VIII PRÉFACE

quinze ans auparavant, avait été le professeur d'Évariste Galois. Tout en suivant les cours du collège, le jeune Hermite allait lire à la bibliothèque Sainte-Geneviève le Traité de la résolution des équations numériques de Lagrange, et il achetait avec ses économies la traduction française des Recherches arithmétiques de Gauss : « C'est surtout dans ces deux livres, aimait-il plus tard à répéter, que j'ai appris l'Algèbre. » L'excellent M. Richard s'alarmait un peu de voir son élève si loin des programmes d'examen, mais il n'en disait pas moins un jour au père d'Hermite, qui ne se rendait peut-être pas très bien compte de la valeur du compliment : « C'est un petit Lagrange. » Le premier volume des ISiouvelles Annales de Mathématiques ^ fondées en 184^, renferme deux Notes signées de Charles Hermite, élève du collège Louis-le-Grand. L'une n'est qu'un exercice, mais, dans la seconde, on reconnaît un lecteur assidu de Lagrange qui a déjà beaucoup réfléchi sur la théorie des équations. L'objet de ce travail est de démontrer l'impossibilité de la résolution algébrique des équations du cinquième degré ; la démonstration très simple qu'on y trouve pourrait, avec de légères additions, devenir classique. Hermite entre à l'École Polytechnique à la fin de 1842; les exercices de l'Ecole ne l'empêchent pas de poursuivre ses méditations mathématiques, et, dès le mois de janvier i843, il écrit à Jacobi, sur le conseil de Liouville, pour lui faire part de ses recherches sur les fonctions abéliennes. Le grand géomètre allemand avait, par une merveilleuse divination, montré quelques années auparavant comment on devait généraliser le problème de l'inversion de l'intégrale elliptique. Mais les propriétés essentielles des nouvelles transcendantes étaient si peu connues, qu'un géomètre, doué cependant d'une rare pénétration, se méprenait encore

Hosted by

1» u i: K A c i: . IX

en 1844 sur leur nature, faute d'avoir saisi le principe fondamental relatif à la coexistence des périodes; les travaux de Gôpel et de Rosenhain ne devaient venir que quelques années plus tard. Hermite étend aux fonctions abéliennes le théorème donné par Abel pour la division de l'argument dans les fonctions elliptiques; il montre que les équations correspondantes sont résolubles par radicaux, et il traite de l'abaissement de l'équation relative à la division des fonctions complètes. L'année suivante, en août 1844? Hermite envoie à Jacobi une seconde Lettre où il étudie le problème de la transformation des fonctions elliptiques. Son but est d'abord de retrouver les résultats énoncés par Jacobi sur cette question capitale, mais on trouve, en réalité, dans ce Mémoire, tous les principes de la théorie des fonctions 0 de différents ordres, fonctions quelquefois désignées sous le nom àe fonctions intermédiaires et si importantes pour la théorie générale des fonctions doublement périodiques. Ces deux Lettres intéressèrent vivement Jacobi, qui fit au jeune mathématicien français l'honneur de les insérer dans l'édition complète de ses OEuvres. On a souvent cité les dernières phrases de la réponse de Jacobi, qui possédait de son côté plusieurs des résultats indiqués par son correspondant. « Ne soyez pas fâché, Monsieur, si quelques-unes de vos découvertes se sont rencontrées avec mes anciennes recherches. Comme vous dûtes commencer par où je finis, il y a nécessairement une petite sphère de contact. Dans la suite, si vous m'honorez de vos Communications, je n'aurai qu'à apprendre. » Une autre phrase, celle-là d'un intérêt purement mathématique, mérite encore d'être retenue : « En cherchant, disait Jacobi, à tirer la transformation directe des propriétés des fonctions 0, sans faire usage de leurs décompositions en facteurs infinis, vous

Hosted by

X PREFACE

avez pensé savamment aux cas, plus généraux, où probablement on doit se résignera l'impossibilité d'une décomposition en facteurs. » Cette remarque devait fructifier dans l'esprit d'Hermite; nous la retrouverons plus tard dans son Mémoire célèbre sur la transformation des fonctions abéliennes.

C'est principalement de théorie des nombres que s'occupe Hermite dans les années suivantes. Il y est conduit d'abord par le théorème purement arithmétique de Jacobi sur l'impossibilité d'une fonction d'une variable à trois périodes, et peu à peu la lecture assidue des RecJierches arithmétiques de Gauss l'amène à des problèmes de plus en plus étendus. La théorie des formes et les irrationnelles algébriques font alors l'objet des méditations profondes d'Hermite qui, continuant sa correspondance avec Jacobi, lui envoie quatre Lettres sur la théorie des nombres. Rien ne montre mieux que ces Lettres le génie d'Hermite; la puissance d'invention sur des sujets aussi nouveaux et aussi difficiles y est prodigieuse. Les idées s'y pressent abondantes et touffues; elles seront développées et précisées dans des Mémoires ultérieurs, et il en est plus d'une dont la fécondité n'est pas aujourd'hui épuisée. C'est dans la théorie des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables que se trouvent les principes des méthodes employées : il est d'abord établi que, étant donnée une forme quadratique à n variables et à coefficients réels quelconques, le minimum de la forme pour des valeurs entières qui ne sont pas toutes nulles est inférieur à p^^s/D, en désignant par D la valeur absolue du déterminant, et par p„ une quantité numérique dépendant

seulement de n, Hermite a donné pour ce nombre ( ^ ) ; on

a depuis obtenu pour p,^ une valeur inférieure, mais le point

Hosted by

PREFACE

essentiel est, pour un nombre donné de variables, la limitation du minimum à l'aide du déterminant seul de la forme, quoique dans certaines questions il puisse être avantageux d'avoir la moindre valeur possible. Ce résultat obtenu, une considération extrêmement originale permet, en premier lieu, à Hermite de l'appliquer à la généralisation de la théorie des fractions continues, en cherchant l'approximation simultanée de plusieurs quantités au moyen de fractions ayant même dénominateur m; l'erreur dans cette représentation approchée de n quantités est de l'ordre — j^^^- C'est un point sur

lequel il convient d'insister, non pas seulement à cause de l'intérêt du résultat, mais parce que nous avons là le premier ;et mémorable exemple de cette introduction des variables continues dans la théorie des nombres, que nous allons bientôt retrouver dans des problèmes plus vastes.

Dans le cas d'une seule grandeur A, le résultat est bien simple, mais met remarquablement en évidence le rôle de la variable continue; Hermite considère la forme quadratique linéaire

A étant une quantité positive quelconque \ du théorème précédent on conclut de suite que l'on peut trouver deux entiers m el n^ tels que

résultat plus précis, d'ailleurs, que celui donné parla théorie des fractions continues, à cause du facteur sj'i. Quand A croît d'une manière continue, les mêmes entiers i)i et n peuvent d'abord être conservés pour satisfaire aux conditions voulues ;

Hosted by