A COEFFICIENTS ENTIERS ET A DEUX INDÉTERMINÉES
Journal fût^ die reine und angewandte Mathematik, Tome XXXVI: ]848.
Soit
la forme proposée; nommons
«1, a2, as, ..., a,i les racines, supposées d'abord toutes réelles, de l'équation A^«-f- B^'^-iH-G^'^-2-h.. .-h K^-hL = o;
je définirai le déterminant de f{y^ x) la plus petite des valeurs que peut prendre l'expression
(AiA2...A,,)^
lorsque les quantités A^, Ao, ..., A;^ prennent toutes les valeurs réelles et positives depuis zéro jusqu'à l'infini. Et d'abord un tel minimum existe toujours, comme on le reconnaît aisément; posant donc les équations
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on est assuré d'avance qu'elles seront satisfaites, au moins par un système de déterminations réelles et positives de A<, A2, . . ., A,/. Ces équations deviennent, en prenant
(i) 1^ = n^l-J--9 2A = ^A2-7— ? •••? 9. A = nA.i -— — j,
et, à proprement parler, elles ne contiennent que les rapports
— ^ 7^? etc. Leur somme d'ailleurs donne l'identité
Al Al
2A =r Al --- -I- A. -- -4-. . .-H A,,-—-. <:/Ai aA2 d^,l
Cette définition du déterminant pour une forme /(jK, ^) de degré quelconque comprend, comme il est aisé de le voir, le cas particulier des formes quadratiques; mais, en passant aux valeurs suivantes de n, la détermination de D, en fonction des coefficients A, B, ..., L, exige la résolution d'équations algébriques de degré de plus en plus élevé, et dont voici le caractère essentiel. Représentons en général leur premier membre par
le coefficient de la plus haute puissance de D étant l'unité, je dis qu'il ne changera pas de valeur, si l'on j remplace respectivement
A, B, G, ..., K, L par les coefficients
A', B', G', ..., K', V de la transformée
f(my-i-m(^x', ny-^n^x')=ft(y, x')
les entiers m, m^ ; 72, n^ étant soumis à la condition
mn^ — nm^ = ±: i .
Pour le faire voir, soit
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86 OEUVRESDECHARLESHERMITE.
en posant
, __ nQ(Xi — niQ
771 — 71 OLî
fi(y, ^') = ^' (y — ^\^') (y — <^' ) " -(y — <^')
et
A' = A (772 — 7l(Xi)(77l — nCL^). . .{771 — 7lOLn)'
Or si Ton substitue, dans les équations (i), a^- à a/ pour obtenir les valeurs des quantités A relatives au déterminant de la nouvelle forme /^ (y', x')^ comme les différences a- — a'- deviennent
{ni — 71 OLi ) {771 — n ay )
on voit immédiatement que cela revient à prendre pour inconnue,
en srénéral, -, ^ au lieu de A^-; donc, par cette substitution,
^ ' {771 — TiOLiY ^7 :> r 7
Ai, A2; . . . , A// deviennent simplement, à un facteur constant près,
(m — nai)2Ai, (m — ^«2)^13,
Soit X ce facteur indéterminé; il en résulte que, par la substitution de a!, à a/, A = ^ SS A/Ay (a/ — olj)- se change en X^ A, mais la valeur de D reste absolument la même, le produit
A^ {tu 7lOLi){77l 71 y.2) . . . { 771 72 df^)
disparaissant comme facteur commun au numérateur et au dénominateur, d'après la valeur ci-dessus de A^ Ainsi, les deux équations en D, qui sont relatives à la forme proposée et à sa transformée, ont les mêmes racines, et sont par conséquent identiques. Voici maintenant quelques exemples du calcul de D :
/(jK; ce) = Ajs ^ By^x H- Gyx^ -{- Bx^. On trouve
A = Al AaCai— aa)^ -H Ai A3(ai — «3)2 4- AoA3(a2 — oL^y,
et les équations (1) deviennent
2A=:3A,[A2(ai-«2)^4-A3(ai-a3j2], 2A = 3A2[Ai(a2 — ai)2-i-A3(a2 — a3)2], 2A=:3A3[Ai(a3 — ai)2H-A2(a3 — a2)2],
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d'où l'on tire
AiA3(a, — a3)2 = ^.^^^{ai— o^^f, A2 Ai (as — ai)2 =. A3 Ai(â3 - ai)^
OLi bien
A.2 (ai — «3)2 Â; -(a2 — a3)2'
A3 (ai — as)^ Al " (a2— «3)^
Soit donc
Al = (a2 — «3)2, A2 = (ai — «3)2, A3 == («1 — a2)2;
on obtiendra successivement
A = 3(ai - a2)H«2 — a3)H«3 — «1)^ A1A2A3 = (ai — a2)2(a2 — «3)^(^3 — ai)S
et, par suite,
(AiA2A3)2
j [27 AHOCI- a2)H«2 — '^3r-(a3 - «!)']('
^ j ^^[B2G2— 4B3D— 4G3A— 27A2D2+18ABGD] j
f{y^ x) = Aj* -4- BjK^^ H- CjK^^^ -f- Dj^^ 4 E^^. Il vient alors
A =: 2Ai[A2(ai — a2)^-^^3(ai — 'J-zY + ^U^i " ^0^]^ A = 2A2[Ai(a2 — ai)^ -h A3(a2 —'«3? + ^^(«2 — a^^] , A = 2 A3[Ai(a3 — ai)2 + A2(a3 — «2)2 4- A4(a3 — «0']^ A = -2 A4 [Al (a^ ~ ai)2 + A2(a4 — a2)2 -\- ^^{:^', — a^y];
on en déduit, par une combinaison facile,
Al A2(ai — a2)2 == A3 A4(a3 — ai)^, A2A3(a2 — a3)2 = A4Ai(a4 — ai)2, AiA3(ai — a3)2 =z ^2^k{'^2 — a4)^ ou bien encore
A'i(ai — a2)2(ai - «4)- = ^'(«3 - «2)" (=^3 — ^4)-, Al(a2 - OLs)Hoc2 — oikY = A?(ai— a4)2 (ai - as)^, A^ (a4 — a2)2(a4 — a3)2 = ^\ (ai — «2)2 («i — a3)2.
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Ainsij nous prendrons
^l = (a2 - a3)Ha3 - a4)2(a4 — a,)^, ^l = («3 - a,)Hoc,-ccty{^i - a3)S ^l = {oLr, — ai)2(at — oc,^y{cc2 — «4)% ^l = (ai — a2)Ha2 — OLsYi^s — al)^
et pour avoir, comme la question l'exige, des déterminations positives, nous supposons
ai>a2 > «3 > «4, ce qui donnera
Al = — (a2 — a3)(a3 — a4)(a4 — «2.), A2 r^— («3 — ^4) («4 — ^1) (^1 — «3), A3 = — (a4 — ai)(ai — a2)(a2 — «4), A4 = — (ai — as) (a2 — 0C3)(a3 — ai).
Soit, pour abréger l'écriture, ù le carré du produit des six différences des racines prises deux à deux; on conclura de ce qui
précède (^) :
Al A2A3A4 == O,
t A = 4Q2 (ai — a3)(a2 — «4),
D = j- =z 4A(ai — a3)(a2 — a4).
(AiA2A3A4)^'
La détermination de D, en fonction des coefficients de /(jk, ^), se ramène aisément à la résolution d'une équation du troisième degré : en représentant par <Ï>(A, B, G, D, E) la fonction rationnelle et entière de ces coefficients qu'on obtient pour le produit symétrique A^O, cette équation sera
D3 42D(G2 3BD + 12 AE) — 4^ ^2 ^ o,
et ses trois racines
4A(ai — a3)(a2 — «4),
4A(a2 — ai)(a3 — a4), 4A(a3 — as) (ai — a4).
Voici maintenant la méthode générale de réduction ; ayant déter-
(^) Nous corrigeons dans les lignes qui suivent quelques légères erreurs de calcul sans aucune importance pour la théorie générale. E. P.
miné parla théorie précédente les quantités A,, A2, ..., A,;, soit
y = niy' -h ?n^ x\
X = ny' -h n^ x'.^
la substitution propre à réduire la forme binaire
Al {y — ai 07)2 | ^2 (7 — «2 ^)^ -H . . • + ^«(7 — a«^)^
dont le déterminant changé de signe est la quantité désignée cidessus par A, je dis que cette même substitution effectuée dans la forme proposée /"(jK, x) conduira à une transformée f\ (y, x')^ dont tous les coefficients auront des valeurs limitées qui dépendront seulement du déterminant D et de l'exposant n. Soit
a —Al (m — Al ai)2 -h A2(m — n a^y- -+- . . .-\- ^n{m —n a„)2, ao = Ai(mO — 7i0ai)2-i- A2(m0 — n^a^y -^. . ,-^ t.n{m^ — n^ccnY ;
d'après le caractère principal des formes binaires réduites, on aura
aao< JA,
ce qui donne, en supposant a <: ao, la limite a- <^ | A ; or voici les conséquences qui s'en déduisent : En premier lieu, le produit des quantités positives
Ai(/?i — Aiai)-, A2(m — noL^y-, ...,
ne pouvant dépasser son maximum ( - j y on aura
d'où l'on tire aisément
A{m — n!Xi)(m — ncc2)...{m — nccn) <C {- j i^j D.
Secondement, si l'on omet dans a le terme A/(m — noLiY^ en raisonnant comme tout à l'heure, on trouvera
Al A2 . . . Ai-i A/+1 Ai+2 . . . An{ni — na^Y . , .{m — n a/i )2
/ a \ '^-i X (m — 7za/|i)^ . ,{m — n'Xaf< f __ ^- ) ;
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multipliant membre avec l'inégalité ^i[m^ — ii^cLiY <C ao et posant, pour abréger,
(a/) = {m — ncci){m — ncn^). . .{m^ — n^oLi). , .{m — 7^a/^), on obtiendra facilement
Ces deux conclusions auxquelles nous sommes arrivé démontrent immédiatement Ja proposition annoncée; en effet, soit comme précédemment
Aif, ^') = A'(y— a.\ x') (y— a'.^x').. .(y- a;,^'),
on aura
el
m — /la/ A'
<i{^j iïï^-'
ainsi, le nombre entier A^, d'une part, et tontes les quantités a'^, a^, . . ., de l'autre, sont limitées; donc il en est de même encore de tous les autres coefficients B^, C, ..., L'. Entre autres relations qu'on peut établir à cet égard, on doit remarquer la suivante, qui fournit une limite du produit des coefficients extrêmes, savoir
Je vais maintenant considérer les formes /(jK, ^), où les racines de l'équation /(^, i) sont en partie réelles et en partie imaginaires; nommons donc
les racines réelles, et
?u Ti; P2, T2; •.-, Pv, Tv les divers couples de racines imaginaires conjuguées, de sorte que
jjL -I- 2 V = /i ;
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REDUCTION DES FONCTIONS HOMOGENES. gî
posons
je définirai le déterminant de /(y, x) la plus petite des valeurs que peut prendre l'expression
(Ai...A^)'WiA',...A'v)
lorsque les quantités A,, Ao, . . ., A^; A'^ , A'^, A!, passent par toutes les valeurs réelles et positives, depuis zéro jusqu'à l'infini. On obtiendra alors, pour le minimum cherché, les équations
d\i aA2 ' d^^
, d^ <iA , ^ . âf A
et un raisonnement semblable à celui qui a été employé ci-dessus prouve que toutes les transformées f^ {y' ^ x')^ équivalentes à la forme proposée, conduiront à la même équation pour déterminer D en fonction de leurs coefficients.
D'après cela, je fais dans /(jK, x) la substitution
y =z niy' -{- rn^x\ X = ny' -4- n'^x'
propre à réduire la forme binaire quadratique
Ai(jK — ai xY + A2(jr — CL^^xY + . . .-I- Aj^(jk — cc^x)^
+ a; (7 — ^ix){y — Yi^r) + A'2 (y — h^"^) (j — T2^) + • • •
de déterminant — A, et je dis que tous les coefficients de la transformée J^ (y, x') auront des valeurs finies, limitées seulement au
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moyen de D et des nombres [i., v. Soit
/i(y, ^') = A (y— < ^ny— «2^')- • -(y— «i^^') x(y-p>')(7'-p;^')-..(y-p;^') X (y— T'i^')(y — T2^')- • -(y — Tv^')
et
A' = A (/?! — ncC[)(m — nas ). . .(m — na^^)
X (m — n^(i){m — ;^ Y2 ) • • • ( '^ — ^Tv) • On pourra comme précédemment faire
et Ton obtiendra, par des raisonnements analogues,
en partant de la relation
Ai(7?i — TKXiY -h ^^{jn — na^Y H-. . .-4- Ajj^(;n — noL^J^
H- L\{m — Al j3i)(/?z — ^Yi) -H A^ (/?i — 71 j32)(/?i — ^72) "^•••
-I- A;X771 71 j3,)(.?l — ^Yv) < i/l ^.
On aura encore les deux limites suivantes
M«0<.(.-èT)="-"(|)'"B,
.,„,„,, <(^)-(.-^r(if'>'-
Ainsi le coefficient A^, les racines réelles et les modules des racines imaginaires sont limités comme je l'ai annoncé; donc il en est de même de tous les nombres entiers qui forment les coefficients de la transformée f^ (y, x').
Les principes précédents s'appliquent avec beaucoup de facilité aux formes cubiques et biquadratiques ; on observe alors cette circonstance remarquable que, pour chaque degré, c'est toujours la
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RÉDUCTION DES FONCTIONS HOMOGÈNES. qS
même équation en D qui vient s'offrir, bien que les calculs par lesquels on y arrive diffèrent beaucoup, suivant le nombre des racines réelles et imaginaires, mais je n'ai pu jusqu'à présent découvrir la raison générale de ce fait important.
Le cas des formes binaires du second degré à facteurs réels, si distinct des autres, se rattache à une théorie très étendue fondée sur la réduction des formes quadratiques à un nombre quelconque d'indéterminées, et qui embrasse toutes les irrationnelles algébriques; je la soumettrai dans un prochain Mémoire au jugement des Géomètres.
Paris, mars 1848.
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SUR LA THÉORIE
FORMES QUADRATIQUES TERNAIRES.
Journal fur die reine und angewandte Matheniaiik, tome XL; i85o.
Un des principaux caractères des formes ternaires réduites, lorsqu'elles sont définies, consiste en ce que le produit des coefficients des trois carrés des variables est toujours inférieur au double du déterminant. C'est là, comme on sait, une limite précise, découverte d'abord par induction, puis démontrée par M. Gauss dans l'écrit si remarquable sur l'Ouvrage de M. Seeber. Mais les transformations analytiques de l'expression
D = aa' o!' -\- ibb'b" — ab^- — a' b'^ — a" b"^-
données par l'illustre géomètre, et desquelles résulte avec tant d'élégance la limite indiquée, me semblent tenir à des principes singulièrement cachés, et qu'il m'a été impossible de retrouver malgré tous mes efforts. Après de longues recherches, j'ai découvert enfin une méthode nouvelle pour obtenir la limite de M. Gauss, et je vais la développer dans cette Note, après avoir d'abord donné une démonstration simple de l'existence des caractères attribués par M. Seeber aux formes réduites.
Soit, en suivant la notation des Disquisitiones arithmeticœ^
y— ax^-^ a'y^-{- a" z^ -h ibyz H- ib' xz -f- ib" xy
une forme définie positive à coefficients quelconques, car il n'y a aucunement lieu de les supposer entiers dans la théorie de la réduction. Considérons la série entière des transformées distinctes
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FORMES QUADRATIQUES TERNAIRES. gS
équivalentes à /*, et formons un groupe particulier de celles où le coefficient de l'un des carrés a la plus petite valeur possible.
Réunissons ensuite dans un second groupe toutes les former du premier, où un autre coefficient des carrés est encore le plus petit possible. Enfin, formons un dernier groupe des formes précédentes, où le troisième coefficient des carrés est un minimum : je dis que les formes, ou la forme unique obtenue ainsi, offriront tous les caractères des réduites de M. Seeber.
Qu'on les représente, en effet, par
les diverses formes binaires
seront nécessairement réduites. Si, par exemple, (A', B, A'^) ne l'était pas, en effectuant dans F la substitution propre à la réduire, on arriverait à une transformée équivalente, où l'un au moins des coefficients de y^ et z^ serait diminué, A restant le même; c'est donc à cette transformée que la méthode employée aurait conduit, et non à la proposée. Dans le cas où B, B^, B^^ sont négatifs, il faut encore arriver à la condition
A-i- A'> — '2(P>+B'4- B"), ou bien
A + A'-f- A"-f- iB-{-iB' -i- 9B" > A",
A'^ désignant le plus grand des coefficients des carrés. Pour cela, considérons la transformée équivalente à la proposée, obtenue par la substitution
r = Y-hZ,
où les coefficients de X^, Y^, Z- seront respectivement. A, A^, et A + A^ + A'^ -j- 2 B + 2 B^ + 2 B'^ ; cette dernière quantité ne peut donc être inférieure à A'^, car c'est encore à cette transformée et non à la proposée que la méthode eût conduit.
J'omettrai, pour abréger, l'algorithme de réduction auquel les caractères des formes réduites conduisent tout naturellement, car
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il ne me semble pas très important au point de vue de la théorie, et j'arrive à mon principal objet, à la condition
