SUR LÀ DIVISION
DES
FONCTIONS ABÉLIENNES
ou ULTRA-ELLIPTIQUES I').
Mémoires présentés par divers Savants étrangers à V Académie des Sciences, Tome X.
L'objet principal du premier Mémoire d'Abel sur la théorie des fonctions elliptiques est la résolution des équations relatives à leur division en parties égales. Le beau résultat auquel il est parvenu, savoir, que cette résolution est toujours possible à Faide de radicaux, en supposant connue la division de la fonction complète, peut être étendu aux transcendantes d'ordre plus élevé nommées par Legendreyb/^c^^o/^5 ultra-elliptiques , au moyen des nouveaux principes sur lesquels M. Jacobi a fondé leur théorie.
C'est ce qu'on va essayer de faire voir, en considérant d'abord les transcendantes qui sont l'objet du Mémoire intitulé : De functlonibus quadrupliciter periodicis quibus theoria transcendentium Abelianarum innititur [Journal de Crelle, t. 13, p. 55).
Soit
A(^) = ^x{^\—x){\—p\x){\~-p\x){\ — p\x) : considérez les fonctions x et y déterminées par les deiix équations
r"^ (a + ^x)dx r^ {oL-^ ?r)dy
r"" (y,' ■^J'xydx , r^(aM-p>)^
(^) Ce Mémoire est sigaé de M. Hermite, élève de l'Ecole Polytechnique.
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et soit
La propriété fondamentale de ces fonctions de deux variables consiste en ce que les quantités
sont les racines d'une équation du second degré^ dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de
Il en résulte que, quel que soit le nombre entier n, les deux
fonctions
Xo{nu, nu'), X](nM, nu')
seront pareillement les racines d'une équation du second degré à coefficients rationnels en
lo{u,u'), Mu,u'), ^['ko{u,u')], ^[li(u,u')].
Gela fait voir que, par la résolution de deux équations algébriques, on pourra déterminer inversement
Xo(t^, u') et Xi(w, u')
par
Xo(nw, nu') et \i{nu, nu').
Représentons, pour abréger, par Xn elyn les fonctions relatives aux arguments multiples îiu, nu', et soit
l'équation qui sert à les déterminer, au moyen de a: et y; j'ai trouvé qu'on pouvait mettre les coefficients sous la forme
P-t-QA(^)A(7),
en désignant par P et Q des fonctions rationnelles de ^ et^; mais cette remarque n'est pas essentielle pour ce qui va suivre. Je partirai de ce que les racines simultanées des équations
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4o ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.
sont données, d'après M. Jacobi, par les formules suivantes, où
on a
r" (a-f- ^x)dx J«, \/— I A(^)
r /^ (a -4- B ^) dx
r^ i'jL -^Wx)dx i\=i \ ^ ^^— ^ ,
., rPl((x'-\-?>'x)dx
*/i / — I ^ ( ^ ) savoir
— Ao l WH , z/ -1 = ^ ■
■ — Ail II -\ ) Il -1 -■
(y. -^ ^x)dx
(a -h ^x) dx
(a'-f- ^' x)dx
{0L'-^^'x)dx ^
en attribuant aux nombres entiers nij m', ni!' ^ ni!" ^ les valeurs o, I, '2, ..., n — i.
Voici maintenant le théorème sur lequel repose leur résolution. Soit/(^, y) une fonction rationnelle et symétrique de x ely. p, q, r, s quatre racines de l'équation binôme if'^ = i . Faisons, pour abréger,
I = 77iii \J — I + m' i^ -h ni!' i^ \J — i -i- m" i'^,
1'= mi^ yj — 1 -I- m! i'^^ -\- m" i'.^ y — i -f- m" i\^ on aura
= V^A -f- B A[Xo(/iw, nu')\ -f-G A[Xi(/iJ^, aiw')Jh- DA[Xo(ni^, na')] A[Xi(/iw, nit')\,
A, B, C, D, étant des fonctions rationnelles de XQ^nu^ nu'), )h {nu^ nu').
Le premier membre peut d'abord être ramené à une fonction rationnelle de \q{u^ u')^ X\{u^ u')^ contenant d'ailleurs des quantités relatives aux arguments multiples. En effet, d'après la pro-
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prié té fondamentale des fonctions )^, le terme général
pourra être exprimé rationnellement en fonction de
lo{u, u'), li(u, u' ), A[Xo(w, u')], A[Xi(z^, u')]
et des quantités analogues relatives à la division des indices : or. on trouve aisément les formules
A(r) = (^ + P7)| +(«'-?»£.' desquelles il résulte que les radicaux
s'exprimeront eux-mêmes rationnellement en Ao(^^^ u') et k^ (u, u')^ car, en faisant disparaître les irrationnelles des équations, puis les différentiant successivement par rapport à u et u\ on obtiendra les dérivées partielles en fonction rationnelle de "^^{11^ u') et X, [u^ u').
Représentons pour un instant ce premier nombre par o[u^ u')] on démontrera aisément, au moyen des propriétés relatives à la périodicité des fonctions X, l'égalité suivante
kii \/ — I -h A:' ^2 -+- A" ^3 \/ — I H- k' ii, , ki\ \/ — i -^- k' i.y -\- k" i'.^ \/ — i -4- k"'i',^
■ p-f^ q-J^' j'-^" S"^'" '-^(yU^ u'),
quels que soient les entiers A', k' ^ k" ^ k"\
En l'élevant à la puissance n^ on obtient donc une fonction rationnelle de Xo(^^, u')^ Xi(?^, u')-) qni ne change point en substituant à ces quantités deux autres quelconques des racines simultanées des équations proposées. Il résulte de là, et de la théorie des fonctions symétriques des racines d'un système d'équations à plusieurs inconnues, que cette fonction pourra être déterminée rationnellement par les coefficients des équations proposées.
Mais comme il a été introduit précédemment les dérivées par-
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lielles de 10(1111, nu')^ \^ {nu, nu'), on pourra les éliminer par les formules suivantes
appliquées, bien entendu, aux quantités x^, y^.
Il suffit maintenant, pour achever la démonstration du théorème énoncé, d'observer que toute fonction rationnelle des deux
radicaux
A[Xo(nM, nu')\^ A[Xi(nw, 7iu')\
peut être mise sous la forme
A-hBA[Xo(nw, nu')]-^CL\\^{nu, ^w')] -{-DA[Xo(nw, nw')] A[Xi(nM, nu')\. En supposant successivement
f{oc,y)=x-^y el f{x,y)=xy,
le théorème précédent donnera, exprimés par une somme de n^ — I radicaux /z^èmes^ \^^ coefficients d'une équation du second degré, dont les racines détermineront, en dernière analyse, celles des équations proposées. On le verra facilement, en considérant le système des équations linéaires qu'on obtiendrait en attribuant kp, q, r, s, leurs diverses valeurs. J'ajouterai ici, mais sans m'arrêter à le démontrer, que les n'* — 1 radicaux dont je viens de parler peuvent s'exprimer rationnellement par quatre d'entre eux.
Pour obtenir la division des indices, faisons
nu — kii \J — I -f- Iv H -+- 1^' H y — 1 + 1-^" H-,
nu'= ki\ \J — I -H k f 2 -H 1^' i's v^ — * + ^^" ^4 ;
^ri = o, y,i — o,
et les équations à résoudre seront
