RAPPORT SUR UN MÉMOIRE PRÉSENTÉ PAR M. IIERMITE ET RELATIF AUX

FONCTIONS A DOUBLE PÉRIODE (i),

Par A. Cauchy.

Comptes rendus des séances de l' Académie des Sciences, Tome XXXII, i85i.

Le Mémoire dont nous allons rendre compte a pour objet principal la détermination générale de celles des fonctions à double période qui ne cessent jamais d'être continues tant qu'elles restent finies. Pour faire mieux saisir la pensée de l'Auteur, il convient de jeter d'abord un coup d'œil rapide sur la nature et les propriétés caractéristiques des fonctions à double période.

Supposons que, x^ y étant les coordonnées rectangulaires ou obliques d'un point mobile Z, on trace dans le plan des x^ y un parallélogramme ABGD, dont les côtés «, b soient parallèles, le premier à l'axe des x^ le second à l'axe des jr. Divisons d'ailleurs le plan des x^ y par deux systèmes de droites équidistantes et parallèles aux axes en une infinité d'éléments tous pareils au parallélogramme ABGD. Enfin soit (^ une fonction de x^ y, qui offre une valeur déterminée pour chacun des systèmes de valeurs de x,y propres à représenter les coordonnées de points situés dans l'intérieur de ce parallélogramme. Une autre fonction ?/, qui, pour chacun des systèmes dont il s'agit, coïnciderait avec la fonction c^, sera ce qu'on doit naturellement appeler une fonciioii à double période, si elle ne varie pas, quand on fait croître ou décroître l'abscisse x d'un multiple de a, ou l'ordonnée y d'un multiple de è ; et il est clair que, dans ce cas, u reprendra la même valeur quand on substituera aux coordonnées d'un point situé dans le parallélogramme ABGD les coordonnées d'un point homologue situé de la même manière dans l'un des autres parallélogrammes

(') Le Mémoire d'Hermite annoncé par la Noie précédente n'ayant jamais été publié et ayant disparu des archives de l'Académie, nous croyons devoir réimprimer le Rapport de Caucliy sur ce travail. E. P.

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élémentaires. Si d'ailleurs on veut que la fonction il satisfasse à la condition de rester toujours continue, tant qu'elle ne deviendra pas infinie, il ne suffira pas que cette condition se trouve remplie, quand le point Z sera intérieur au parallélogramme ; il sera encore nécessaire que u reprenne la même valeur quand, après avoir placé le point Z sur l'un des côtés du parallélogramme, on le transportera sur le côté opposé, en lui faisant décrire une droite parallèle à l'un des axes coordonnés.

Ajoutons que, si la fonction u^ supposée doublement périodique, est assujettie à la seule condition de rester finie et continue tant que le point Z est renfermé dans l'intérieur du parallélogramme ABCD, on pourra généralement la développer en une série double ordonnée suivant les puissances ascendantes et descendantes des exponentielles

les valeurs de a, ê étant

2 TT p 9, TT

Supposons maintenant que, les coordonnées x^ y étant rectangulaires, on nomme z une variable imaginaire liée aux variables x^y par la formule