HA'^X
des fonctions du premier degré de — ,— ^ — -• On en conclut
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3o ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.
l'expression connue de cette dernière fonction, par une fonction rationnelle de l'une quelconque des quantités précédentes, etc.
Hier) Toutes ces propriétés, spéciales à la fonction à double période »
découlent immédiatement, comme on le voit, de l'équation de définition des fonctions H et 0 simplement périodiques; on peut même remarquer la grande extension que reçoit le développement en produit infini de sinam(^), qui a été obtenu la première fois comme conséquence des formules de transformation, au moyen de l'égalité obtenue plus haut, savoir :
sinam(57) F[sm2am(^)J /[sin2am(a-)]
^ ïK-r H- ai") H(.r-i-a2)- • .H(a7-f- a2w-4-i) — const. — — —'- — TT— ^
Jusqu'à présent, je n'ose point encore espérer, Monsieur, d'appliquer avec succès la méthode précédente à l'analyse des fonctions de deux variables à quatre périodes simultanées; ce sera donc sous un autre point de vue que je vais essayer de lier en quelques points, par des résultats analogues, la théorie des fonctions abéliennes et des fonctions elliptiques. Ainsi je prendrai les fonctions de troisième espèce, et sous la forme suivante :
A^ \ dy
y — b) AjK
l'intégrale étant assujettie à s'évanouir, lorsque l'on fait à la fois ^r=:o, j/=:o, \x représentant la racine carrée du polynôme psX^ -{- P2X- -r- p^x^ -\- f/^x'* -i~ p^x^. Je la désignerai par n(^^,i^, a, P), lorsqu'on y aura fait les substitutions x =^\q(u, p), y -~ Xi («/, p), les nouvelles variables u et ç étant comme à l'ordinaire
dcc r"^ dy r^ X dx C^ y dy
r" dx r dy __, r ^dx r
et de même a = Xo(a, [B), è = X^ (ol, j3). On aura alors les expressions suivantes des coefficients différentiels
du , X -\- y — a ^ . x -^ y — b
du {a ~ x){a—y) ' (b — x){b~y) dW Sa A6
dv ~ (a — x)(^a — y ) {b — x){b —y)
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LETTRES DE M. CHARLES HERMITE A M. JACOBI. 3l
J'introduirai pareillement les variables w et ç^ dans les fonctions de seconde espèce, savoir :
r / .r2 dT y^ dy\ r / x^ dx y^ dy\
elles deviendront respectivement
/ [(Xo-f- Xi) <ip — XqXi du]^ fiai -f- XoXi-f- k\)dç ^^ XoXi(Xo-^- Xi) du].
Gela posé, la première étant désignée pour un instant par (u^ i^)i , et la seconde par (i/, i^)2, je ferai
Ei(w, ç) == 2/?4(a, ç)i-{- 3/?5(w, ç)2 et E^iu, ç) = p^iu, p)i;
on aura alors le théorème exprimé par l'égalité suivante :
(i) 2n(M, i^, a, 3)--2n(qc, p, w, i^)
de laquelle se tirent les valeurs des fonctions complètes. Prenons en effet pour u el v deux demi-périodes simultanées ;, y, les valeurs correspondantes de ^ et y donneront A(x) =; o, A(j') = o ; ainsi l'on aura
2n(^y\a, P)=./?3(ay-PO-+-aEi(.-,y)-4-PE2(i',y)-i*Ei(a, p)-yE2(a, p).
On remarque sur cette expression un singulier genre de discontinuité de la fonction II. En effet, les arguments ^, v, étant quelconques, il est hors de doute que l'on peut, sans altérer sa valeur, ajouter les périodes simultanées aux arguments a, j3; mais si Ton suppose u^=^i, (^ = 7, la fonction deviendra uniquement périodique pour ces indices ; c'est ce que l'on vérifie aisément sur la valeur précédente.
L'égalité (i) peut être transformée en une autre plus simple. Posons Zi(w, ç) =.Ei(u, ç) — Au —Bi^, Z^iu, p) ^=E2{Uy p) — A'w — B'p
et déterminons A, B, A', B', par les conditions
Ai-i-Bj -Ej(i*,y), Ai'-hB/=:Ei(r,/),
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i! ^ f désignant deux autres demi-périodes simultanées. Faisons en outre
<Î>(m, ç^, a, P) = 2n(t^, P, a, P) M- MZi(a, ^) -^ vZ^,{ol, P) — c(a(^ — p w), c étant une constante dont la valeur est c = p3H-B — A', il viendra
(2) <ï>(t^, (^, a, p) — <î>(a, ^, u, v) — — c{(xv — ^u).
Dans le théorème exprimé par cette égalité, la fonction ^, comme il est aisé de voir, jouira de la propriété que
*(w-4-2t*, f -4- 2y , a, p) =:: *(w, p, a^ P), ^{u-i- ii\ p -+- 27', a, p) — <ï>(m5 p, a, P);
ainsi on obtiendrait une fonction séparément périodique en u et en v^ en prenant
-.T. / ON ^ / ^'^ -^ ^'' ^ /'^ -+- y ^ o\
Peut-être cela conduira-t-il à un développement de la fonction W
de la forme I^am.ne'^^^^"^"'^^^^^' J'^i remarqué à ce sujet que, le théorème d'Abel permettant d'exprimer algébriquement
. / iu -h i'ç j'u -1- /' V \ , / lu -f- i' V j'u -+- /' ç \
au moyen de
on obtenait un nouveau genre de réduction des fonctions de deux variables à des fonctions algébriques de fonctions d'une variable, parfaitement analogue à celui que vous m'avez fait. Monsieur, l'honneur de m'écrire; mais ce cas particulier, auquel j'ai été ainsi amené, ne m'a point semblé moins difficile à traiter que le cas général.
Quoi qu'il en soit, le théorème d'Abel donnera, pour l'addition des arguments dans la fonction II, l'égalité
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et l'on aura de même ( ^ )
::^ ^{u, V, a, P) + ^(u', v\ a, P) -}-log/(z^ r, w', p', a, P).
L'égalité (2), au moyen de laquelle on peut faire Téchange simultané des arguments ?/, (^ et a, [3, nous donnera le théorème correspondant :
= *(a, .3, u, (^) + *(a, p, z/, </ j -i- Iog/(z^, c, z/', p-', a, p),
auquel on pourrait arriver aussi par une voie directe. Cela posé, je mets dans l'équation (3), à la place de u^ u' . c, v' respectivement, i -\- 11^ i -h u'^ j + r, y + ^^ il viendra
H-iog/(z/-i- ?; p+y, z^'-i-/, t^'-f-y, a, p),
ou bien
= ^{u -\-{, ç H-y, a, p)-f-<lj(w'-{- i, (^'-4-y, a, p)
-H log/( t^ -+- t, PH-y, i^'+t, ç^'-H-y, a, p).
Cela étant, je fais a == ;/ — u'^ [â == (^ — ç' ^ ce qui donne
Je change ensuite u' ^ ç' en — u' ^ — r^ Comme la fonction $ change de signe avec les deux arguments ?/, v^ le terme <ï>( — ii^^ij — ^'+y\ ...) poLirra s'écrire — (^[u' — i, ç' — /,...), et, en ajoutant aux deux premiers arguments leurs périodes 2/, ay, — <Ï>(z/H- ;, v' -\- j -, . . .), de sorte qu'il viendra
^{u — u\ K> — v\ Il -;- u' ^ p -f- p')
-i- log/( M -t- i, (^ H- y, ? — w/, y — (^', w -!- w', (' M- p'). En ajoutant membre à membre les deux dernières égalités, et
(') La fonction désignée ici par y est le carré de la précédente. E. P.
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développant dans le second membre par le théorème sm^ l'addition des deux derniers arguments, il viendra
^{iC -h II, V 4- P', Il — u\ V — p') -h "^{u — u\ V — v\ u -\- u\ V ^ v') ^i^{u-\~ i, P+y, u, v)--i^{u' -^i, ^'-\-j, u', t^') -h fonct.log^
Enfin, si l'on applique au premier membre le théorème
*(w, r, a, p) — *(a, j3, u, v) =— c{av — ^a),
on obtiendra l'égalité
— ci^uv' — zi'p) -H une fonct. log^,
par laquelle la réduction des fonctions elliptiques de troisième espèce est étendue aux fonctions abéliennes.
Mais j'ai entrevu un autre genre de démonstration, fondée sur des considérations toutes différentes, et dont je vais essayer de donner l'idée en l'appliquant aux fonctions elliptiques.
Soit, comme à l'ordinaire.
posons
r"" L{a)dx
on trouvera facilement
et, en différentiant de nouveau par rapport à a.
dz\
da J^ L^x {x — af- a-
D'ailleurs on a immédiatement
dz ^(a) dx \ A(a)
^ dx X — a dx [x — af
on on conclut cette équation
-— t i A(a) = — 7 ~ A(^) — 2ax2 A(«) /
da ^ ' dx .A
dx A ( a )
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En prenant pour variables indépendantes les arguments ? et a des
fonctions
;r = sinam(^), « = sinam(a),
et mettant A[am(a)] au lieu de A[sinam(a)]j il viendra
-r- = -^irr — '^x^ ?sinam(a) Aram(a)l -f- -^ — V^ • da^ d^'^ ^ V ; L V ;j sin2am(a)
Soit
/^ r d'y. sin2am(a)t/a et ^ = — x2? E(a) — / -^ -— -^ u\ ^ ^ J smam(a)
on aura
l^^'d^' donc ^^ ==F(a-i-0+/(a — 0.
Considérons donc l'égalité
J^ sinam(^) — sinam(a)
J smam(a) ^ w ^ v w
En faisant ? = o, on a
F(a)H-/(a)- r,^?L__; ^ ^ ^ ^ ^ J sinam(a)^
)n trouverait de même, pour a = o,
rf|
lam(Ç)
donc
F(a)+/(a) = F(a)H-/(-a) ou /(a)=/(-a).
Je m'arrête un instant à cette remarque ; car, sans aller plus loin, on peut tirer de là les théorèmes fondamentaux des fonctions elliptiques. En effet, en différentiant par rapport à ^, il vient
A[am(a)] ^ .,. e(^) ^ F'(a + ?)-/'(.- ^).
sinam(^) — sinam(a)
Faisant successivement ^ = ^ -|- c/, ^ = ^ — a^ et retranchant on obtient l'égalité
A[am(a)] A[am(a)]
sinam(^ -f- a) — sinam(a) sinani(:z7 — a) — sinam(a )
Or la fonction f\x) étant impaire, on voit immédiatement que le second membre est symétrique par rapport à ^ et a; on aura donc
A[am(a)] A[am(a)]
sinam(^ -\- a) — sinam(a) siiiani(> — a) — sinam(a )
A[am(^)] A[am(a7)]
" sinam(a-i- a) — sinam(^) sin am(a — a) — sinam(a?j
De là se tire le théorème d'Euler sur l'addition des fonctions elliptiques. Soit en effet a = o, on aura
sinam(;37 -h <2) sinam(.97 — a)
A|am(^)] A[amO)]
" siriam(a) — sinam(a7) ' sinam(a) -h sinam(:î7)
