FONCTIONS ABÉLIENNES OU ULTRA-ELLIPTIQUES

Leurs racines seront données par les formules

7711 1 \J — 1 -\-m' i^-\- 7n" i3 / — 1 H- m" 4 m i\ /— i h- m' i'^ -h tu" i ^ y/— i -i- m^'t^

en attribuant aux nombres m, iyt! ^ rti!\ ni'" ^ les valeurs o, 1^2, ... /î — [ ; mais si l'on suppose le nombre n premier et si l'on fait

J2 = mil \/—i -\- 4,

J3 = mil \/ — i H- TTi' i'^-\- 4 \/ — I,

I4 = niii \J — I -f- m' 4 H- /?i' 4 v/—

1;= mi\ \J—i -h i\,

I' = mi^ 1/ — I -4- /?t't', -+- f'

il est aisé de voir qu'on peut les remplacer par les suivantes

en supposante 7?i, m^, n^\ les valeurs o, i, 2, ..., /i — i et à [x, les valeurs i, 2, 3, ...^ ^ — i.

Cependant, si l'on observe que

Xo(— u^ — u') = lo(u, u'), Xi( — u, — u') = li(u, It'),

comme on peut aisément le démontrer, on verra qu'il suffit de faire

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conjointement avec les autres valeurs de /??, m! ^ m" ] car^ passé

le terme — ^ — ? on ne ferait plus que reproduire les valeurs déjà obtenues.

Gela posé, soient p une racine primitive, par rapport au nombre premier /z, I, l'une quelconque des quantités comprises dans la formule ini^ y/— i ^m! i^ 4- rri' i^ \J — 1 + rn!" ii,^ F la quantité correspondante relative à l'argument ii! ^ evf{x^ y) une fonction rationnelle et symétrique de x ei y; considérez l'expression

où 6 est une racine de t'^~^ =: i ; le terme général pourra s'exprimer rationnellement en

et

Or, on a vu précédemment que, pour toute valeur des arguments u et lé ^ les radicaux

s'expriment rationnellement au mojen de

\^{u, ff'), Xi(«, u')

et des quantités relatives aux arguments multiples; ainsi, on pourra transformer l'expression (4) en une fonction rationnelle

et symétrique de 1q (-, - U )n (-, -j, que je représenterai, pour abré

er, parcp -,

Or, si dans l'égalité

on remplace I et F par o^I et p^F, on trouvera aisément

ji nj

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FONCTIONS ABÉLIENNES OU ULTRA -ELLI PTIQUES . 45

Cela posé, comme le nombre p^ équivaut, suivant le module /?, à un nombre quelconque ^j. pour une valeur convenable de A, en faisant

on aura

Si donc on donne à I et F toutes les valeurs correspondantes comprises dans les formules (3), en attribuant à /n, m^, nï^ les

valeurs

on pourra former une équation dont les racines seront les valeurs correspondantes de la fonction ^, et dont les coefficients seront des fonctions rationnelles de ceux des équations proposées. Il est bien facile de voir, d'après les expressions (3), que son degré sera I j 72 4- /22^ ,^3 . Qp^ \\ suffira d'en connaître une seule racine pour résoudre les équations (2).

En efi^et, si nous considérons une de ces racines, et si nous la désignons par (9) pour rappeler qu'elle dépend de la quantité 9 qui entre dans l'expression (4), on aura

^oy^"'-=2/[>^o(p'^^^,P^|;). Af)^^'l

d'où, en substituant successivement à 9 toutes les racines de

x^ =15 9, 9^, 9'^, . . ., 9L- J, i, et ajoutant membre à membre

les équations résultantes

donc, en faisant /(^, y) = ^ +y, puis/(^, j^) = ^j^, on connaîtra par là les coefficients d'une équation du second degré dont les racines déterminent, en dernière analyse, celle des équations proposées.

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Des considérations toutes semblables aux précédentes s'appliquent aux autres classes des fonctions ultra-elliptiques, et il suffira, pour le faire voir, d'établir les formules suivantes.

Soit

Posons

it.Q- ^ ' ... - X /