2) ^{x^iiK')--=^—e'"^^'''^'^'^ ^{x)
et par la condition de périodicité
(3) ^{X'\-/iK)=^^{x),
e{x^'iiK')
H(x -h 2tK')
(x+fK')
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on trouvera qu'en supposant
les coefficients se déterminent de la manière suivante :
de sorte qu'en employant les fonctions H et 0 on a <ï>(rr) = AH(:r)-f-B0(a7).
Cela posé, soient n un nombre premier, p un entier compris entre o et ai — i ; faisons a = e "^ et considérons la somme
H hr
\ ri I
nommons 0(;r) le numérateur et ^o(^) le dénominateur, savoir :
*o(a^) = 0(a7)e(a;-ui!^^e(^- ^^ '
on déduit sans peine de la propriété fondamentale des 6, qui est exprimée par l'égalité (i), la condition
^,{x -+- 2iK') - ~ e~"^ ^'""^''''^ <î>o(^),
et il est clair que l'on a
^Ax-\-—-\ =4>o(^).
Or ces deux équations peuvent être ramenées aux équations (2) et (3), de la manière suivante. Soit ç(^) une fonction définie par les deux conditions
cp(a7+2iKi) = — e Kl <p(^) et cp(a?-i-4Ki) = <p(a7) :
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on aura, d'après ce qui a été dit tout à l'heure,
^{a;)^ AHi(^)-hBei(rï^),
en désignant par H| et 0| les fonctions H et 0, dans lesquelles R et K' seraient supposés devenus K^ et R'^ ; posons ensuite
^■^ = iTT"^ et faisons ^= -tt^^; il viendra, comme on le voit
facilement
(z-hiK') / nKi
et
Or ces équations font voir que l'on aura
*o(.) = <p(^.)=AH,(^.)h-B0.(^.), et comme la fonction ^o est paire, il faut faire A = o et il vient
^q(cc) — const. ©1 / -r~- X ) .
Je passe actuellement au numérateur désigné par ^[x). On établit immédiatement qu'il satisfait encore à l'équation
(4) ^{a;-h2iK')=-e~'"^ ^i^),
et l'on peut même observer que chacun des n produits dont la somme le compose la vérifie isolément. On trouve ensuite, en désignant par y un nombre entier,
Si donc je pose j'aurai
D'ailleurs de l'équation fondamentale (4) on tirera
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et en mettant x — 4/^ — à la place de x, et faisant pour plus de clarté
on en déduit
W,(cc-h2 iK') =~e~""^ ^'''^'^'^ Wi (ce).
Ainsi par cette transformation nous sommes entièremeat ramenés à l'équation (4). Mais on a' la condition de périodicité
donc, en raisonnant comme plus haut, il viendra
Faisons pour la suite —r~ = ^; nous aurons le théorème exprimé par l'égalité
• / 4K\ , . / 8K\ smam(a7) + a sinam f x -i- - — j 4- a- sinam I x H )-}-...
-4- a«-i sin am hr H —
J'observe que le premier membre change de signe en augmentant X de 2K; le nombre n étant impair, il en est de même de la fonction H| ( ^ j ; d'ailleurs ^J-z^j ne change pas ; ainsi il faut faire B = o, et il vient
/ 4K\ , . r 4(^ — OKI sinam (^) -f- a sinam ( x -h - — 1 -h. . . 4- a'^-i sinam x -\ —
= const.e ^
.^,, ^ e ' *^ ©1 hr. -+-4P — -
= const. sinam tt + 4P
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Je substitue maintenant aux fonctions 0 à période réelle, les
fonctions analogues ^(x) =^ e''^^' S(œ) , à la période imaginaire 4 i K^ 'y un trouve
de sorte qu'à un facteur constant près, l'expression
iTZ.r f 'j^r
2» -rr- ^ /X , iK.
se transforme en la suivante :
i % nr
OÙ l'exponentielle e *^ a disparu ; ainsi il vient
sinam(a7) -h a sinam ( a; -f- - — ) ~^- • •-t-a'^"^ sinam x H —
^ fx , iM\
/ (X ^ .-K-, ^^M^^^-TT = const. sinam ( iTf + 4/^ ) "
Pour déterminer la constante, je multiplie les deux membres par X — i'K', puis je fais x == i¥J \ en nommant x, x^ les modules des fonctions K, K^ , le terme smam(jr) qu'il j a seul lieu de considérer dans le premier membre donne -; dans le second il suffit d'avoir
la valeur de la dérivée de Si (^^ j, pour x = iK'. Or, on obtient
, ti/xi 3*1 (o) . . 1, , !• ,
sans peine pour résultat ~ — ^ : ainsi on a 1 égalité
const. sinam -r-j — h 4P -
et l'on en tire après quelques transformations faciles
xi 2ri(o) const. = v/
Mx ^ /4/>tKi
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Nous voici de la sorte parvenus au théorème exprimé par l'égalité
sm am {x) -h a sin am ( ^ h 1 -i- . . . + a«-i sin am Lr H- -^-^ —
sinam(-.-+-4i?-^^
Je n'ai plus maintenant qu'à vous emprunter, Monsieur, la méthode par laquelle vous établissez les propriétés si remarquables de la fonction
En formant le produit
on aura A (^ -f- 4/? — ) = ^(^)7 et l'on en déduit la formule suivante :
ni--î'i—(5)"-"(^'^)]n,,[--î"»-™(^''^)-'-'"'(^'^)]
de laquelle découle ainsi la démonstration de votre théorème sur
l'expression algébrique de sinam(.r) par sinam ( ^ ) •
La méthode précédente est fondée principalement sur ce caractère, digne de toute notre attention, de la fonction sinam(^), d'être exprimable par le quotient de deux fonctions développables en séries, toujours convergentes, et qui restent les mêmes, ou ne font qu'acquérir un facteur commun, en augmentant l'argument
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de certaines quantités constantes. Tel est le lien si simple par lequel se trouve rattaché, aux notions analytiques élémentaires, l'ensemble des propriétés caractéristiques de la nouvelle transcendante, qui ont leur source dans le principe de la double période. Mais il est important d'abord d'observer, dans toute fonction rationnelle de sinam(iï:), l'analogie des fonctions .qui jouent les rôles de numérateur et de dénominateur, avec les fonctions H et 0. A cet effet, je considère la fonction homogène d'un degré quelconque n :
<t>(^) = AH'^(ir) -I- BH«-i %{x)-\-, . .-4- LH(^) e"-i(^) 4- I e«(:r). On trouve bien facilement, d'après chaque terme en particulier,
on a d'ailleurs
ainsi dans ce cas général, l'expression analytique du caractère de la double périodicité se présente sous la même forme que pour la fonction sinam(^). Introduisons aussi la fonction
H'(^)e(^) — H(rr)e'(^),
qui représente le numérateur de la dérivée de — — ; en la désignant un instant par y(^), on aura sans peine
De là résulte que la fonction suivante
(a) n(^) r= AH«(jr) H- BH«-i {x) %{x) -+-...-{- LH(^) 0'^-i(^)-i- I e«(^)
X [ A'H«-2(^) -f- B'H«-3(ip) 0(;r) +. . . -f- 1' e«-2(^)] donnera encore
n(^ 4- 4K) = n(^), n(:r + %iY^) = (i)^e~" "î^ ^'""^'^"^ u{x).
Mais on ne peut pas satisfaire à ces deux équations par une solution plus générale que la fonction définie par l'équation (a) qui renferme an constantes arbitraires.
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Supposons en effet
la seconde équation donnera facilement d'où
k étant un nombre entier positif ou négatif. On voit par là que tous les coefficients s'obtiendront au moyen des quantités ao, a^, . . ., a^n-x qi^ii restent arbitraires. Si à la condition
on substitue la condition plus particulière
tous les coefficients à indices pairs devront être nuls, ce qui réduira à moitié le nombre des constantes arbitraires. Ainsi je considère l'expression
sinam(a7)F[sin2am(a7)] ^-^-^/[sm2am(a7)],
OÙ F(^) et f{x) désignent deux fonctions entières, l'une du degré m, l'autre du degré m — i ] je remplace sinam(^) par
-i^ —7 — ^5 le numérateur
vérifiera les deux équations
l\{x~\-iK) = — W{x), U{x^iiK:)= — e ^ Tl{x)
indépendamment des valeurs des coefficients au nombre de 2 772 4- 1 qu'il renferme ; il en représentera donc la solution la plus générale. Mais, d'une autre part, je considère le produit des
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2 7W + I facteurs
H(iFH-ai) H(ir + a2)-.-H(:z7H-a2«OH(a7H-a2/«-M) ••
il satisfait évidemment à la première des équations précédentes, et l'on voit sans peine qu'il vérifiera la seconde, en assujettissant les constantes «i, «2, • . ., «27w, ^2m+n à la seule condition
«1 -f- «2 -+-... H- «2 m H- <^2/w+i == ay K ,
j étant un nombre entier quelconque. En introduisant un facteur constant, on aura une nouvelle expression de la solution générale, dont la comparaison avec la première donne le théorème exprimé par l'égalité
sinam(;r) F[sin2am(a7)] -^ — ^ — f\<T>\w^ d.m{x)\
H(.r-}-ai)H(^-4-a9)...H(^-+- a^m+\)
Ainsi nous obtenons^ sous la forme trouvée par Abel, les propriétés fondamentales des fonctions elliptiques relatives à l'addition des arguments.
Dans le cas le plus simple, celui de m = i, on aura
sinama7[sin2am(a7) -i- AJ — B -^ -
H(cc -^- ai)E(cr -h a^)ll(x — a^ — a^) = const. '- 7W7^ — ~"
Les coefficients A, B dépendent des quantités ai et «2? ^^^ moyen des deux équations qui expriment que le premier membre s'annule pour ^ = — a^, X ^= — ^2.
Si Ton suppose «i = — «2, on trouvera
B ~ o, A= — sin2am(ai), ce qui donnera
/ xr • o / • o / . H(^)H(a7-H ai)H(^ — a,) sinam(^)rsin2am(:r ) — sin^amfai — const. --— - — ^ :
et par suite
/ N • « / ■ H(iP -;- «i) H(a7 — ai) sin2am(^) -- s\n^am( ai ) — const. —f-. — ?
log[sin2am(a7) — sin2am(ai)]
= const. H- logH(^ + ai) 4- logH(^ — «i) — 2log6(:r),
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Cette dernière équation conduit à la théorie des fonctions de troisième espèce, en difFérentiant par rapport à a^ , et intégrant par rapport à x.
Mais je reprends les deux équations
dont la solution générale est donnée par l'expression
En faisant a = e " et
<î>(^) =:n(a7)-t-an(;2?4- i - ) -f-a2n (^H j +...
