aura toujours la seconde équation

— /i -rp (J^' + ïK )

<ï>(;r -I- '2tK ) = (— i)«e K *(^)j

mais de plus

Posant donc

il viendra

n j Je mets à la place du facteur ( — i)'', g'"'^, et je fais

j'obtiendrai par là les deux équations

Wi ix -^ i~ j ::^ Wi (^), W-i (^ -+- 2 t'K') = - e~" "i^ ^^""^'^^'^ Wi (.2^).

On aurait pu faire plus généralement

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V désignant un nombre impair quelconque, et l'on serait arrivé aux mêmes conditions. En faisant

on trouvera, comme je l'ai déjà établi, que le nombre n soit impair ou pair,

Nous voici donc parvenu au théorème exprimé par l'égalité suivante :

p'-irS H r^ ^jK'-(n-v)Kl ,„ fa; , yotK'-(n-v)K-] ) = e 2K)^H,|^-+ ^^ J+60,|^ + -^ Jj.

Sans m'arrêter à la détermination des constantes a, 6, il est clair qu'en remplaçant a successivement par toutes les racines de l'équation binôme ^'^ = i , ou en faisant /? = o, i, 2, ..., n — i, on aura un système de n équations linéaires qui donneront

Cette nouvelle expression de la fonction n(^) conduit au développement en série de toute fonction rationnelle de sinam(^) et de sa dérivée. [J'ai remarqué à ce sujet qu'en cherchant le développement de la fonction

d'après celui de

/ji- /y» TC 9"

Q(x ) ~ 1 — iq cos-^- — h 2^^ C0S2 ^^ .

-— - (iJC — nW) {ix + nK')

on arrivait au résultat suivant :

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La fonction e'*^^'ll(x) donne de même

TT

La théorie de la transformation découle bien simplement des mêmes principes. Considérez, en effet, la somme ou la somme des produits 2 à 2, 3 à 3, etc., ou le produit des n fonctions (n étant impair) :

^ ^ 0 ( iP -f- - — j S (x '

fsin-