AA'A'<'2D
Tout repose sur le question suivante : /(^, jk, z) étant une forme définie quelconque, déterminer la limite précise du minimum de f{oc^ y, 1), pour des valeurs entières de x eiy.
Réduisons la forme binaire qui résulte des termes du second degré de f{x, y, i), par une substitution propre ou impropre
ce = mX -h nY ,
y=lxX H-vY,
de manière que le coefficient moyen de la transformée soit positif (c'est là une condition essentielle, pour les considérations géométriques que nous aurons à développer tout à l'heure), et posons
/(mX+nY, jjiX-f-vY, I)
= AX2 -4- 2B''XY -F A' Y2-f- 2BY + 2B'X + A"= F.
En désignant par a et p deux constantes convenablement choisies, on pourra faire
F = A(X-f-a)2+2B"(X + a)(Y-f-P)-i-A'(YH-[i)2-i- ^,
D étant le déterminant de/(^, y, ^) et A celui de la forme binaire (A, B'', A^) qui est réduite et où B'^ est positif. Soient, enfin, ^ et r^ deux nombres entiers tels que ^ -h a et y^ -f- p soient positifs et moindres que l'unité; je dis que le minimum de F correspondra à l'un des quatre systèmes de valeurs
X = ^ Y = Yi-i,
On sait, en effet, qu'une propriété essentielle des formes binaires réduites cû(^, y) consiste dans la relation
cp(^ — l,7)<cp(^,jK),
si l'on a à la fois
x>j et a7>i,
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FORMES QUADRATIQUES TERNAIRES.
ou bien encore
avec les conditions
cf{x,y-i)<:o{x,y),
y^x et jK > I.
Les quatre systèmes de valeurs considérées sont d'ailleurs évidemment les seuls pour lesquels les valeurs absolues de X + a^ Y 4- p; soient inférieures à l'unité, et il nous reste à déterminer auquel de ces systèmes correspond le minimum absolu de F, ainsi qu'à trouver une limite précise de ce minimum.
Pour cela, j'aurai recours aux considérations géométriques suivantes :
Soit OAB un triangle tel qu'on ait
OA
OB =k', OA.OBcosAOB= B'';
Fig. I.
le carré de la distance à l'origine O, d'un point M dont les coordonnées obliques parallèles à OA et OB sont OA.^ et OB.w, sera précisément la valeur de la forme binaire A.L^ -{- iW tu H- K' lû ; et si on la désigne un instant pour abréger par cp(^, ?/), on voit facilement qu'on aura les relations
MO = o{t, u), MB" = ^{t, w — i),
MA =^{t- M0''= o{t-
en achevant le parallélogramme OABO^ Gela posé, il est maintenant facile de reconnaître quelle est la plus petite de ces quatre distances.
Soient G et G^ les centres des cercles circonscrits aux triangles OAB, O^AB; menons d'une part les perpendiculaires GP, GQ, sur H. — I. 7
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les milieux de OA et OB, de l'autre les perpendiculaires G^Q^, C^P^, sur les milieux de O^A, O^B, et joignons CG ; selon que le point M tombera dans l'intérieur des figures
OPGQ, PAQ'G'G, G'Q'O'P', P'BQGG',
le sommet le plus voisin sera
Mais 7 dans ces divers cas, la distance la plus grande au sommet correspondant ne surpassera jamais GO =: GA = AG^= G^O', . . ., c'est-à-dire le rajon du cercle circonscrit au triangle OAB. Or un calcul bien simple donne
