I.b,ne « Zb,nq-'''e

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Chassant les dénominateurs^ on trouve pour les coefficients

d'une même exponentielle e ' " , dans le premier membre et dans le second, respectivement les deux séries

7n = + oo /H r= + 00

/n= — 00 /n=: — oo

Or, la manière la plus simple d'arriver à les rendre égales consiste aies rendre identiques, en sorte qu'an terme quelconque de l'une, tel que aTnb^mq'^^^~'''\ ait son égal anb^^nq^"^ dans l'autre.

Faisons donc, et cela pour toute valeur de l'entier a,

et concevons que n soit exprimé en m de manière à produire la série des nombres entiers, lorsque m prend lui-même toutes ses valeurs. On réalisera cette circonstance en prenant n z= m -{- A", k étant un entier quelconque \ l'équation précédente pourra alors s'écrire

et comme [jl est quelconque, si l'on fait [x — m — A" = m! ^ iv! sera un nombre entier variable entièrement indépendant de m\ or il vient ainsi

(y—2{m-hk} -

Sous cette forme, on voit que chaque membre est une quantité constante, ce qui conduit aux égalités

Ojn^ ^-2{/«4-A^) ~ const. — -— q-1[rnA-k) — const.

Cf-m-^-k b,fi^k

Donc Œm et hm dépendent de la même équation

^'"^ q-^^rn + k)^ COnst.

qu'on peut encore écrire sous la forme

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en changeant de constante, la solution générale est

la fonction II (m) étant assujettie à la condition suivante:

Nous voici donc arrivés à cette forme analytique d'une fonction 0(^) aux périodes aelbj savoir

m 2 iTZ .y

(Xm 2 m

(Xm 2 m-

OÙ la condition de convergence prouve immédiatement que, en supposant

- = CD -h tOJ ,

le nombre entier A doit être du signe de co', sa valeur absolue reste d'ailleurs arbitraire. En désignant par 0(a:) le numérateur ou le dénominateur, on trouvera ensuite

et de ces équations qui ne comportent d'arbitraire que la fonction périodique 11(7??) se déduisent toutes les propriétés caractéristiques des fonctions elliptiques, sans qu'il soit nécessaire pour cela d'établir, préalablement, l'équation différentielle, tous les résultats déjà connus pouvant se démontrer indépendamment les uns des autres.

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SUR LA THÉORIE

Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, Tome XXIX, 1849.

La théorie des fonctions elliptiques que j'ai l'honneur de présenter à l'Académie repose principalement sur quelques propositions que M. Cauchy a déduites de la considération des intégrales prises entre des limites imaginaires. Le véritable sens analytique de ces expressions a été donné, comme on le sait, pour la première fois, par le grand géomètre. Ses découvertes, à ce sujet, ont été l'origine du calcul des résidus, qui renferme les principes les pins étendus qu'on possède pour l'étude des fonctions d'une variable. Les recherches présentes montreront une nouvelle application de ces principes, et il ne sera peut-être pas sans intérêt de rapprocher les méthodes dues aux illustres fondateurs de la théorie des fonctions elliptiques, de celles dont j'ai trouvé l'origine dans les travaux de M. Cauchy.

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