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Première Lettre.
Près de deux années se sont écoulées, sans que j'aie encore répondu à la lettre pleine de bonté que vous m'avez fait l'honnear de m'écrire (^). Aujourd'hui je viens vous supplier de me pardonner ma longue négligence et vous exprimer toute la joie que j'ai ressentie en me voyant une place dans le recueil de vos Œuvres. Depuis longtemps éloigné du travail, j'ai été bien touché d'un tel témoignage de votre bienveillance; permettez-moi, Monsieur, de croire qu'elle ne m'abandonnera pas; elle me devient encore en quelque sorte d'un plus grand prix en me sentant, après un long intervalle, ramené de nouveau à l'étude, sur la voie de quelques-unes de vos pensées.
J'ai cru voir l'origine de belles et importantes questions d'Analyse dans cette partie de votre Mémoire : De functionibus qiiadrupliciter periodicis, etc., où vous établissez l'impossibilité d'une fonction à trois périodes imaginaires. L'algorithme si singu-
(') Cette lettre, imprimée dans le Journal de Liouville, Vol. XI, p. 97, et dans le premier Volume des Opuscula mathematica, p. So;, porte la date du 6 août id>\b. Jacobi.
LETTRES SUR LA THEORIE DES NOMBRES. [Of
lier, par lequel vous réduisez à un degré de petitesse arbitraire les deux expressions
ma -\- m'a' -\- m" a" ^ mb -\- m' h' -\- m" h\
n'est-il pas le premier exemple d'un mode nouveau d'approximation^ où les principales questions de la théorie des fractions continues viennent se représenter, sons un point de vue plus étendu? Par exemple, étant données deux irrationnelles A, B, on pourra déterminer, lorsqu'elle existe, toute relation linéaire telle que
où a, 6, c sont entiers. Qu'on prenne, en effet, mk — m' ^= OL, m B — m" = f> ,
a et j3 pourront devenir aussi petits que l'on voudra; d'ailleurs on en conclura
aa -f- èp = m{ka -H Bb)—'am' — b m" = — (am' -\- bm" -{- cm).
Le second membre de cette égalité est un nombre entier, donc ac/.-\- b^ ne pourra diminuer au delà de l'unité sans se réduire à zéro. Ainsi le calcul des nombres, m, m\ ni!' ^ poussé à cette limite, il n'y aura plus qu'à convertir £ en fraction continue pour obtenir la relation cherchée.
Cherchant à appliquer le nouvel algorithme aux irrationnelles définies par des équations du troisième degré à coefficients entiers, j'ai vu s'offrir quelques questions d'une grande étendue auxquelles je me suis principalement appliqué, et qui m'ont amené à considérer la méthode d'approximation que je me proposais d'étudier, sous un point de vue bien éloigné de son origine. C'est dans quelques propriétés très élémentaires des formes quadratiques, à un nombre quelconque de variables, que j'ai rencontré les principes d'Analyse dont je vous demande la permission de vous entretenir.
J'ai tiré de ces principes une démonstration de votre beau théorème sur la décomposition des nombres premiers 5 m -f- 1 , en quatre facteurs complexes, formés des racines cinquièmes de l'unité. Je ne sais. Monsieur, s'il me sera donné de vous suivre dans les nouvelles régions de l'Arithmétique transcendante dont
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VOUS avez ainsi ouvert la voie. Jusqu'ici j'ai eu plutôt en vue^ dans cette recherche, l'application qui s'offre d'elle-même à la théorie de la division des fonctions abéliennes dépendant de l'intégrale / » Peut-être, d'ailleurs, troavera-t-on là des élé-
ments nouveaux pour cette question si difficile des lois de réciprocité des résidus de cinquième puissance, sur laquelle vous avez le premier appelé l'attention des géomètres.
Tout polynôme homogène du second degré à /2 + i variables^
peut être mis sous la forme
\ df \ df I df
2 a^o 2 dx^ 1 dXa
Si l'on pose
1 ^/ ^ X i -^ = Xi . . I -^ = X«,
2 dXç) ^' 2 dxi ' ''*' 2 dx,i
en nommant D le déterminant relatif à ce système d'équations linéaires, la substitution des variables Xq, X|, . . ., X,^ conduira à un nouveau polynôme que je représenterai ainsi, savoir
F(Xo, X^, ...,X„) D
Cela étant, je nommerai D le déterminant de/, et F la forme adjointe à /; on trouve ensuite aisément que la forme adjointe à F, sera D'^~^/.
La notion des formes adjointes donne le théorème suivant :
Si la forme f^ an -\-\ variables .To, x^^ , ,., Xni se change par la substitution
ayo + a'7i -f- «'>, -1- ... -I- a(«-i^ ya-i — Xq = o,
P70 + P'jl -H P>2 -4- . . . -!- P(«-1^ J;,-l -X,=0,
en la forme g, qui n'en renferme plus que /?, le déterminant relatif à g s^ obtiendra par la forme adjointe F, en donnant aux variables Xq, X,, . . ., lL,i^ respectivement, les valeurs
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représentées par les coefficients des termes x^^ x^^ . . .^ Xa dans le déterminant de la substitution, ces derniers termes étant regardés comme une (71 + i)''^'"^ colonne de coefficients .
Un autre théorème essentiel, dans mon analyse, se fonde sur la proposition, aisée à démontrer, qu'étant donnée une forme binaire (a, h^ a') de déterminant négatif — D, et dont les coefficients ne sont plus entiers, mais des quantités quelconques, l'on peut toujours trouver deux nombres entiers premiers entre eux, a, [3, tels qu'on ait
Quant aux formes de déterminant positif D, on obtient dans tous les cas la limite inférieure
aa2-H26aji-f-a'p-i < /D.
Soit actuellement f(^XQ^x^^...^Xn) une forme quelconque à n {i variables, dont les coefficients soient entiers ou irrationnels, et dont le déterminant soit D en valeur absolue; je dis quon pourra toujours trouver n -H i nombres entiers, a, [3, y, . . ., )v,
tels au! on ait
/KP,-^...,x)<('|y"»^D.
Supposons que ce théorème soit vrai pour les formes de n variables, on pourra démontrer qu'il est vrai aussi pour les formes de 7z H- I variables ; il sera donc vrai, en général, puisqu'il a lieu pour les formes binaires. Cette démonstration se base sur le lemme :
Que V on peut toujours déterminer n colonnes de n -\- i nombres entiers telles qu'en ajoutant une [(n + lyème colonne et formant le déterminant, les coefficients multipliés dans ce déterminant par les différents termes de la [n -^lyème colonne soient des nombres entiers donnés.
En effet, étant proposés n -f- 1 nombres entiers quelconques,
déterminons a^ b^ c^ . . .^ k d'une part, c' ^ d' ^ . . ., A"^ de l'autre,
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par les équations
a^ — bx = OLi, c'y — CTTi = TC2, ..., k'y- — kTZfi—2 = TZn—l,
OÙ TTj désigne le plus grand commun diviseur de a et p, 1Z2 le plus grand commun diviseur de y et tt^, . . ., 'K,i^ le plus grand commun diviseur de tC/2 2 et x, on saura prouver que le déterminant du système
bcd...k,\,
— acd. . .k.\^
bcdz
ac8
acdz
d dz
es<(')
a(o)-f-P(i)-hY(2)-H...+ X(/2).
Ce lemme, joint au théorème ci-dessus, fait voir que, si Von déduit d^une forme f^ de n-\- \ variables^ une autre /o de n variables, en substituant aux /i + i variables des fonctions linéaires de n variables affectées de coefficients entiers, on pourra choisir ces fonctions à substituer de manière que le déterminant de f^ devienne
F étant la forme adjointe de f et cl^ ^^ . . ,^\ des entiers donnés à V arbitraire.
L'adjointe de F étant D'^"^/, on pourra donc aussi déduire de F une forme de Ji variables Fq dont le déterminant sera
a, j3, ...,)v étant des entiers donnés quelconques. Donc, dans Fhjpothèse admise pour des formes de n variables, la forme Fq et.
(') Il faudrait mettre (—1) 2 devant la somme ci-dessus, mais ce facteur est sans importance pour la suite. E. P.
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LETTRES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. Io5
par suite, la forme F elle-même pourront prendre une valeur moindre que
valeur que je désignerai par F(ao, ^o? • • -^^o)- On prouve de la même manière que /pourra prendre une valeur moindre que
valeur que je désignerai par/(a', p^, . . ., V). On aura donc
/(a', P', ..., Vxf^)' v/F(ao, po, ..., Xo),
F(ao, Po, . . . , ^o) < (0' ' l^D-i/(a, p, ..., X), et, par suite,
En continuant de la même manière, et en posant
/(aC), p, ..., Xu-)) = /«■), /(a, p, ..., X)=/(o),
on trouvera successivement
/'</y//o), /"</y//', ..., /(-x/(//(— 1^ d'où suit
On pourra donc, en prenant m assez grand, parvenir à une valeur de/,
fUn)^f^i OU /('«)<(^|y "//d,
ce qu'il fallait démontrer (^ ).
(*) M. Hermite fait dans le post-scriptum quelques observations complémen-
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De nombreuses questions me semblent dépendre des résultats précédents. Voici, en premier lieu, comment j'ai essayé d'j ramener votre nouveau mode d'approximation :
A et B étant les quantités données, je considère la forme ternaire
f == {x' — kxy -^ {x" — Bxr- -^ — ,
dont le déterminant est une quantité positive quelconque -• Pour toutes les valeurs de A, on saura déterminer trois nombres entiers, m, m ^ m!' ^ tels qu'on ait
et, par suite
ni! — A /?z < -— -— , ni!' —"^m < -— -— ? m < -— v/a.
Les deux premières relations font voir qu'on peut rendre simultanément d'un degré de petitesse arbitraire, m! — Am, m'^ — Bm; la troisième donne la mesure précise de l'ordre d'approximation
des fractions — ? — , en montrant que l'erreur est proportionnelle • Enfin, la forme adjointe de / étant
m sfm
le calcul conduit encore à une suite de nombres entiers, tels que a, (â, Y qui rendent la fonction linéaire Aa -]- B [3 + y de l'ordre — ou ô^j et l'on démontre que, s'il existe une relation telle que
Aâ^ -f- BZ? -{- c = o, a, Z>, c étant entiers, on verra la fonction Aa-}-B6-f-c s'ofirir nécessairement à partir d'une certaine valeur de A, puis se reproduire indéfiniment, pour toutes les valeurs plus grandes.
taires sur cette démonstration. Remarquons que, s'il s'agit d'une forme indéfinie dont les coefficients ne sont pas entiers, la démonstration n'exclut pas que la forme puisse se rapprocher indéfiniment de la limite indiquée, en lui restant supérieure; mais on est certain que le minimum de la forme est aussi voisin de
que l'on veut. E. P.
LETTRES SUR LA THEORIE DES NOMBRES. lO"
Voici d'autres conséquences :
Soit
F(^) — ^«-1- A^'^-i -+-. . .H- Kx -^ L = o
une équation quelconque irréductible à coefficients entiers et dont a, [3, . . ., À soient les racines; si la congruence F(jî::) ^ o admet une solution x ^ a pour un certain module N, en posant
œo, X\^ ... désignant des entiers, la forme
f-cp(a)cp(p)...cp(X)
représentera toujours des nombres entiers multiples de N : or je dis qu'on pourra trouver une infinité de systèmes de valeurs dcTo^ X\^ . . ., x,i-\ pour lesquelles on ait
f= MN,
l'entier M étant au-dessous de la limite,
dans laquelle A représente le produit des n(^n — i) difierences des racines a, [3, . . ., \ prises deux à deux.
Supposons en premier lieu, les racines a, (3, . . ., X réelles; je considère la forme quadratique à n variables
/==Docp2(a)-HD,o2(?) + ...-l-D„icp2(X),
OÙ Do, Di, . . ., D/2, sont essentiellement positifs : soit D le déterminant de/", on saura trouver pour ^q? ^k-, • • • ? ^n-\ ? un système de valeurs entières telles qu'on ait
/=co(|f"'VD.
(0 étant moindre que l'unité. Or le produit des quantités positives Do^p-a, D^cp^p, ... ne pourra jamais dépasser son maximum
( — j ? correspondant au cas où elles sont toutes égales; on aura
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donc
DoD....D.,.t-<(|) ^.
11 faut ici oblenir D, qui est le déterminant relatif au système des équations linéaires dont les premiers membres seraient
1 df I df
I df
1 dxQ 2 dxi
2 dXn-y
Or on trouve sans difficulté
D = ADoDi.
..D„iNS
ce qui conduit à la limite annoncée.
Comme il ne reste dans le résultat aucune trace des quantités Do, D^, . . ., D/;^ , il suit qu'en leur attribuant toutes les valeurs possibles, les mêmes multiples de N se reproduiront nécessairement une infinité de fois^ pour une infinité de systèmes de valeurs distinctes de ^o? ^\^ - - •-, ^n-\ •
Si l'équation proposée, F(x) = o, n'a plus toutes ses racines réelles, on fera correspondre dans la forme /, à chaque couple de racines conjuguées a, P, le produit Doç(a)cp(P), au lieu de DoCo2(a) 4- D^ cp^^P^^ Dans le cas où toutes les racines seraient imaginaires j ce qui suppose le degré un nombre pair /i = 2 a, on sera conduit de la sorte à la forme
/=Docp(a)cp(P)H-Dicp(Y)cp(8)-|-...-i-D5,icp(x)cp(X).
Le déterminant s'obtient aussi dans ce cas aisément, et l'on trouve
D = (DoD,...D^02 An^
Comme on a, d'ailleurs,
DoD,...Dj,^if<(/)^
et
on en tire la limite
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qui ne diffère pas de celle que nous venons d'obtenir dans le cas des racines réelles.
Supposons que l'équation proposée soit
XP-
qui donne lieu à une congruence soluble pour tout module premier N == A"/? 4- I ; A sera alors />^~2. Ainsi dans le cas de/? = 5, on aura la limite
laquelle est ^ \ mais <^ 2, donc on aura précisément
C'est, comme vous voyez, Monsieur, la démonstration de votre théorème.
Mais il y a plus. Prenant/? = y, on trouve l'expression
qui est moindre que 6. Or, la forme f étant toujours eee^. o ou i suivant le module ^, on ne pourra avoir encore dans ce cas que f=N.
Considérons, en second lieu, l'équation F(^) = o, qui a pour
racines les |(/? — i) périodes de deux racines de =: o ; on
aura la proposition que la congruence F(2) ^ o est résoluble pour tout module premier N = kp — i . On trouvera alors
d'où l'on tirera comme ci-dessus la limite de M. Dans le cas de p ^ rj^ n =: 3, il vient
if(ff
et, par suite, M<< 3. Or il est facile de voir que suivant le module ^ la forme f est toujours ^^ o, i, ou — i . On ne peut donc admettre que M = i .
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De là résulte ce théorème :
Que tout nombre premier ^ m — i est décomposahle en trois facteurs complexes formés des racines de V équation
En réfléchissant aux questions précédentes j'ai été conduit à m'occuper de la théorie de la réduction des formes quadratiques à un nombre quelconque de variables, qui m'a semblé devoir être introduite dans l'étude des expressions telles que t. De même que pour les formes binaires, on obtient ce résultat que, pour un déterminant donné, elles se laissent distribuer en un nombre toujours fini de classes. La méthode de réduction devra reposer encore sur l'emploi de substitutions linéaires. à coefficients entiers, et au déterminant ±1, par lesquelles une forme donnée est changée en une autre entièrement équivalente et de même déterminant. Voici quelques réflexions sur ce sujet.
Soient d'abord
^0 = aXoH- a'Xi + a'^Xa -+-...+ a(«^X„, X, = pXo -f- |3'Xi H- p'^X^ -f-. . . -f- p(«^X,„
x„ = X Xo -I- X' Xi + X" X2 + . . . + X(«) X,,
les substitutions qui changent/(^0 7 -^m . • ., ^//) en la forme équivalente et de même déterminant F(Xo,X^, . . ., X,?). Nommons
siy^.yu '-'^ynl G(Yo, y,, ..., y,),
les formes adjointes respectivement à / et F; par la définition même donnée ci-dessus des formes adjointes, on prouve très facilement que l'on aura
^(7o,7i, . ",yn) = G(Yo, Yi, . . , , Y„), en posant
Yo == ajo -f- PjKi -4- ... -I- XjK/i,
Yi == a'jKo -f- P'ji -f-...+ l'yn,
Y« = a^^'^jo 4- P^"^Ji + . . . + X(/'^ j,,.
Il suit de cette proposition que, si dans la forme f on change seulement les n variables ^^ , ^To, . . ., x,i en d'autres Xi , Xo, . . ., X,^,
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pour obtenir la transformation correspondante de la forme adjointe, on aura à changer seulement les ii variables j^i, j^o? •• -^jK'z ^n d'autres Yi, Y2, . . ., Y/^, et réciproquement. D'où l'on voit qiCeii changeant dans la forme adjointe les n variables yx-^ y-i-, • • -^yn en d^ autres Yi, Yo, . . ., Y,^ par la transformation correspondante de la forme proposée^ le coefficient de x\ ne sera pas altéré.
Changeant au contraire, dans la forme proposée, la seule variable ^0 ^^ ^ P^^ 1^ substitution
^Q = X -h a'^i -I- a" ^2 H- . . . -r- CfS'^^ Xfii
les substitutions correspondantes à faire dans la forme adjointe seront
JKi = Yi — a'/o, r2 = Y2— a>o, •.-, JK/i = Y,, — a^^^jo-
D'où l'on voit qii^en changeant, dans la forme proposée, la seule variable x^ par la transformation correspondante de la forme adjointe ne seront altérés que les termes multipliés pary^ ^l y\.
Voici le résultat que j'ai obtenu au moyen de ces lemmes : Nommons réduite une forme
F(Xo, Xi, . . ., X^) du déterminant D, telle, en premier lieu, qu^ en faisant 1 ^F
-.-^ - AXo -h- BXi + GX2 -h. . .-H LX^ 2 aXo
on ait (^)
A<('4y "Ç/d, B<iA, G<iA, ..., L<^A,
telle encore que la forme adjointe à F, G(Yo, Yi, . . ., Y,^), représente pour Yq = o, elle aussi, une forme réduite : si Von sait ramener les formes d^ ordre n à des formes équivalentes
(^) Ces inégalités et, en général, celles que l'on rencontrera dans les questions de réduction sont relatives aux valeurs absolues, et D représente la valeur absolue du discriminant de la forme. E. P.
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réduites, on saura aussi ramener à des formes équivalentes réduites les formes d^ ordre tz -f- i.
En effet, lorsqu'on se propose de changer la forme donnée / dans une autre équivalente fx(^x\^x\^ ..., x^^ au moyen de la
substitution,
;ro = aa^Q -H a'^i -I-. . .-I- a^'^^^^^,
Xn= \x'ç^ H- V x\ -I-. . .-^-X^"-^ x\i^
on peut prendre pour a, ,3, . .., ). des entiers quelconques sans commun diviseur, puisqu'on sera toujours maître de déterminer les autres nombres a', [3^, . . ., V, a'^, [3'^, ..., de manière que le déterminant des {ii -\- i)^ coefficients soit égal à ± i (^). Prenons donc pour a, (3, ...,}. les entiers sans commun diviseur par lesquels on peut satisfaire à l'inégalité
en nommant A le coefficient de x'^ dans la transformée /*<, on aura
A=/(a, p, ...,X) et, par suite,
^<(ir "i/^-
La forme /(^o, X\^ ..., Xn) étant transformée dans la forme équivalente /^ (^q, x\^ . . ., x\^)^ supposons en même temps la forme adjointe à/,
transformée dans l'adjointe ày^,
^l(Yo, /i, 72' •••5 y'n)'
Faisons ensuite dans cette dernière Yo = o, et ramenons la forme d'ordre /z,
(0 M. Hermite avait ajouté à sa Lettre la résolution la plus générale de ce problème, publiée depuis dans le Journal de Liouvllle, vol. XIY, p. 2i.
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LETTRES SUR LA THEORIE DES NOMBRES. Il 3
à une forme équivalente réduite aux variables jk'(,j^'^, . . ., JK^- Supposons que par la même substitution la forme ^4(Yo,jk'^,j*2, ...^y',) soit changée en g^C^ o-) y\-) y'-y-j • • -^y^)? cette forme représentera, pour Yq = o, la forme réduite d'ordre n. Transformons en même temps la forme/,(xJj, x\^ . . ., x\^)^ dont g^ est l'adjointe, dans la forme/2(x'^, Xi, X2, . . ., X,^), dont l'adjointe est ^'2- I^e ce qu'on a remarqué ci-dessus il suit que, par cette dernière transformation, le coefficient de x'^ ^ A, ne sera pas altéré. Enfin, faisons
x[^ = Xo-h /?îi Xi -^ ^2X2-1-. . .+ 7n,iX;i,
y'[ = Yi — 7^1 Yo, y", = Y2 — m2Yo, . . . , y", = Y., — m.., Yo,
et supposons que par ces substitutions /o et g2 soient changées respectivement en
F(Xo, Xi,X2, ...,X,,) et G(Yo, Yi, Y2, ..., Y„);
le coefficient de X^ dans F sera encore A et la forme G représentera encore pour Yq =r o la réduite d'ordre n. Or, posant
- — 7 = Aa^-o^- ^Xj + cX.7 -f-. . . + /X ; 1 ôx,.
1 ôx'
- -^ = AXo+BXi-f- GX, + ...-r-LX;,,
2 dXo
on aura
et, par suite,
. . , L = / -f- ni:ik.
Donc, m^^ m^^ . . ., 111,1 pouvant être des entiers quelconques, ou saura les déterminer de manière qu'on ait
B<1A, G<lA, ..., L<|A,
et l'on aura satisfait à toutes les conditions. Je remarquerai à présent qu^ étant donnés
~ et G(o, Y„Y2, ..., Y,),
en même temps que le déterminant D de F, on connaîtra la. forme G(Yo, X,, . . ., Y„) et, par suite, F(Xo, X^ , . . ., X„).
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Il4 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
En effet, soit
)(AXo-l-
BXi 4-
GX,
