A DIFFÉRENTIELLES ALGÉBRIQUES
EXTRAIT d'une LETTRE A M. LIOUVILLE.
Comptes rendus des séances de l'Académie des Sciences, t. XVIIL
J'ai essayé d'introduire , dans l'analyse des transcendantes à difierentielles algébriques quelconques, des fonctions inverses de plusieurs variables, à l'exemple de ce qui a été fait par M. Jacolji pour les fonctions abéliennes. Je vais passer rapidement en revue les principaux résultats que j'ai obtenus, en réservant les démonstrations et les développements accessoires pour un Mémoire que j'espère bientôt avoir l'honneur de présenter à F Académie.
En suivant la marclie tracée par M. Jacobi dans le célèbre Mémoire intitulé Considerationes générales de transcendentibus AbelianiSy j'ai été conduit d'abord à rechercher le système d'équations différentielles ordinaires dont les intégrales complètes sont données par le théorème d'Abel, considéré dans toute son étendue. Cette recherche, au reste, était assez facile en s'aidant des résultats consignés par Abel lui-même dans le Mémoire couronné par l'Académie des Sciences (^).
(^) Tome VII des Savajits étrangers. Voyez aussi un élégant Mémoire de Minding, publié dans le Journal de Crelle, t. 23.
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5o OEUVRES DE CHARLES IlERMITE.
Soit, en suivant les notations d'Abel,
une équation algébrique quelconque irréductible, dont tous les coefficients sont des fonctions rationnelles et entières d'une même variable x.
Nommons ses racines
y\y ^2, j3, ..., y m et désignons par
(I) /(^,r) = ^0 + hy -f- u^y^ +. . .-4- tn-.y'^-'^
une fonction rationnelle et entière de ^ et jk, dans laquelle le degré d'un coefficient quelconque tm soit pris égal au nombre entier immédiatement inférieur à la somme, diminuée d'une unité, des 11 — m — I plus grands exposants des développements de chaque racine y suivant les puissances descendantes de x.
Soit enfin y le nombre des coefficients arbitraires contenus dans y(^',y); cette fonction sera susceptible d'un nombre y de formes différentes que je représenterai par
Cela posé, en désignant par
(les variables en nombre quelconque a plus grand que y, et par
y{\)^ y(i)> •••' J(ii)
des fonctions irrationnelles choisies arbitrairement parmi les
71 racines
yu j2, .-., y H.
on aura, au moyen du théorème d'Abel, sous forme algébrique, les intégrales complètes du système des équations
/llfiiZill) dcc, + M^iiZiîA d.,^,,.^ M^^^^ym) a ^ ,. x'(r(i)) x(r(2)) 7. (r(ix)) '^
•M^iiZiiil dx, H^ -MpiZs^ dx,-i-...+ .Mfi^iZml dx. = o.
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Il est inutile de dire que, dans chacune des racines jK(i), ou JK(2)5 • • -j on remplace la quantité x par la variable x^ ou ^2? • • -^ du terme où elle entre.
D'après cela, je prendrai pour fonctions inverses les quantités
définies par les y équations suivantes
-7- -— dx/, =:Uy;
y'(yik)) ^
et je poserai, en conséquence,
Cela étant, les intégrales du système d'équations différentielles considéré plus haut, intégrales fournies immédiatement par le théorème d'Abel, donnent sans difficulté, par un changement convenable de constantes, le théorème fondamental, qui consiste en ce que les v fonctions
^^a( ^1 -'- t'i, If-l + t^2, ^^; -4- t'y)
sont les racines d'une équation de degré y dont les coefficients sont des fonctions rationnelles des diverses fonctions
//,(i^l, 11-2, . . . ,Ur ), >v/,('(^J, V-2, . . ., t>y ),
et des valeurs correspondantes de celles des racines y que l'oji a fait entrer dans les équations (2).
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De là découle cette propriété importante des fonctions inverses, qui consiste dans la coexistence d'une série d'indices de périodicité pour tous les arguments, et qui montre toute l'étendue de ce caractère singulier, dont un admirable Mémoire de M. Jacobi a révélé depuis longtemps l'existence dans les fonctions abéliennes. Considérons l'équation
dont le premier membre, comme on sait, s'exprime par une fonction entière de x. Chacune de ses racines jouit de la propriété de rendre égales deux des racines y de l'équation
Supposons donc que y(^^) devienne égale à une autre racine y[,, [)oiir les diverses valeurs
de même que
pour
et
poui'
vX ainsi de suite.
Faisons, pour abréger l'écriture,
//.■(^,.r(i)) M^iZi^il ^ ^k^ , ,,
7/(7(1)) y'ijn\^
f/c{^,ym) //-(-^^ 7m) ^^/.^.,^^
j'i-Yi^)) 7/(.r[2i)
cl désignons par les lettres m des nombres entiers positifs 01
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négatifs. Si l'on pose
Ia =
)n aura ce théorème :
U7ie fonction rationnelle et symétrique quelconque des Y fonctions inK'erses conservera la même valeur en ajoutant simultanément aux di<^ers ar juments
Ui, U2, Us,
les quantités constantes
