X -f- ri
La position du point mobile Z sera complètement déterminée par la coordonnée imaginaire z, et, pour que u soit fonction de x^y^ il suffira que u soit fonction de z. D'ailleurs, pour que la fonction de s, désignée par u^ soit doublement périodique, il suffira qu'elle reprenne la même valeur quand le point Z, supposé d'abord intérieur au rectangle ABCD, ira prendre la place de l'un quelconque des points homologues situés dans les autres rectangles élémentaires ; en d'autres termes, il suffira que ;^ reprenne la même valeur quand on fera croître ou décroître z d'un multiple de a, ou d'un multiple de hi\ et cette condition pourra toujours être remplie, quelle que soit la forme de la fonction ;^ pour les points intérieurs au rectangle ABCD.
Ce n'est pas tout : on pourra, aux deux périodes a et bi.^ supposées l'une réelle, l'autre imaginaire, substituer deux périodes imaginaires assujetties à la seule condition que leur rapport ne soit pas réel. Cela posé, concevons que l'on désigne par a, b^ non
Hosted by
plus deux quantités réelles, mais deux expressions imaginaires, dont le rapport ne soit pas réel. Pour que u soit une fonction de z doublement périodique, il suffira que u ne varie pas, quand on fera croître ou décroître z d'un multiple de a ou d'un multiple de b. Alors aussi a, b pourront être censés représenter en grandeur et en direction les côtés d'un parallélogramme élémentaire ABCD, et la fonction u sera entièrement connue, quand on la connaîtra pour chacune des valeurs de z correspondantes aux points situés dans l'intérieur de ce parallélogramme.
D'après ce qu'on vient de dire, il est clair que, si a et b représentent les deux périodes de la variable z dans une fonction doublement périodique ?/, la valeur de u correspondante au cas où le point mobile Z reste compris dans l'intérieur d'un parallélogramme élémentaire ABCD pourra être choisie arbitrairement. Si d'ailleurs cette valeur, arbitrairement attribuée à u, est toujours finie et continue dans l'intérieur du parallélogramme, on pourra, de formules déjà connues, déduire l'expression analytique générale, propre à représenter la valeur de la fonction u supposée doublement périodique, quelle que soit la valeur attribuée à la variables.
La fonction u^ supposée doublement périodique, ne pourra plus être choisie arbitrairement pour les valeurs de z correspondantes aux divers points d'un parallélogramme élémentaire, si elle est assujettie à la condition de rester continue avec sa dérivée, pour des valeurs quelconques de ^, tant qu'elle ne devient pas infinie. Cette condition sera remplie, par exemple si u est l'une des fonctions elliptiques, ou même une fonction rationnelle de ces fonctions. Mais il importait de savoir quelle est la forme la plus générale que puisse prendre une fonction doublement périodique, quand on l'assujettit à la condition énoncée. Telle est l'importante question que M. Hermite s'est proposé de résoudre. La solution qu'il en a donnée s'appuie sur des propositions remarquables, déduites en grande partie des principes établis par l'un de nous dans divers Mémoires, et spécialement dans le Tome II des Exercices de Mathématiques, Entrons à ce sujet dans quelques détails.
La variable imaginaire z étant censée représenter les coordonnées imaginaires d'un point mobile Z, désignons par F(^) une fonction doublement périodique de ^, qui reste continue avec sa dérivée, tant qu'elle ne devient pas infinie; et soient a, 6 les deux périodes
Hosted by
de z assujetties à la seule condition que leur rapport t ne soit pas
réel. Les quatre points
dont les coordonnées imaginaires seront
coïncideront avec les quatre sommets d'un parallélogramme élémentaire ABCD, dont les côtés seront représentés, non seulement en grandeur, mais encore en direction, parles deux constantes a, h] et, si l'on pose
at ■
ht',
t^ t^ étant deux variables réelles, les valeurs de Ç, correspondantes à des valeurs de ^, t^ comprises entre les limites o, i, représenteront les coordonnées imaginaires de points renfermés dans le parallélogramme élémentaire ABCD. Le binôme z -f- at^ en particulier, représentera les coordonnées imaginaires d'un point situé sur la droite AB; et si, pour tous les points de cette droite, la fonction de ;î et de ^ représentée par F(5 -h al) conserve une valeur finie, cette fonction, qui ne varie pas quand on j fait croître ou décroître t d'un nombre entier quelconque, pourra être développée suivant les puissances ascendantes et descendantes de l'exponentielle
Soit A;;^ le coefficient de la m''"''' puissance de cette exponentielle dans le développement de F(^ -f- at)^ m étant positif ou négatif, mais entier. On aura
ou, ce qui revient au même.
la valeur de n(Ç) étant
at) dt,
et
V{z-^at)
/rt = 00
Hosted by
par conséquent
D'ailleurs, la nouvelle fonction, désignée ici par n(Q, ne variera pas quand on y fera croître !^ de a, et vérifiera évidemment la condition
la valeur de q étant
Enfin, si l'on suppose que la sommation indiquée par le signe \ s'étende seulement slux diverses valeurs positives ou négatives de m, la valeur 77i = o étant exclue, alors, à la place de la formule (2), on obtiendra la suivante
m—cc
la valeur de Aq étant
(5) Ao= / F(^ + at)dt.
D'autre part, si l'on désigne par /(^) une fonction de z qui demeure continue avec sadérivée, tant qu'elle reste finie ; par(P, Q) la valeur de l'intégrale rectiligne
ff{^)
dz.
étendue à tous les points de la droite qui a pour origine le point P et pour extrémité le point Q; par S l'aire du parallélogramme élémentaire ABCD ; enfin, par (S) l'intégrale ^/(Ç)^/^, étendue à tous les points situés sur le contour de ce parallélogramme, on aura, non seulement
et, par suite,
mais encore
Hosted by
le signe X étant relatif aux seules valeurs de Z, qui représenteront
les coordonnées de points renfermés dans le parallélogramme élémentaire ABCD. Cela posé, comme, en réduisant /( 5) à la fonction doublement périodique F(s), on aura évidemment
(B,D)3=(A,G) et, par suite,
la formule (7) donnera
Si, au contraire, on remplace /(^) par n(s), alors, en ayant égard à la formule (3), on trouvera
(B,D)==:(A,G), (G,D)-^-^--(A, B), et, comme on aura
/z-hn
on tirera des formules (6) et (7) par conséquent,
(y) ^'n= -^ V—cr^^n'
Tl résulte immédiatement de cette formule, jointe à l'équation (4). que, si, en attribuant à z une valeur de la forme at -\- ht' ^ et à ^, t^ des valeurs réelles dont la seconde reste comprise entre les limites o, i , on pose
on aura
(II) F(.-) = Ao+^'^e(^-H^.-Ç)[F(0].
le signe X étant relatif aux seules valeurs ^,, Ço? •••? ^[x de la variable ^ qui vérifieront l'équation
Hosted by
THEORIE DES FONCTIONS ELLIPTIQUES. 8t
et représenteront les coordonnées de points renfermés dans l'intérieur du parallélogramme élémentaire ABGD. D'ailleurs, on tirera de l'équation (lo), en y remplaçant m par — m^
Supposons maintenant que les valeurs de
Ç = ^ -I- a^ -H ht%
désignées par Ç^ , Ço, . . . , Çjj^, se trouvent rangées d'après l'ordre de grandeur des valeurs correspondantes de ^^ Soient, d'ailleurs,
Zi, Z2, . . . , Z^^
les points dont si? ^2? • • • 7 ^tx représentent les coordonnées imaginaires. Si, dans le second membre de la formule (i 1), on attribue à z un accroissement A^ tellement choisi, que le point A^ correspondant à la coordonnée imaginaire z -\- ^z soit renfermé dans l'intérieur de la bande comprise entre la droite AB et la parallèle menée à cette droite par le point Z,, le terme
F(^-l- at)dt
ne variera pas ; mais, si le point A^ vient à franchir cette parallèle, le terme Aq prendra un accroissement qui se déduira sans peine des formules (6), (^), et dont la valeur sera
le signe T se rapportant à la seule valeur S^, de la variable (^. Dans la même hypothèse, l'expression
HJ'^e(^ + è-0[F(0],
que renferme le second membre de la formule (i i), se trouvera évidemment diminuée du terme correspondant à la valeur Ç, de Ç, et augmentée du terme correspondant à la valeur !^^ -1- 6. Gela posé, il est clair que, si l'on assujettit 6 (s) à vérifier généralement la condition
Hosted by
la formule (ii) pourra être étendue au cas où le signe r serait
relatif aux valeurs de ^ qui représenteraient les coordonnées de points renfermés, non plus dans le parallélogramme élémentaire ABGD, mais dans le parallélogramme semblable A'B^G^D' avec lequel on peut faire coïncider le premier en transportant les côtés parallèlement à eux-mêmes, et substituant au sommet A le sommet A^ Par suite aussi, on pourra, en supposant le terme Ao réduit à une constante dans la formule (i i), admettre que, dans
cette formule, le signe T se rapporte aux seules valeurs de Ç qui
vérifient l'équation (12), et sont de la forme
(i5) X,=^ at-\-hi:,
t^ t' étant des variables réelles comprises entre les limites o, i.
En vertu de la formule (11), considérée sous ce point de vue, toute fonction de z qui, étant doublement périodique, reste continue avec sa dérivée tant qu'elle ne devient pas infinie, se réduit à la somme d'un certain nombre de termes, dont chacun est proportionnel à une fonction de la forme
z^ étant une valeur particulière de ^, ou bien encore à l'une des dérivées de cette même fonction différentiée par rapport à z. Tel est le théorème fondamental obtenu par M. Hermite. Ajoutons que la fonction désignée ici par 9(^) a évidemment pour dérivée une fonction doublement périodique de^. Si l'on désigne par ^{z) cette dérivée, la fonction ^{z) restera continue, aussi bien que 9(^), tant qu'elle ne deviendra pas infinie, et, par suite, rien n'empêchera de prendre pour F(^), dans la formule (11)^ ou la fonction cp(^), ou une fonction rationnelle de ^{z). En réduisant effectivement F(^) au carré de o[z)^ M. Hermite obtient une équation qui sert à exprimer ce carré en fonction linéaire de ^{z) et de ^"{z)] il en conclut aisément que le carré de o' [z) est proportionnel au produit des trois facteurs
et la transcendante 9(-s) se trouve ainsi ramenée aux fonctions elliptiques. Par suite aussi l'on peut réduire à une fonction rationnelle
Hosted by
de fonctions elliptiques toute fonction doublement périodique qui reste toujours continue avec sa dérivée, tant qu'elle ne devient pas infinie (^ ).
En partant des formules que nous avons rappelées, et substituant aux périodes a, h les autres périodes qu'on peut introduire dans le calcul, en déplaçant les sommets du parallélogramme élémentaire ABCD, M. Hermite obtient successivement sous diverses formes la valeur de la transcendante 8(3). D'ailleurs, la comparaison des diverses formes sous lesquelles se présente 9(^), et de ses divers développements, permet à l'auteur d'établir un grand nombre de propositions nouvelles. L'une de ces propositions, très digne de remarque, est relative à l'intervalle dans lequel reste convergente la série qui représente le développement de la fonction 9(^) (^).
En résumé, les Commissaires pensent que, dans le travail soumis à leur examen, M. Hermite a donné de nouvelles preuves de la sagacité qu'il avait déjà montrée dans de précédentes recherches. Ils pensent que ce travail est très digne d'être approuvé par l'Académie, et inséré dans le recueil des Mémoires des Savants étrangers.
(*) Déjà, en 1844? ^' Liouville avait obtenu, par une méthode très différente de celle qu'a suivie M. Hermite, et avait énoncé, en présence de ce dernier, la réduction ici indiquée.
(2) M. Hermite, après avoir fixé l'intervalle dans lequel le développement de la transcendante 6(2) demeure convergent, prouve que, dans le cas où cet intervalle atteint sa valeur maximum, le rapport entre cet intervalle et le plus petit côté d'un
parallélogramme élémentaire ne peut s'abaisser au-dessous de i/j- M. Jacobi,
dans une Lettre adressée à M. Hermite, avait énoncé une proposition qui coïncide avec ce théorème, et qui s'appliquait à la transcendante 6 (-s).
Hosted by
NOTE
SUR
