AA'-B

Nous voici donc conduits à cette limite précise du minimum de F ou de l'expression proposée y(^, y, i), savoir

, ^ AA'(Ah-A'— 2B'') D

De là, comme on va voir, se déduit immédiatement la proposition que nous avions en vue. Désignons par

une forme définie réduite, où les coefficients a, a', a'^ sont rangés par ordre croissant de grandeur; (a, b'^, a') sera, comme on l'a vu, une forme binaire réduite, et nous pourrons toujours j supposer b^^ positif. J'ajoute que a'^ est le minimum def(x,y, i) pour des valeurs entières de x et y^ savoir pour x = o, j)/ = o; s'il existait, en effet, deux entiers, m et /z, pour lesquels on eût

la substitution

X = X -i- mZ,

donnerait une transformée équivalente, où a et a^ seraient conservés, tandis que a'^ serait remplacé par la valeur moindre

Hosted by

FORMES QUADRATIQUES TERNAIRES. 99

/(m, n^ i); c'est donc cette transformée qui serait la réduite et non la proposée.

Nous pouvons ainsi, entre les coefficients de/, établir la relation obtenue plus haut, savoir

„ aa\a — ib"-ha') ^ D

/\(aa'-^b"'^) aa' ~ b"'^

On en déduit

D > a"{aa' — b"^) — ^aa'(a — 'ib" -\- a'),

d'où

Ci D — aa' a" y- aa' a" — 2 a" b"^ — 1 aa' {a — ib" -^ a').

Or le second membre de cette inégalité est essentiellement

positif; en effet, pour la plus petite et la plus grande valeur de V ^

savoir

b"=^ o et b" =^ la,

il se réduit à

a a' a!' — 1 aa ( a -f- a' ) r= aa' [1 ( ^" — <^ ) + M ^" — ^ )] , et à

a a' a!' — i a'^a!' — i aa"^ = ^ aa''{a' — a)-j-^ aa'{a" — a');

quantités positives. Si donc pour des valeurs intermédiaires de b^' il pouvait devenir négatif, ce ne serait qu'à la condition de s'évanouir deux fois dans l'intervalle compris entre les limites b'' =^ o, b'^ z=z^a; mais cela est impossible, l'équation

a a' a" — 'la" b"^ — \aa\a -Ha' — 2 b") = o

ayant nécessairement ses racines de signes contraires. On a donc toujours, comme nous voulions l'établir,

aa a" <! 2D.

Paris, avril i85o.

Hosted by