PRINCIPAUX THÉORÈMES
DE
Extrait des Mémoires de la Société royale des Sciences, Lettres et Arts de Nancy, i845.
Les recherches que j'ai l'honneur de présenter à la Société ont pour Lut d'établir les principaux théorèmes de l'anal jse des fonctions elliptiques, par une méthode nouvelle qui repose principalement sur l'intégration de l'équation aux différentielles partielles du phénomène des cordes vibrantes. Dans la marche que nous allons suivre, on verra s'offrir tout d'abord comme un élément essentiel du calcul la transcendante remarquable, au moyen de laquelle les trois espèces de fonctions elliptiques s'expriment ana- Ijtiquement de la manière la plus simple. Les propriétés diverses et caractéristiques de ces fonctions s'offriront naturellement comme conséquences de modes divers d'expressions par une quantité unique, et nous retrouverons par cette marche en quelque sorte synthétique les premiers résultats qui ont servi dans l'origiue de fondement à toute la théorie, et auxquels on s'est arrêté longtemps avant d'arriver aux idées plus générales.
Soit
c étant une constante que l'on supposera, si l'on veut, plus j)etile
que l'unité ; considérons la fonction de troisième espèce
Aa dx
où a désigne le paramètre. En différentiant par rapport à a, on trouvera
... ., ^dz r^^ i{x — a){a^-^ca)-\- ^^a
( 3 ) A ( rt ) -;— = / ; — dx ;
^ da J^ {x—afl^x
mais on a identiquement
d A.9? dx ' 9.{x — a){cx -i- x'^) — \~x
dx X — a (x — a)^ {x — a)^ ^x ^
d'où en intégrant
A (57) f'^'iix — a)(cx-i-x''^) — ^-x ,
(5) ^ ^ / -^ -^ — — ^ — ^:î7-f-const.
X — ^ Jq {x — a)-Ax
La constante se détermine en faisant ^^=o, et l'on trouve ainsi
Af.r) f*'^ 'i(x —:- a)(cx -^ x^) — ^^x ^ i
( 6 ) — / ■ -^ ,, , dx
X — Cl J {x — a)- ùix a
Ajoutant membre à membre avec l'équation (3), il vient
dz Aa?
La , -1- —
da x — a
r'' '2(x'^ — a'^)(x^- — ax-^a^-^c) — (x'^ — a^-)(x^-^a^^oc) i
~~ / (x — afà^x a'
et en réduisant
, dz A.9? r'^ (x^ — a^)dx i
da X — a J^ A^ a
On voit que dans ce résultat il n'entre plus la fonction plus compliquée de troisième espèce, de laquelle nous sommes partis. D'ailleurs, en différentiant de nouveau par rapport à a, il vient
d dz à.x /• ^ dx I
• Aa •
da da {x — a)^ j t^x a-
Hosted by
mais il est visible que
dz Aa
dx ^x — a) Lx^ d'où
dz La
dx X — a et différen liant encore par rapport à ^, il vient
d / dz \ Art
dx \ dx I (x — a )-
De là se conclut immédiatement le résultat remarquable exprimé par l'équation différentielle partielle
( 8 ) Aa -j~ { Aa -— ) — A^ — — A^ -— = — 2 a Aa / ! .
da \ da j dx \ dx j J^ Ax a-
Ici nous nous trouvons naturellement conduit à prendre pour variables indépendantes, au lieu de ^et a, les arguments a et ^ des fonctions inverses définies par les égalités
et nous poserons, d'après cela,
Alors l'équation (8) prend la forme plus simple
d'-Z d-^Z >- xr ^ ^^
d^-W^~^ '^''^'^^' On peut aisément faire disparaître le second membre en posant
A et B étant des fonctions de a, indépendantes de la variable Ç. Il n'j a qu'à faire
d^A , d-^B Aa
— ia Aa,
doL^- ' dy.-^
k==f\^do., B=r'^
Hosted by
et il vient effectivement
ce qui est, comme on sait, l'équation de laquelle d'Alembert a tiré la loi de mouvement de vibration d'une corde flexible, écartée très peu de sa position d'équilibre.
En désignant par F et 4> deux fonctions arbitraires, l'intégrale générale de l'équation précédente est
Pour déterminer les deux fonctions arbitraires, observons qu'ayant
à cause de on peut écrire
on aura donc
d'où, en différentiant par rapport à ^,
F'(a H- 0 - ^V(a - ^) = -A^ -4- Ta^ ^a. .-z^ — a J
Faisons maintenant dans les deux équations qui précèdent ^ = o ;
on trouve
• dcL a
r(a)-i-<ï>(a)- T- Ce sont ces deux équations qui vont nous servir pour déterminer
Hosted by
les fonctions arbitraires; posons, suivant l'usage,
Z(a)= rE((x)da,
on obtiendra en intégrant la dernière
F(a) — ^(a)=^ Z(a) — loga.
D'ailleurs on trouve aisément
da 1 , Aa — ( [ -t- ca^ )
■ = - lo£^ ^ -^ .
On en conclut les expressions suivantes :
2F(a)— Z(a)M — log- ^
2*(a)=: — Z(a)H log[Aa — (i-h ca^)].
Les conséquences des résultats qu'on vient d'obtenir embrassent les points les plus importants de la théorie des fonctions elliptiques. Parmi ces conséquences on doit surtout distinguer celles qui sont relatives à l'établissement de formules par lesquelles la fonction inverse X(^4-)'), relative à la somme de deux arguments, s'exprime en \x et "ky. Ce sont aussi ces formules, en quelque sorte élémentaires, que je vais établir en premier lieu.
Pour abréger Fécriture, on désignera dans tout ce qui va suivre par A^ ce que devient ^x quand on y remplace x par )v(^); cela posé, reprenons l'équation
En différentiant par rapport à ^, on a
Hosted by
Soit fait successivemenjt
puis retranchons membre à membre, il viendra Aa Aa
— ¥'{x -\-y -\- ol) — ¥'{x — y -f- a) -h 4>'(a — x -\- y) — *ï>'(a — x — y). La première partie du second membre, savoir
¥' {x -4- JK-H a) -- ¥\x — y -}- a)
est une fonction symétrique de x et de a. Or je dis qu'il en est de même de la seconde. En effet, on voit facilement, d'après l'expression obtenue plus haut de ^(a), que sa dérivée est une fonction impaire, et si l'on permute x et a, dans
^'(a — X -^y) — *'(a — x — y), il vient
^' {x — y. -^ y) — ^' {x — a — y) ou bien
puisque ^' est impaire.
j 1 • Ao( Aa '^ ^ ' '
L expression v^ r .— — ^ — ^, r e— -^ étant ainsi sy-
métrique par rapport à ^ et a, on a l'égalité Aa Aa
X(^-Hj/)-X(a) X(;r-^r)-X(a) A,r A37
~" \{a.-^y) — \{x) ~ X(cc—y) — A{x)'
Soit fait a = o ; il viendra Aa = i et par suite
'k{x-+-y) X(^ — y) \y — \x Ay -{- Xx A^y — X'^x Si dans cette équation on permute x et y, il vient
I I 5t X.^ Ar
On en déduit, en aioutant et retranchant membre à membre et divi-
aj
Hosted by
sant par 2
X(^-4-jK) ~~ V-y-~\^-x '
I Xy t^x -h \x Ly
En prenant les inverses et chassant les radicaux du dénominateur, il vient définitivement
^ , Xx Ay H- \y A^ k(x -{-y) — -—^^ — ^- ?
. , , X:r Ar — Xr Aa^
Une vérification immédiate de ces deux résultats s'obtient en faisant
c = i et Ix = t2irï£!:x, \(x) = — ?
et il vient en supprimant un facteur commun aux deux termes des
fractions
tang^ -f- tangy
tQing(x-{-y) = lang(x—y) =
I — tang^r tangjK tang:r — tangjj/ I -I- tanga? tangjK
ce qui est bien les formules connues relatives aux tangentes.
Dans une autre circonstance, j'aurai l'honneur d'offrir à la Société la suite de ces recherches et le développement des principales conséquences, auxquelles donnent lieu les résultats que je viens d'exposer.
Hosted by
NOTE
Cambridge and Dublin Mathematical Journal, t. Ifl; i^
J'ai lu avec le plus vif intérêt le beau travail de M. Cajlej, qui a réussi à faire découler toute la théorie des fonctions elliptiques de la considération délicate des produits infinis doubles. J'avais découvert de mon côté le point de vue suivant, plus voisin peutêtre encore de l'idée fondamentale de la double périodicité dans les fonctions analytiques.
En désignant par
yiTC.x- ___ iTZ.r
a,ne « et >. b,ne
les expressions générales de deux fonctions périodiques simples, dont la période est a, assujetties d'une manière essentielle ^à la condition d'être toujours convergentes pour toutes les valeurs réelles ou imaginaires de ^, je me suis proposé de déterminer am et bffi de telle manière que le quotient
i TU .r ' ^ , 2 m
^b^ne
. b admette une autre période b. En posant ^ = e ", cela conduit à l'égalité
i 71 .*• / TU .V 2/n 2m
