II, I
Par une autre méthode, indépendante du théorème sur l'addition des arguments, mais qu'il serait trop long d'indiquer ici, on obtient directement les égalités
Xi ( ili -f- II, U2-\~ U, . . . , l^y-l- ly) = Il (Ui, llo, . • . , Uy), *X2 (Ul --h II, 1^2-1- I25 • • • , ll^f-i~ ly) == Xo ( lll, Ui, . . . , W/), ^ 3
Av-( Wi M- J], ^2 4- I2. . . • , Ut -\- I/) = Ày( i/i, i/2; • • • , ^^v'j.
Les racines de l'équation
x(.ri)x'(72)...7;(jK«,) = o,
(jui se sont présentées comme limites des intégrales qui entrent dans l'expression des indices de périodicité, jouissent de la propriété générale d'être les valeurs maxima ou minima des fonctions inverses. Cela résulte des expressions de leurs différences partielles que je vais rapporter.
Soit
(3) F(^,jK)=[ai/i(^,jK)4-[^2/2(^,7)-^----H- l^r/y^^'^);
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concevons qu'on détermine les constantes a par les y — i conditions
F (^2, 7(2)) ==0, F(^3,JK(3)) = 0, ..., F(^p JK(y)) = 0.
Nommons Fi(^*,jk) ce que devient alors l'expression (3); les équations (2) donneront sans peine
dui Fi(;27i,jK(n)' du^^ Fi(rri, jK(i)) ' *' ' ^t^y Y^{x^,y^^^)
De même, si l'on appelle ^^('^^JK) la fonction F(^, y) déterminée par les conditions
F(^l,7^.1))=: O, F(^3, JK(3)) = 0, ..., F(^,,, J^-y))r=.0,
c/a7.2 ^ 1^1 x' (7(2)) dx^ ^ !-»-2y/(r(2)) ^^ f^ ^ J:fiX/(ZillL,
<^î^i " F2(:r2,7(2))' ^i^2 F2(^2,7(2))' ' da^ F2(.2?2, 7(2)) '
et ainsi de suite; d'où résulte la proposition énoncée.
De ce qui précède on tire des équations linéaires aux différences partielles qui méritent d'être indiquées, savoir
. . , dx^ dx^ dxi
/. / X dx2 . , , dx-i <i^2 ,/
/• / \ dXy j. . , dXy j. dXy
/i(^T./(T)) 5^ +/^(^T.r(T)) dà +---+/r(^r.7(T)) ^; = 7. (7<T))-
Remarquons enfin cette conséquence que, l'équation
. . ^ dxx j. . , dxy dxx
étant satisfaite par
on peut, au moyen des différences partielles de l'une des fonctions inverses, déterminer algébriquement les y — i autres.
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THÉORIE DES TRANSCENDANTES. 55
Le théorème relatif à l'addition des arguments conduit encore à exprimer les fonctions inverses dans toute leur généralité, au moyen des cas particuliers les plus simples, où l'on ne suppose successivement qu'un argument variable, les autres étant égaux à des constantes quelconques, à zéro par exemple.
Ce genre de réduction, qui est dû à M. Jacobi, se retrouve dans une autre partie de la théorie, comme on va le voir.
En nous bornant, pour plus de simplicité, aux fonctions de la première classe des transcendantes abéliennes, considérons la différentielle totale
où F(.^) est une fonction rationnelle quelconque, el f[x) un polynôme du cinquième ou du sixième degré. Si l'on substitue aux variables ^ et j^ les variables u et v des fonctions inverses définies par les équations
v//(^) J, ^Ay)
son intégrale étant désignée par
jouira, en vertu du théorème d'Abel, de la propriété exprimée par l'égalité
II(^^^- ^^', ç^ -f- ç^') = n( w, p) -H n(î^', p') -{- une fonction alg. et log. ;
en faisant
u = o, v' =^ o, on trouve
Il(w', p) — n(o, v)-\- n(r^', o) -4- une fonction alg. et log.
Ainsi, la fonction n(w, c^) à double argument est ramenée aux deux cas les plus simples, où l'on suppose successivement un
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seul argument variable ; on voit encore qu'on n'aura plus à considérer que des intégrales de formules différentielles qui contiennent seulement une variable indépendante, à savoir, des intégrales, par rapport à ?^, de fonctions rationnelles et symétriques de
Xi(i^, o), X2(m, O),
et des intégrales, par rapport à ç, de fonctions rationnelles et
symétriques de
Ai(o, v), X9(o, t^).
On se convaincra facilement de la généralité des considérations précédentes : ainsi, dans le cas des fonctions de la seconde classe des transcendantes abéliennes, où s'offrent des fonctions à triple
argument,
on aura de même l'égalité
— 11( w, ç^, wp) -{- Il(i^', v\ w') -h une fonct. alg. et log., ou bien encore la suivante
= n( w, p, (^) -f- Il(^^', v\ w') -H \l{u\ v" ^ w" ) -f- une fonct. alg. et log. ;
et, en faisant
il vient
n(w", v\ w) — iKo, o, w) H- Il(o, ç', o)-{-U{u% o, o) -h une fonct. alg. et log., ce qui conduit aux mêmes conséquences que précédemment.
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THEORIE DES TRANSCENDANTES. 3y
m'ont conduit, néanmoins, à quelques considérations sur cette théorie bornée aux fonctions elliptiques; je vais les rapporter en peu de mots,
Soient cp(w, /r), ou simplement "^{11)^ la fonction inverse^ définie par l'égalité
2(1) et 2m \/ — I les indices de périodicité, et n un nombre impair quelconque. Le théorème fondamental, donné pour la première fois par M. Jacobi, consiste en ce que la fonction
oJn — I ) co
où l'une des périodes des fonctions elliptiques se trouve divisée par le nombre n, peut être représentée de la manière suivante
Il ^
A désignant un nouveau module, a et a des constantes. On en déduit ensuite que toute fonction rationnelle et symétrique des quantités
où, de même, l'une des périodes des fonctions elliptiques subsiste, tandis que l'autre se trouve divisée par le nombre /2, peut être
représentée par une fonction rationnelle de ?(--? ^0. Or voici la
démonstration du théorème de M. Jacobi à laquelle je me suis
trouvé conduit.
dz Il existe, entre -7— et z, une relation algébrique qui s'obtiendra
par l'élimination de 'f (w) entre les deux égalités
Soit pour cela 0(11) = x; ^, comme on le voit aisément, se transforme en une fonction rationnelle —? U et V étant deux polynômes pairs du degré n -— 1 ; on établit ensuite sans peine que les
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racines de l'équation sont de la forme
Cela résulte, en effet, de ce que l'expression de z ne change point en augmentant u d'un multiple quelconque de
Or, la même chose a lieu nécessairement dans la dérivée -r^: ' du
et comme
on a
dz dx dx ,- — -
Ainsi, le carré de -^j qui est une fonction rationnelle de x^ conservera la même valeur en j substituant successivement les diverses racines de l'équation (4); par suite, -7- ^'^^P^i^^^'^ P^^
la racine carrée d'une fonction rationnelle de z. Or, cette fonction sera entière, car
ne peut devenir infini sans que quelqu'une des quantités ^[u-\ — — \ ne le soit, ce qui rend dès lors z infini lui-même.
Pour obtenir maintenant le nombre et la nature des valeurs de z
qui donnent
dz
il faut chercher les racines de l'équation
On trouve très facilement qu'elles sont comprises dans les deux
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THEORIE DES TRANSCENDANTES
formules
^2 ^ cp2
p devant être supposé successivement o, 1, 2, . . ., Mais
j'observe que, pour les substituer dans l'expression de z^ il est inutile d'avoir égard à ces diverses valeurs de/?, de sorte qu'il reste seulement à considérer les racines
^ = ?^ Tv/- •
On voit, par là, que le polynôme en^, qui entre dans l'expression de -j--, sera du quatrième degré, ne contiendra que des puissances paires de ^, et s'évanouira pour les valeurs
Ainsi l'on aura
du
C étant une constante qu'on détermine en observant que, pour u z=z o et, par suite, ^ = o, on a
dz
faisant donc
on a
Il résulte, de ce qui précède, que l'équation
a pour racines les n quantités
, . I 2 to \ / 'i{n — I ) co
cp(i^), cp(^w.-4- — 1, ..., cp(wH ^^-^
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6o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
Je vais faire voir qu'on peut tirer de là, directement, la transformation des fonctions de troisième espèce, sans établir préalablement, comme le fait M. Jacobi, la formule de transformation des fonctions de seconde espèce. Soit, pour abréger,
lu
en désignant par m une quantité quelconque, on aura, comme l'on sait,
o ^^ -f- -^ — ou bien encore
F(m) m — ^i^u) Or, on peut écrire
Fini)
en posant
A= —- , B =r 1 — — ^ , M = — - pour X = m.
Y aV a V
11 importe beaucoup de remarquer cette valeur de M qui, pour
m = cp([JL, A'), devient cp (- -, k\', ainsi l'on a l'égalité
d'où, en changeant le signe de a.
L^ÀUWi^x
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THÉORIE DES TRANSCENDANTES
puis, retranchant membre à membre.
^^■(l-')-°Kl-''')
Soit maintenant
du
A-)-<pn:^,>^-r
l'équation précédente donnera, en intégrant depuis ^^ = o jusqu'à 11 = X, et en ayant égard aux valeurs des constantes,
-j ~ ^ II - , '- , l)—Xcr
OU bien
^ A(|jL, k)kx -^ cp(|jL, /c) A([a, Â-) n(a--, {jl, A")
Le second membre peut être ramené à ne contenir qu'une seule fonction de troisième espèce, avec une quantité logarithmique; on a, en effet, la formule
A((x) A(|a) ^{x) Ijx)
o([j,) — o{x-\-a) cp ( jjl) — çp (a? — a) ^(^) — cp([j.-^«) ^(^) — ^(p- — <^)
qu'il est facile de vérifier; elle donne, en changeant a en — [a,
A(;jl) MjJ^ A(^) Mx) ^
cp((jt.)-i-(p(a7-i- a) cp (|ji) -i- cp (07 — a ~" cp (:27) -f- ip ({JL -f- a) o(x) -^(^{[x — a)
Ajoutant membre à membre et intégrant depuis ^ = o, on trouve sans peine,
(p([x)A((jt.)[n(^ — a, [jl) — n(^-i- a, jjt.)]
d'où, en permutant a et x^ et changeant les signes des deux membres,
cp ( |j. ) A ( [jl) [ n (;r -+- a, \).)-^W{x — a, \x)\
cp2(a)
= 2cp(^)A([j.)n(^, [^)— -- log. . — ' r^.
On arrive donc définitivement à la formule suivante, pour la transformation des fonctions de troisième espèce,
'o'-{ IX-+- x) I
Dès les premiers pas qui ont été faits dans la théorie des fonctions elliptiques, on a imaginé de les différentier par rapport au module, ce qui a conduit à pkisiears résultats importants. Or, le même moyen analytique s'applique avec facilité à toutes les fonctions de la forme
où j^ est donné par l'équation
X étant une fonction entière de ^.
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THÉORIE DES TRANSCENDANTES. 63
Voici, par exemple, le théorème qui en résulte pour les fonctions abéliennes.
Soit
un polynôme du degré 2 m -\- i ; on pourra représenter toutes les fonctions abéliennes de première et de seconde espèce par V intégrale
'■ (x — aY' dx
et en considérant z comme une fonction du module a, on obtient Vécjuation linéaire de tordre im
^F(x) , V ^^'^-^-^^Ipinj^a)
{x — aff^^-^^ ^ 1.2.3..,
( ^•,\l^n — n-^rV dlin-n-t-l ;^
Lorsc^ue k est compris entre o et m — i, de sorte que z représente les transcendantes de première espèce , V intégrale complète s^ obtient en ajoutant à la fonction
(x — a)^ dx
les diverses intégrales définies qui entrent dans r expression des indices de périodicité de la fonction inverse^ multipliées chacune par une constante arbitraire.
De là résulteraient facilement, entre autres choses, des théorèmes analogues à l'équation de Legendre entre les fonctions elliptiques complètes de première et de seconde espèce, à modules complémentaires; relation déjà généralisée par divers géomètres (*). Mais je ne veux pas m'étendre plus longuement sur ce sujet, qui, du reste, donne lieu à de nombreuses conséquences, ([ue je développerai dans une autre occasion.
(^) Voyez, par exemple, un Mémoire de M. Catalan, couronné par l'Académie de ]]ruxelles.
