sinam (a) A[am(^)] "" sin2am(a) — siii2am(a

et permutant ^ et a

f I 2sinam(a7) A[am(a)]

sinam(ir^-a) ' sinam(^ — a) sin^amf^) — sin2am(a) donc, en ajoutant membre à membre

I sinam(^) A[am(a)] — sin am(a) A[am(:r)] ^

sinam(iK"-i- a) ~~ sin'^am(ir) — sin2am(a)

ce qui se ramène sans difficulté à la formule connue. De la même source on tire encore le théorème sur l'addition des arguments dans la fonction de troisième espèce, en opérant ainsi que je l'ai fait dans une lettre adressée à M. Liouville, imprimée déjà dans les Comptes rendus, et qui paraîtra de nouveau dans le prochain numéro du Journal de Mathématiques, Il ne serait pas difficile d'arriver à la forme que vous prenez ordinairement. Monsieur, pour les fonctions de troisième espèce; il suffirait ])our cela de partir de la formule suivante, que l'on démontrerait comme précédemment; savoir, i étant une quelconque des quantités qui donnent sin am (^u -\- i) = sin am (^u — i) :

A|ani(a-l- 01 A[am(a -F iS\

sinam(jr -^ a) — sinam(a h- i) sinam(^ — a) — sinam(a-4-i)

^ Afam(a7-4- i)] A[am(.r-i- j;:')]

~~ sin am(a -h a) — sin am(;r -\- i) sinam(a — a) — sinam(:p -4- i)

et de prendre i tel que -^r- ■= o.

^ A sinam(f)

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LETTRES DE M. CHARLES HERMITE A M. JACOBI. Sy

Mais je reviens à l'égalité X sinam(0-sinam(a) +-''-^?E(a)+J -j-^ = F(a + ^)+/(a?).

Changeons a en ~ a, puis retranchons membre à membre, il viendra

Jr^2sinafn(a) A[am(a)] <i^ ^ sin2am(^) — siii"2am(a)

Le second membre pourra encore évidemment être représenté par

F(a + ^) +/(a — ç), et puisque le premier s'annule pour ? = o, et a=o, par F(^ + a) — F(i — a), F étant une fonction paire. Pour la déterminer, dilTérentions par rapport à E; puis faisons S :=: o, il viendra

sm2am(a) ^ ''

d'où, en posant Z(a) = j E(a) doL :

F(a) ^ — |logsin2am(a) 4- yJZ{a); il vient donc cette égalité

/^ 2sin sin2f

am(a) A[am(a)] d^

/q siu^am(^) — sin2am(a) de laquelle se conclut sans peine tout le reste de cette recherche.

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