FONCTIONS ABÉLIENNES OU ULTRA-ELLIPTIQUES

et il est bien aisé de voir qu'en différentiant par rapport à u^^ Wo, •••. if^n^ on aurait d'une manière semblable

~dui ~" D dii^ D

<iM,e D

Ces formules font d'abord voir comment le radical A(^û) s'exprime rationnellement par l'une quelconque des dérivées partielles de Xq et les fonctions ^o? ^\i •• •? ^n] niais en ajoutant les équations précédentes, après les avoir multipliées, la première par 60(^0)7 1^ seconde par 6i(^o)? et ainsi de suite, on obtient cette expression

A(^o)=-0o(^o)^' -hOi(^o) ^ +...-f-0;,(;ro)

CLCCq

dUn

et il est clair qu'on aurait de même

Les propriétés relatives à la périodicité des fonctions ). sont comprises dans le théorème suivant.

OA.(a?) f&

/'î Ôa^(^)<:/^

iT' = 9. I ' — -7-— — î

et

quels que soient les entiers m^^ lUo^ • • -, on aura

Parmi les '}.n-\-'À indices de périodicité, /? + i seront réels, savoir

'1 II, '?. 1-^. • . . , '^'lin+\ ?

et les autres imaginaires, et de la forme a sj — i, où a est réel. Ainsi, pour le cas de /i = i , on trouverait les indices

r^ ^^{x)d,x rPÏ^k{x)dx rPÎ^k{x)dx rPlQ/,(x)dx

'\l Mx) ' v^ A(^) ' v i A(^) ' Vj ~^wr'

p] Pi

k étant o ou i, et ils se ramènent à ceux de M. Jacobi par ces équations

r"^ {(X -^ fj x) dx rPl (QL^^x)dx rp'\ {y.-^^x)dx j^ ÂU3 ^,/i AU) ",/

r^ ioL^^x)dx /'*(a-h ^x)dx r~PÎ {ol -\- ^x)dx / A~(^) ^J, \W) J,

Enfin, la propriété fondamentale des fonctions A, et qui est relative à l'addition des arguments, consiste en ce que les quantités

ln(Uo-\- Vo, Wi -^ (^1, . . ., Un + ^n)

sont les racines d'une équation de degré //t + i , dont les coefficients sont des fonctions rationnelles de

Aq{Uq^ Ui, . . . ^ u,i), Ai(uo, Ui. ...,^^/i), ..., Afi(uQ, Ui, . . . , u,i),

A[Xo(Wo, Wi, . . ., Un)], A[Xi(z^o, Ui, . . ., Un)], . . ., \[ln(Uo, Ui, . . ., Un)],

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LA THÉORIE DES TRANSCENDANTES