LX

-hX,,

i(BXo-+-

B'Xi-f-

...-hL'X,,)

-hX.

,(GXo +

G'Xi +

-hX,

.(LXo +

lyxi-i-

G= Yo

[(A)Yo-

+ Yi

[(B)Yo+(B')Y,

[(L)YoH-(L')Y^

aura

Or,

, étant

donnes -r^

^Xo

et G(o,

on connaîtra

et tous les n- coefficients (B^), (C), . . ., d'où l'on déduira, par les n dernières équations, les valeurs des coefficients

et par la première, D étant aussi donné, celle du coefficient (A). On connaîtra donc tous les coefficients de G(Yo, Y^ , . . ., Y,^) et, par suite, ceux de F(Xo, Xi , . . . , X,^).

Par ce qui précède on prouve aisément que les formes d^ un ordre quelconque^ attachées à un même déterminant^ peuvent être ramenées à un nombre fini d'entre elles (^). Et d'abord il suit des conditions ci-dessus que les coefficients A, B, . . ., L ne pourront prendre qu'un nombre fini de valeurs, ensuite le déterminant de la forme G(o, Y<, Yo, ..., Y^,^) étant D'^~^A, s'il est démontré que les formes d'ordre n d'un même déterminant peuvent être ramenées à un nombre fini d'entre elles, on n'aura pour chaque valeur de A qu'un nombre limité de formes G(o,Y,, Yo, . . ., Y,i).

(^) M. HermîLe suppose ici iinpliciteineat qu'il s'agit de formes à coefficients entiers. E. P.

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LETTRES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. Il5

Or, par les nombres A, B, ..., L et la forme G(o, Y^, Yo, ..., Y,^), étant déterminée la forme d'ordre /2 H- i , F(Xo, X| , . . ., X,^), ces formes aussi seront en nombre fini. Ainsi, la proposition étant admise pour les formes d'ordre /?, elle sera démontrée pour les formes d'ordre /? + i . Elle est donc vraie en général, puisqu'elle a lieu pour les formes binaires.

Vous voyez, Monsieur, que j'omets tout à fait le cas important où l'on a A = o; mais cette circonstance n'est point à considérer, lorsqu'on se propose seulement de poursuivre les rapports que j'ai essayé d'établir entre les formes quadratiques définies et les expressions désignées ci-dessus par t. Les résultats précédents me semblent alors ouvrir un vaste champ de recherches, mais dans lequel je n'ai presque fait jusqu'ici qu'entrevoir une longue série de questions et de problèmes difficiles à résoudre.

Convenons d'abord des notations suivantes, savoir :

f =/(Wo)/(Wl).. -fi^n),

en prenant

/( w ) = a^o cpo ( w ) -I- ^1 cpi ( w ) -f- . . . -j- ^« cp,^ ( co ),

cûi((o) désignant la fonction à coefficients entiers

ai -+- b i txt -\- Ci là'^ -h . . . -^ ^/w",

et les quantités (Oq, (Oi, ..., id^ étant toujours les racines d'une même équation irréductible à coefficients entiers et dont celui de la plus haute puissance est l'unité. Je considère ensuite (dans le cas où toutes les racines sont réelles) la forme quadratique définie, d'ordre /? + i ,

f-Do/-Hwo) + Di/^-(wi)-f-...-i-D„/nto.O,

où Do, Di, ..., D,i sont supposés essentiellement positifs. En nommant Q le produit des n{ji -{- i) difi'érences des racines co prises deux à deux, et A le déterminant du système

«0, ai, . . . , aa, ^0, bi, . . . , b,i,

'o; M? • • • î hn

on trouvera, pour h déterminant de f, l'expression

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Cela posé, faisons la substitution

Xç^ = aXo + a'Xi +. . .+ a^^^X,^, ^i=pXo-Hp'Xi+...-l-p(«^X«,

Xn = XXo + X'Xi +. . .+ l^^^Xn,

les coefficients étant déterminés par la méthode exposée tout à l'heure, de manière à réduire la forme adjointe à f. En posant, pour abréger,

^ (0)) = Xo*o(w)H-Xi*i(co)4-...+ X„4>„(w),

la forme quadratique f deviendra, d'une part,

F = Do^H^o) + Di#2(wi) H-. . .-H D„#2(oj^), et la forme f, de l'autre.

Or voici le dernier résultat auquel je suis arrivé, et qui me paraît appeler bien des recherches après lui :

Les substitutions en nombre infini , correspondantes à tous les systèmes possibles de valeurs des quantités Do, Di , . . ., D,^, ne conduiront jamais qu^à un nombre essentiellement limité de formes £,

De là se tire aussi toute la théorie de la réduction des formes t. Je me suis principalement fondé sur la proposition suivante :

Etant donnée une forme quadratique f d^ ordre /^ + i , de déterminant D, réduite diaprés la méthode ci-dessus, soient

les coefficients des carrés dans la forme adjointe g ; on aura d^ abord

(«'»')< (iy'"p/D«,

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puis^ pour toutes les valeurs 1=1^ i^ . . ., n^

UL étant un facteur numérique dépendant uniquement de n et i.

Je vais prendre les formes ternaires pour exemple de la méthode qui donne ce résultat.

Soit

ax'^ -f- ibx^Xi -4- icX(^Xi -H. . .

la forme réduite donnée , et

(«)ro -*-(^')7? + (^'Ojl + '^(^)rori-+-2(c)7or2 + 2(c')jKi72

son adjointe g] la théorie générale donne, en premier lieu, les relations

ensuite, pouryo = o, g doit devenir une forme binaire réduite. Celte dernière étant représentée par

son déterminant, comme on le sait, estaD; on a donc encore

Or, des relations

aib) -\- b{a') -^ c{c') = o, a(c) H- b{c') -\-c(a")^ o,

on déduit sans difficulté

Donc, après avoir multiplié les deux membres de la première équation par {a)' et divisé par a, on obtient

(a)(a")2<|D2-}-aD/|aD,

et enfin, en remplaçant a par sa limite supérieure,

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Il8 ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

La propriété énoncée ci-dessus des formes réduites, qui m'a longtemps échappé, donne lieu à beaucoup d'autres conséquences que je suis forcé d'omettre. Seulement, j'observerai encore qu'en prenant pour point de départ g au lieu de /*, et nommant a^^^ les coefficients des carrés dans cette dernière forme, on serait arrivé pour les formes ternaires aux relations

et l'on trouverait dans le cas général

d'où l'on tire encore

Appliquons maintenant ces résultats à la forme quadratique

dont le déterminant a pour valeur

D = DoDi...D,,A2i>.

Il est aisé de voir qu'on aura

donc, en premier lieu,

d'où

*Ai(wo)*/.(wi)...*„(w,,) < (J.A02,

ce qui reproduit une conséquence obtenue précédemment. Secondement, faisons abstraction, dans a^^^\ du terme 0^^,"^^/;^) ; il est clair qu'on aura

DoDi...D^,iD/,^i...D,„

donc combinant cette inégalité avec la suivante

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et posant, pour abréger,

\r^.(coA.)=^ <ï>t(t^A-)*«(wo)*«(wi)...*«(w/,i)*,i(w/,+i).. . *,i(w„), il viendra

d'où

Or ^/(co) est, comme on le voit aisément, un poljnome entier en iù. Les diverses valeurs de ce poljnome correspondantes aux diverses racines cOq, to,, . . ., iù,t étant toutes finies et même proportionnelles à AQ^, il en sera de même de tous ses coefficients qui sont des nombres entiers ; de là suit immédiatement le résultat que je voulais obtenir.

On peut mettre en elTet cf (coa) sous la forme

^(CO.) = *„(,0..) [X„ + X„, -^-—y +. . .+ X, ^-^ ^. . . J ,

OU bien

Donc, toutes les formes f en nombre infini, qui correspondent à une même valeur du déterminant A, peuvent être ramenées par les substitutions précédentes à un nombre d'entre elles essentiellement limité, car les combinaisons de toutes les valeurs entières possibles pour les coefficients des polynômes W/(co) sont en nombre fini. Enfin, ces dernières formes, qu'on peut nommer réduites^ se représenteront elles-mêmes une infinité de fois en employant successivement les diverses substitutions qui correspondent à tous les systèmes de valeurs imaginables des quantités positives Do, D,,...,D„.

Dans le cas spécial des formes t que j'ai d'abord considéré pour démontrer votre théorème sur les nombres premiers 5m + i , on démontre facilement que les polynômes ^/(w) contiennent tous en facteur le nombre N; c'est donc uniquement de Q que dépendront les limites des coefficients dans les formes réduites. On entrevoit ainsi la possibilité d'obtenir, par exemple, tout ce qui se rattache à la représentation des nombres premiers 1 1 m-f-i,.

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par des facteurs complexes formés des racines onzièmes de l'unité/ en opérant non plus sur chaque nombre donné, mais en général sur les racines de l'équation ^^^ rrr i.

Mais j'ai hâte. Monsieur, de finir cette longue lettre, où il n'y a plus place pour la théorie des fonctions elliptiques. Je n'ai pu jusqu'ici faire à mon gré cette recherche de Fensemble des transformations de la fonction 6, ni retrouver ce résultat si remarquable de la réduction du module ^ à la limite <?-'^^i, dont vous m'avez parlé dans votre lettre. Oserais-je vous demander quelques éclaircissements sur ce point? M. Borchardt a eu la bonté de me mettre un peu sur la voie pour déduire les propriétés des fonctions 0 de la multiplication des quatre séries ^e~^^^^^^^^ ^ mais je ne sais si je pourrai marcher bien loin. Permettez-moi, Monsieur, de vous prier de me rappeler à son souvenir; j'ai entendu M. Starm parler avec de grands éloges de son Mémoire publié par M. Liouville.

Ayez la bonté, si vous le jugez convenable, de faire paraître dans \e Journal de M, Crelle quelques-uns des résultats précédents; j'essayerai ensuite de les développer plus complètement.

P. -S. J'aperçois à l'instant que l'algorithme indiqué pour déterminer les nombres entiers a, [3, . . ., X, tels qu'on ait

peut être présenté d'une manière bien plus précise.

En premier lieu, pour les formes binaires de déterminant — D, (( on ne peut objecter que les opérations continuent à l'infini, car on verrait s'offrir une infinité de quantités a, a! ^ a!' ^ . . . liées par les relations a^ a ^ a!' ^ ... et, par conséquent, différentes. Mais à chacune d'elles correspondent deux nombres entiers aL^^\ ^^'^^ qui donnent, par exemple,

a'^fn) — ^a^'^^'-h 2^;a^'^\3('^^^ -h a' ^^"^^\

Ces nombres sont essentiellement limités, donc il faudrait qu'une même combinaison a, ^ se produisît dans le cours du calcul une infinité de fois, ce qui conduirait à supposer égaux, contre l'hypothèse, une infinité de termes de la suite a^ a! ^ a" ^ .... » Pour les formes ternaires : « désignant, pour abréger,

fl^im)^ i^{m)^ .^(m)] par /(m),

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LETTRES SLR LA THEORIE DES NOMBRES. l'2\

on voit naître de la continuation du calcul précédemment proposé une suite de quantités, /, f^^ f"^ . . . liées par les relations

/' < v/(ï7i>7, /" < ViWW', ■■■■

Or, on obtiendra la limite annoncée dès qu'il se présentera une valeur /^'^"^'^ égale ou supérieure à la précédente /('^^ En effet, de

y(/n+i) >/(m) et fi"i+i) < \/{W^7^ on déduit aisément

D'ailleurs, on ne peut admettre, dans le cas d'une forme définie, que les opérations se prolongent indéfiniment, car, les nombres 3^(w)^ (^{m) ^ y(m) étant essentiellement limités, on verrait se reproduire une infinité de fois une même combinaison de ces nombres entiers, ce qui ramènerait les mêmes termes dans la suite /,y^^/■^ contrairement à l'hypothèse. Si la forme / est indéfinie, mais à coefficients entiers (seul cas dont j'aurai besoin plus tard), la même conclusion subsiste, puisqu'une suite de nombres entiers décroissants ne peut aller à l'infini. »

Pour les formes quaternaires : a Or ici se représentent les mêmes considérations que dans le cas des formes ternaires; dès que le calcul conduira à un terme f^^+^) égal ou supérieur au précédent, on obtiendra la limite annoncée, car de

on déduit

D'ailleurs les opérations s'arrêteront toujours, quels que soient les coefficients, si l'on opère sur une forme définie, et la même chose aura lieu pour une forme, même indéfinie, mais à coefficients entiers. »

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Deuxième Lettre.

Permettez-moi de venir encore vous soumettre ce qu'il m'est arrivé de rencontrer, sur la théorie des formes quadratiques, depuis que j'ai eu l'honneur de vous écrire. J'avais ébauché bien à la hâtCj dans ma lettre, la démonstration de cette propriété générale des formes de même déterminant de se laisser distribuer en un nombre fini de classes; depuis, j'ai été amené à une méthode de réduction plus simple et surtout plus analogue à l'algorithme de Lagrange pour les formes binaires. Sojez assez bon, Monsieur, pour me pardonner s'il m'arrive ainsi de vous entretenir de choses que je n'ai pas encore suffisamment mûries; en présence d'une théorie d'une immense étendue, je cède au plaisir de vous communiquer quelques résultats placés à l'abord de questions difficiles et qui peut-être seront au-dessus de mes forces. Aussi me suis-je borné, comme application de ma nouvelle méthode de réduction, à calculer les formes définies réduites de déterminant i, à 3, 4 j 3, 6 et ^ variables, et j'ai trouvé, comme dans le cas des formes binaires, une seule classe, représentée par une somme de 3, 4, 5, 6 et ^ carrés. L'idée principale de cette méthode consiste dans l'introduction de certaines formes liées intimement, comme je suis parvenu à le reconnaître, aux formes adjointes de M. Gauss, mais qu'il me semble indispensable de considérer d'une manière explicite. En représentant par

SOUS la condition

une forme quelconque d'ordre n + i (c'est-à-dire k a -\- \ indéterminées), je les définis de la manière suivante :

Il n

en prenan t

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et voici le théorème auquel elles donnent lieu : Si la substitution

7?Zi

Al2

^fi^nj

change /(xqj x^^ . . ., ^/^) (?/i F(Xo, X,, . . ., X/^), en nommant G(Y^, Y2, . . ., Y,i) la forme d'ordre n déduite de F, comme g V est de f^ on aura

ê'(yuj2,'",7n) = G{Y,, Y2, ...,Y,0, en posant

; 72 == ^lYl+ ^2Y2H-...H- n;jY,„

yn= ^lYiH- ^2 Y2 -+-...+ ^„Y„.

Pour abréger, je nommerai g \di forme dérivée de f^ et (2) la substitution dérivée de (i). On trouve aisément que g est définie et positive, si / est elle-même définie et positive, que le déterminant de g est

Do = a?7,i D,

D étant le déterminant de /, et enfin que l'équivalence de/ et F entraîne celle de g et G, la seule condition pour cela étant que le déterminant relatif aux équations (2) soit en valeur absolue l'unité. De là se tire une conséquence importante ; concevons que la substitution dérivée soit prise de telle sorte que G devienne une forme réduite de son ordre, les coefficients M^, M2, . . ., M/^ resteront encore arbitraires; or, je dis qu'en posant

F(Xo, X„ X,, . . . , X„) = 2, 2 .A'vX/Xy,

on pourra les déterminer de manière à remplir la condition

Ao,f < .} -^0,0

pour /=^ I, 2, . . ., /z. Cela résulte, en efi'et, de la valeur suivante :

Ao.i — Mfao,o -1- iniaçi,i -\- nta^^'i H-. . .-H tia^^n,

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qu'il est facile d'obtenir, et on a d'ailleurs ao,o = Ao,o- H est essentiel d'observer qu'au lieu de «0,0? q^^i se conserve en passant de / à F, on aurait pu employer, dans ce qui précède, aussi bien l'un quelconque des coefficients a^^i}^ des carrés des variables. Soit donc, pour plus de clarté, g^ la forme dérivée composée avec ce coefficient; on pourra énoncer la proposition suivante :

Toute forme

f= Y.Y.ai,jXiXj

peut être transformée en une autre équivalente telle qu ayant, par exemple ,

la dérivée g'^ soit une forme réduite de son ordre, et que la condition

soit remplie pour toutes les valeurs de i autres que i= \k.

C'est là-dessus que se fonde l'algorithme de réduction des formes définies, quelle que soit la nature de leurs coefficients, entiers ou irrationnels, mais voici d'abord le but des opérations. Supposons que, précédemment, on ait choisi pour a^^^^ le plus petit des coefficients ai^i\ deux cas peuvent se présenter : ou bien a^^^ =3 ^jr^j ^ restera encore la plus petite des quantités a,^,- dans la transformée/^, ou bien il s'offrira un autre coefficient a^'^^'<C <^îx,5x- Or, dans le premier cas, toutes les autres conditions étant d'ailleurs remplies, f sera ce que je nomme une forme réduite. Mais, si c'est le second qui se présente, on poursuivra les opérations en partant de f\ comme tout à l'heure en partant de /, et, en général, on déduira successivement les unes des autres une suite de transformées

toutes équivalentes et telles que

<^(J.,{J., «{X',{X', «Î«,",JX", . . . , <^|^(1.)^ ^(fc) ,

désignant respectivement les plus petits des coefficients

^i,ii ^i^i-i ^i.i-) •••? <^/ fi

on ait

<^[x,tx > <^\L',\L' > <^H'",;x"- • • >

et que d'ailleurs les diverses dérivées

soient des formes réduites de leur ordre.

Or je dis qu\in tel système d'opérations ne peut se prolonger à l'infini, et qu'on obtiendra nécessairement une transformée

devant être considérée comme une forme réduite. En effet, partant d'une forme définie /, les quantités a^^^^ a'^'^^' seront des valeurs de/, en supposant aux indéterminées des valeurs entières, et l'on ne saurait former qu'un nombre limité de ces valeurs restant toujours inférieures à un certain maximum; donc on ne peut admettre l'hypothèse d'une infinité de quantités de cette sorte, continuellement décroissantes et, par conséquent, inégales.

Je vais maintenant faire voir que tous les coefficients ^/^y, d'une forme définie réduite £^ ne peuvent excéder certaines limites, qui dépendent du déterminant et du nombre des indéterminées. Pour cela, il faut d'abord établir la condition suivante :

qui est l'extension d^une relation obtenue dans la théorie des formes binaires.

Supposons qu'elle soit admise pour les formes réduites d'ordre /2, et désignons par exemple par ^Vq^o le plus petit des coefficients 5V/^/; la dérivée

étant une forme réduite de cet ordre, et son déterminant ayant pour valeur

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on devra avoir

Or la valeur générale

(4) ^ij ^^ ^0,0 ^i,J — ^0,i^O,J

donne, lorsque les deux indices sont égaux,

de sorte que les quantités positives Î3/,/ peuvent être considérées comme les déterminants, changés de signes, d'autant de formes binaires (^0,0? ^o,/? ^/,/) toutes réduites, car on a à la fois

donc, on peut poser

de là on conclut, l'inégalité subsistant pour toutes les valeurs de i,

et enfin d'après la relation (3)

Cette condition est par là démontrée dans toute sa généralité puisqu'elle a lieu pour les formes binaires.

Comme conséquence immédiate, on voit que les quantités ^/,/, %Q^i sont nécessairement limitées, et il en est de même encore du déterminant Dq de la dérivée, qui a pour valeur 21^"^ D. Cela posé, admettons que les formes réduites d'ordre n aient tous leurs coefficients limités ; je dis que la même chose aura lieu pour les formes d'ordre n -f- i • En efi'et, tontes les quantités ^ij devront se trouver finies; donc, d'après la relation (4), qui donne

il en sera de même en général pour ^ij- Or, la proposition à laquelle je voulais arriver résulte immédiatement de là, puisqu'elle

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a lieu pour les formes binaires, et, dans le cas des coefficients entiers, elle donne ce théorème ( * ) :

Les formes définies ou indéfinies , réduites pour un déterminant donné, sont en nombre fini.

Maintenant, voici une remarque essentielle pour l'application des principes précédents au calcul de ces formes. Soient toujours D le déterminant donné, et

l'une quelconque des formes définies réduites pour ce déterminant; la relation

'^0,0 ^1,1 -2V2,2« • • ^ii,n "^ ( ô ) ^

donne d'abord la limite

pour le plus petit des coefficients 5V/^/. Soit encore

la dérivée réduite, composée avec 5lo,o et dont le déterminant est

En désignant par l^^^ii le plus petit des coefficients 13/^^, on aura de même

Mais, d'après ce que j'ai observé ci-dessus, Bfj,,(jL peut être considéré comme le déterminant changé de signe de la forme binaire réduite (^o,oj -^o^sj.? ^tJ.,u)? donc on aura :

(') La démonstration suppose essentiellement que Ay o ne peut être nul, c'està-dire que la forme ne peut représenter zéro. Au reste, M. Hermite avait signalé ce cas d'exception dans une méthode de réduction analogue qui figure dans la Lettre précédente. E. P.

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i" Si 5lo,o est pair,

J^fx,^^^?,o-(¥5Vo,o)- ou àîKo', 2° Si 5^0,0 est impair,

Or, en général, soient £^ é, tl, B, ... la suite des formes d'ordre /i 4- I, n, n — I, n — 2, . . ., qu'on obtient en prenant, pour 6, la dérivée réduite de i?, pour îl, la dérivée réduite de 6, pour B, la dérivée réduite de HT, . . .. Nommons respectivement 51, 13, €, B, . . . les plus petits coefficients des carrés des variables dans ces formes, et D, Do, Doi, Dqoj ••• leurs divers déterminants. On aura d'abord

puis on obtiendra la série des limites supérieures

^<(ff'V"' »<(if"V«^' -<{ït'v^'

et, suivant les deux cas, l'une ou l'autre des limites inférieures suivantes :

|3^|iVS C^fOS iD^fC^, ..., ou

L'exemple des formes de déterminant i, que je vais traiter, montrera l'utilité de ces formules. Dans ce cas, on a en général

ainsi depuis les formes binaires jusqu'aux formes quinaires inclusivement, J2V <; 2, donc 21 = I , et, depuis les formes à six indéterminées jusqu'à celles qui n'en comprennent pas plus de huit, 5l<< 3, donc 5V= I ou 21 = 2. Or on va voir que cette seconde valeur doit être rejetée jusqu'à /i == '^ inclusivement.

Considérons d'abord les formes à siœ indéterminées; on trou^e :

1° Pour 21 la limite supérieure

= 2,o5. . ., donc 2V == 2 ;

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2"^ Pour B la limite supérieure

-j v/'-i* = 3,09. . ., donc 13 = 3;

3" Pour € la limite supérieure

(ô) v/'2^3^ = 7,01. . . , donc € = 7.

Il est inutile d'aller plus loin, puisque la valeur de € est en contradiction avec la limite

il faut donc exclure déjà dans ce cas la valeur J2V =r 2.

Passons aux formes à sept indéterminées; il viendra : i"* Pour % la limite supérieure

2,36. .. , donc 5t = 2 ;

2"" Pour 15 la limite supérieure

^^^ = 3,65..., donc 13 = 3;

3'^ Pour € la limite supérieure

n)^V^2'^ =7,5o..., donc C = 7(i);

pour la même raison que précédemment, J2V == 2 doit encore être rej été .

Donc, comme dans les cas précédents, il n'existe que la seule valeur J5l = i (-), et voici maintenant les conséquences qui s'en déduisent :

En premier lieu, pour toutes les formes définies de détermi-

(*) M. Stouff, en reprenant le calcul indiqué, trouve 8,56 au lieu de 7,5o et, par suite, C = 8, et il n'y a pas de contradiction avec la limite inférieure, qui est aussi égale à 8. Le théorème énoncé par M. Hermite resterait donc douteux pour les formes à sept indéterminées ; il est cependant exact, comme l'a vérifié M. StoufF en utilisant un résultat de MM. Korkine et ZolotarefT. E. P.

(-) M. Hermite arrivait encore au même résultat pour les formes à huit in- H. - I. 9

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l3o OEUVRES DE CHARLES ilERMITE.

nant i, dont le nombre des indéterminées ne surpasse pas 7, la dérivée réduite a encore l'unité pour déterminant. Soit donc

i = ^"L^ijXiOTj et 05 == 5:S|3/,y^/^y

une forme et sa dérivée réduites, toutes deux ayant l'unité pour déterminant. Admettons que, pour les formes (6, dont l'ordre est inférieur d'une unité, on ait

15^,/ = I et l3/,y = o lorsque i est différent dey ; les deux conditions

donneront d'abord

^0,/ = o, et l'équation

conduira successivement, pour i =^j et i différent de y, aux deux valeurs

:5V/,,- =1, iV/,y = 0.

Or les formes définies binaires réduites offrant la seule classe x^ +y- de déterminant i , on en conclut que, pour les formes ternaires, quaternaires, etc., jusqu'à celle de sept indéterminées, il n'existera pareillement qu'une seule classe représentée successivement par une somme de 3, 4? •- j 7 carrés.

Je n'essayerai pas, Monsieur, de vous développer encore d'autres applications particulières de ma méthode de réduction. Au reste, les formes réduites auxquelles on est ainsi conduit, pour un déterminant donné, n'offrent plus ce caractère, propre aux formes binaires, de ne pouvoir être équivalentes entre elles, à moins d'être identiques, aux signes près de certains coefficients; seulement, on peut démontrer que la limite du nombre des formes réduites équivalentes ne dépend que du nombre des indéterminées, et nullement de la valeur particulière du déterminant. Mais permettez-moi. Monsieur, de revenir un instant sur les circonstances remarquables

déterminées, mais il 3' avait une lacune dans sa discussion, et le résultat n'est pas exact. Aussi avons-nous supprimé cette partie du texte et, dans les lignes qui suivent, remplacé 8 par 7. E. P.

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LETTRES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. l3l

auxquelles donne lieu la réduction des former dont les coefficients dépendent de racines d'équations algébriques à coefficients entiers. Peut-être parviendra-t-on à déduire de là un système complet de caractères pour chaque espèce de ce genre de quantités, analogue par exemple à ceux que donne la théorie des fractions continues pour les racines des équations du second degré. On ne peut du moins faire concourir trop d'éléments pour jeter quelque lumière sur cette variété infinie des irrationnelles algébriques, dont les symboles d'extraction de racines ne nous représentent que la plus faible partie. Ici, comme dans la théorie des transcendantes, il a été facile de trouver à une longue suite de notions analytiques de plus en plus complexes une origine commune, une définition unique et complète où n'entrent que les premiers éléments du calcul; mais qiielle tâche immense, pour la théorie des nombres et le calcul intégral, de pénétrer dans la nature d'une telle multiplicité d'êtres de raison, en les classant en groupes irréductibles entre eux, de les constituer tous individuellement par des définitions caractéristiques et élémentaires!

L'exemple le plus simple auquel puisse s'appliquer ma méthode de réduction est celui des racines cubiques des nombres entiers. En désignant donc par a la valeur réelle, et par [3 et y les deux valeurs imaginaires de (/A, on sera conduit, d'après le point de vue auquel je me suis placé, à réduire pour toutes les valeurs de la quantité A, croissantes depuis zéro jusqu'à l'infini, la forme ternaire

dont le déterminant D == '-^ A- A-. Soit, dans l'hypothèse d'une valeur donnée quelconque de A, que je représenterai par A^, la substitution correspondante

X ~ m \ -^ Il Y H- /? Z ,

y = m' X H- /l' Y H- // z, z — m" X -^ 7i"\ -h /^"Z, en posant, pour abréger,

M(a) = m H- a7?i'H- a^w", N (a) = /i H- an'-+- a- zi", P (a) =/> h- a/?'4- a^^ M(p) = m-h f^m'-i- ^^m'\ N(p) = n-^^n'-h [B^/z^ P([3) ^ p -\- (^p'-{- ^^p" M (y) = m -i- -(m' -h y2 m% N (y) = n -h y ^'+ T^ '^" ^ (ï) = P -^ ^iP'+ T V

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l32 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

y deviendra

F = [XM(a) -f- YN(a) -^ ZP(a)]-2

-+-A[XM(p)-f-YN(P) + ZP(P)][XM(Y)-hYN(Y) + ZP(Y)].

Soit encore

l iîl = M2(a)-4-AM(P)M(Y),

(i) I t^ =:::N2(a)-f-AN(P)N(Y),

( 13 ^P2(a)4-AP(P)P(Y);

on aura, d'après le caractère principal des formes définies réduites,

imVKiîYT) ou <(4AA)2, d'où, en supposant Jl <C tl <C|3j

(2) M<(âA\)^, iîl2tl<(4AA)2, m^p<(^A^)\

Or de là résultent plusieurs propriétés essentielles que je vais d'abord établir.

En premier lieu, le nombre entier

Q-M(a)M(p)M(Y) vérifie la condition

iff^-^

car, d'après la première des équations (i), le produit des deux facteurs M(a), AM(;3)M(y) ne peut dépasser son maximum

|iîi\/(TîS),

d'où se tire la limite indiquée.

Secondement, les deux polynômes à coefficients entiers, savoir :

qui sont respectivement de la forme

<ï>(a) = 'f H- acp'-f- a^cp", W{oc) = ^ -h ol^' ~h ol^^\

ont de même leurs coefficients limités. En effet, on a, d'après les relations (i),

N(a)</S, AM(p)M(Y)<iîl,

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LETTRES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. l33

donc

A*(a)<iîlv/ïï,

etj par la seconde des équations (2),

et l'on aura de même

Soit ensuite, puisque ^ et y sont deux imaginaires conjuguées,

d'où

La seconde des équations (i) donne d'abord

AN(P)N(Y)<1îl; on tire ensuite de la première

M2(«)AM(P)M(Y)<iiîl2,

et l'on en conclut la limite

Ainsi on peut poser, en désignant par e et Tj des quantités comprises entre +1 et — i ,

4> ( a) = cp -i- acp' -h a2 cp'^ =: 4 A £,

<i>(Y) — cp + y^p'h- y^q" 2A'/;e-Ô^-i,

d'où

donc

3cp — 4 A (s -^- 7) cos6),

3cp' == 4 v/Â^[£ -+- '/^ cos(ô -+- 1 tt)] ,

3cp"z- 4 v/Â [s -}- r, cos(ô - I tt)] ;

et l'on obtiendrait des limites semblables pour les coefficients du polynôme W^ lesquels donnent lieu d'ailleurs à la condition remarquable

Cela posé, d'apèrs tout ce qui vient d'être établi, nous représenterons la transformée déduite de la substitution effectuée dans/,

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1 3 î OE U V R E s D E C H A R L E S II E R M I T E .

non plus par F, mais par == £^ forme évidemment réduite

en même temps que F et que j'écrirai ainsi

OU bien

L il il }

jVP(a) L il ^^ J L ^^ ii J

Or, A croissant d'une manière continue à partir de Aq, nommons A,, A2, A3, ... la série des valeurs auxquelles viennent successivement correspondre des formes réduites distinctes iF, i^^ , iFs? -i^s? • • •• Toutes ces formes seront comprises dans le même type que if, mais on peut concevoir que l'une quelconque d'entre elles soit obtenue au moyen de la précédente, en j introduisant la valeur de A, à partir de laquelle elle cesse d'être une forme réduite, puis lui appliquant la méthode générale de réduction. En procédant ainsi, le calcul relatif à la série entière des valeurs de A, est ramené à un nombre limité d'opérations. En effet, le nombre entier désigné d'une manière générale par Q, et les coefficients entiers des polynômes <ï> et W ayant des limites finies, on arrivera nécessairement à deux valeurs de A, A/ et Af, auxquelles correspondront deux formes, iF/, ir/, qui représenteront absolument la même combinaison de ces quantités. Faisant donc croître A, dans iF^', à partir de la limite A//, on verra se reproduire, dans le même ordre, les divers termes Si^i^ -^1+2^ ... de la suite obtenue pour le premier intervalle de A/ à A/', et, jusqu'à la limite extrême des valeurs de A, l'ensemble des formes réduites sera cette série d'un nombre fini de formes, reproduite une infinité de fois.

En la considérant d'ailleurs dans l'ordre inverse, elle offrirait le résultat d'un système d'opérations où l'on aurait fait décroître la quantité A d'une manière continue depuis A/' jusqu'à A/; l'ensemble des formes correspondantes aux valeurs indéfiniment décroissantes de A sera donc encore la même suite prolongée à l'infini dans un sens opposé.

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LETTRES SUR LA THEORIE DES NOMBRES. l35

Si ce n'est pas trop présumer de votre indulgence et si j'avais réussi à vous intéresser un peu à ces recherches, je m'estimerais hien heureux de vous adresser encore ce qu'il pourra m'arriver de rencontrer dans la même voie. Après avoir prouvé que les propriétés précédentes sont caractéristiques pour les racines de toutes les équations du troisième degré à coefficients entiers, je me suis arrêté à quelques recherches sur l'équation M(a) M(P) M(y) = i dont je pense obtenir la solution complète. Mais je désirerais surtout pouvoir vous soumettre un Travail sur les équations modulaires, dans lequel j'ai établi une proposition énoncée dans les OEuvres posthumes de Galois, imprimées dans le Journal de MalhématiqueSy et qui consiste en ce que les équations modulaires du sixième, huitième et douzième degré peuvent être abaissées respectivement au cinquième, septième et onzième degré. Je me suis proposé en même temps de retrouver ces relations si singulières que vous avez le premier découvertes entre les racines M^ M', M", ... de l'équation F (A-, M) = o, mais je n'ai pu j réussir malgré tous mes efforts. Ces premières propriétés d'irrationnelles algébriques, non exprimables par radicaux, me paraissent du plus grand intérêt; comme les propriétés des racines des équations relatives à la division du cercle, elles serviront de point de départ pour pénétrer plus avant dans la théorie générale des équations. Ne publierez-vous donc pas un jour, Monsieur, les principes si cachés qui vous ont conduit à ces beaux théorèmes? 11 me semble que ce serait encore une voie nouvelle que vous ouvririez aux recherches des géomètres, dans une des théories les plus vastes et les plus difficiles.

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ly6 ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

Troisième Lettre.

Je dois à l'obligeance de M. Borchardt d'avoir reçu votre dernière Lettre qui m'a été bien précieuse, en portant à ma connaissance l'écrit de M. Gauss sur les formes quadratiques ternaires. Permettez-moi de vous remercier aussi de toutes les autres indications que vous avez eu la bonté de me donner, mais dont mon ignorance de la langue allemande m'empêche malheureusement de profiter comme je le souhaiterais. C'est M. Borchardt lui-même qui a bien voulu me traduire l'article de M. Gauss, mais jusqu'ici je n'ai pu trouver personne pour me continuer le même service, et, à mon grand regret, je reste complètement étranger aux travaux de M. Kummer sur les nombres complexes, qui m'intéresseraient vivement.

Comme vous le savez, Monsieur, le bat de mes premières recherches avait été d'examiner le nouveau mode d'approximation que vous avez donné en établissant l'impossibilité d'une fonction à trois périodes imaginaires. Ce n'est que longtemps après que j'ai vu comment cette question, et une infinité d'autres du même genre, dépendaient de la réduction des formes quadratiques. Mais, une fois arrivé à ce point de vue, les problèmes si vastes que j'avais cru me proposer m'ont semblé peu de chose à côté des grandes questions de la théorie des formes, considérée d'une manière générale. Dans cette immense étendue de recherches qui nous a été ouverte par M. Gauss, l'Algèbre et la Théorie des nombres me paraissent devoir se confondre dans un même ordre de notions analytiques, dont nos connaissances actuelles ne nous permettent pas encore de nous faire une juste idée. Peut-être, cependant, doit-on entrevoir qu'il appartiendra à cette partie de la science, constituée ainsi sur ses véritables bases, d'offrir le tableau de tous les éléments, en nombre fini ou illimité, dont dépendent les racines des équations algébriques, séparées en jpes irréductibles et classés suivant leurs rapports naturels.

Je ne sais si j'aurai réussi à faire un premier pas vers un but si éloigné, en donnant une méthode pour la réduction des formes bi-

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LETTRES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. iSy

naires de degré quelconque (' ). J'essayerai plus tard de poursuivre, sous ce point de vue, les conséquences des résultats que j'ai obtenus, mais, jusqu'à présent, j'ai été plutôt préoccupé de la recherche des principes propres à la réduction des formes les plus générales composées d'un nombre quelconque de variables, question capitale et qui peut-être sera bien au-dessus de mes forces. Voici néanmoins sur ce sujet un premier théorème destiné à présenter, dans le sens le plus étendu, la notion des formes adjointes de M. Gauss.

Soit

(l) X=/(;ri, ^2, .-., OPn)

l^ expression générale d^ une fonction homogène du m^^^^^^ degré à n variables. Faisons

dX __ d\ __ dX

ctx \ doc 2 ctoc II

par V élimination de x^^ Xo^ • • -, x,i on arrivera à une équation

(3) 7r(X,jr,, 72, "",yn) = o.

Gela étant, les coefficients des diverses puissances de X seront ce que j'appellerai les formes des divers degrés adjointes à f(Xij .r2, . .., Xn), et je les désignerai généralement, en supposant égal à l'unité le coefficieut de la puissance la plus élevée de X, par

Or on aura le théorème suivant, comme conséquence immédiate de la définition qu'on vient de proposer :

La fonction homogène

devenant

F(Xi, X2, . . . , X„), par la substitution

Xi = «iXi H- «2^2 -^- • --r- <^n^n, 3^2 = ^1 Xi -h ^2 X2 -I- . . . H- On Xfi,

Cl ji^l — |— I2 -^Vg —H .

(^) Journal de Crelle, t. 36, p. 857, et p. 84 de ce Volume.

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l38 ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

si l'on désigne par G la forme adjointe^ composée açec les coefficients de F, comme g est composée avec les coefficients de fy on aura

en prenant

Yi = a^yi -i-èi72+.---f-/ir/o Y2 = a^yi-^ h^y^ + . . . -f- l-iya,

Y,i= aayi -\- hnYt +. . .-H Inyn-

Mais il importait surtout d'obtenir le résultat général de l'élimination des variables x^^ x^^ ..., Xw, entre les équations (i) et (2). Voici comment on peut j parvenir :

Soit

une nouvelle fonction homogène du nt^"^"^ degré de ^i, ^2? •••? ^/z j

j'observe que, au mojen des équations proposées, les suivantes ont

lieu, savoir :

dxi ' dx-i " ' * ' * ' dx,i ~~

Elles se réduisent en effet à des identités, en mettant à la place de X, d'une part, et de y^^ y2, . . -, JK/^ de l'autre, leurs valeurs en x^j X2^ . . ., Xn, telles que les donnent les équations (i) et (2). Donc la question est ramenée à l'élimination de Xi, x^^ ...^Xa entre les équations homogènes

dxi ' dx2 ' * * ' dXfi '

car l'équation cp = o rentre dans celles-là, et on peut l'omettre.

Ainsi, représentant la forme / par la somme des valeurs du produit

lorsqu'on attribue aux quantités i tous les systèmes de valeurs entières et positives qui vérifient la condition

i\ -H ?2 -f- . . . + in — 771,

LETTRES SUR LA THEORIE DES NOMBRES. loQ

et désignant par

la relation entre les coefficients A qui résulte de l'élimination de Xi, Xoj . . ., ^,i entre les équations

df df df

dxi ' dx^ ' ' ' * ' dxji '

on aura le théorème suivant :

Uéquation

s'obtiendra en remplaçant A/^^/^, ...,/^, dans

par

[i^ , /o? • • -5 in) étant le coefficient numérique de y\y'^ . . .jkJ" dans le développement de la puissance poly no miale

On observera seulement qu'il y aura lieu de supprimer comme facteur étranger une certaine puissance de X, ce qui n'altère en rien la forme analytique du résultat que je viens d'obtenir.

L'application aux formes quadratiques est bien simple. La forme proposée étant

1 1 sous la condition ordinaire

la forme adjointe g sera

D étant le déterminant de la forme /.

Je prendrai encore comme exemple les formes cubiques binaires

f zzz ax^ -+- 3 bx-y h- 3 cxy- -f- ey^.

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Dans ce cas, l'expression désignée par £ coïncide avec le déterminant unique de la forme, tel que je l'ai obtenu dans la théorie de la réduction , et le coefficient du second terme de l'équation en X donne la forme adjointe

I (dÉ ^ d& , di „ d£ £ \da db '^ de -^ de'

= -[{ aé^- — 3 hce -h 2 c^ ) ^r^ — 3 ( ace — ^b^e -\- bc'^) x'^y

H- 3('2ac2 — abe — b^c)xy^ — {^Zabc — a'^e — ib'^)y^\.

En étudiant cette forme que je trouve dans un des Mémoires de M. Eisenstein, j'ai reconnu qu'elle se déduisait de f^ en y remplaçant les variables par les deux expressions linéaires

dA> d^

dx dy

$ étant l'expression quadratique

{ac — b-)y^ — {ae — bc)xy -\- {be — c^)^;^,

considérée encore par M. Eisenstein, et par moi-même dans la JNote àw Journal de Crelle^ sous la forme

a, [î, Y étant les racines de l'équation

ax"^ 4- 3 bx'*- H- 3 c:p -h e = o.

Maintenant, Monsieur, je reviens à la théorie des formes quadratiques, pour essayer de vous compléter quelques points de la dernière Lettre que j'ai eu l'honneur de vous écrire. Et d'abord, j'ai dû reconnaître que ce qu'on devait se proposer avant tout, dans la théorie de la réduction, était de découvrir les valeurs entières des indéterminées pour lesquelles une forme définie donnée était la plus petite possible. De là, en effet, se tireraient les conséquences suivantes :

1° En cherchant la série des minima de la forme binaire

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LETTRES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. lîl

pour toutes les valeurs positives de la quantité A croissant d'une manière continue de zéro à l'infini, les diverses fractions — représenteraient V ensemble des réduites de la fraction continue équivalente à a.

2" En cherchant de même la série des ininima de la forme ternaire

k{z — axf -\- B{y — bxy-^- — - ,

où A et B sont deux quantités positives quelconques^ a ei b deux quantités réelles, toutes les fractions - > — auraient ce caractère essentiel qu en choisissant un dénominateur x ^^ moindre que x^ deux autres fractions, — ? — ? donneraient nécessairement

^ ' Xq Xq

k{zç^~ ax^,Y-\-'^{yçi — hxçsY > h.{z — ax^ ^ B(jk— ^^)^ Car, si cette inégalité n'avait pas lieu, l'expression

A(.So — ^^o)--i- B(^ro— hx^y-\- -^ serait moindre que

k{^z — axy- ^ B(r — hxf H- — ;

donc cette dernière ne serait pas, comme on l'a supposé, un minimum.

Cela étant, si l'on observe qu'on peut toujours faire

et a fortiori

on voit que, en faisant croître continuellement A, la série des fractions^» — converge indéfiniment vers les limites a et 6, et que,

pour chaque approximation, la somme des carrés des erreurs - — ax^^y -— bx, multipliés par les constantes A et B, est un minimunij c'est-à-dire que cette somme augmente, si le dénominateur commun x diminue.

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l42 OEUVRES DE CHARLES II ERMITE.

Ce qui précède indique suffisamment une infinité d'autres conséquences analogues, qui toutes viennent dépendre de la recherche difficile d'une limite précise du minimum d'une forme définie quelconque. Là-dessus je ne puis former qu'une conjecture. Mes premières recherches, dans le cas d'une forme à n variables de déterminant D, m'avaient donné la limite

je suis porté à présumer, mais sans pouvoir le démontrer, que le

coefficient numérique (- Y doit être remplacé par , ^ -•

Gomme application des mêmes principes, je considérerai encore la question suivante :

Étant donnée une expression imaginaire a-\-b\J — i : déterminer les entiers complexes

pour lesquels la norme de

soit la plus petite possible, sous la condition que x'^ + J " soit au-dessous d\ine certaine limite.

On cherchera les minima successifs de la forme à quatre variables

f z=z i^ax — hy — ty -\- {^ay -\- hx — u)- -^

pour toutes les valeurs de A; les diverses fractions complexes

auxquelles on parviendra ainsi, jouiront de cette propriété caractéristique que le module de la différence

a-\-h sj — 1 —

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croîtra nécessairement en prenant toute autre fraction dont le dénominateur aurait un module moindre.

Mais une autre propriété de ces fractions les rapprochera encore davantage des réduites de la théorie des fractions continues. Soient

t -^ u v/ — I ^0 -1- wo v^ — i

deux fractions différentes qui correspondent à deux mlnlma consécutifs de la forme /, de sorte que les deux valeurs de A qui ont donné lieu à ces deux fractions soient Infiniment peu différentes l'une de l'autre. Alors, en observant que le déterminant de /"est en général -~, le premier minimum donnera, en admettant la conjecture ci-dessus,

{ax — by — ty-^{ay^ hx -^ uY -\- ^--~^^^ <; A ±,

et le second

ri ^ '>- »

(aa^o — by^ —t^y-h (ayo -h bx^ — UoY -h —-—'— < XF

03 désignant une quantité aussi petite qu'on voudra. Gela posé, multiplions ces deux inégalités, membre à membre; on trouvera, en employant une formule bien connue (^),

} {ax — by~t) {axo — by^ — ^o) + {^f -\-bx—u) (ay^ + bx^ — Uq) -h ' ' '^ " ' - (

{ v/A(A-4-co)\

— {ax — by — t ) (o/o -t- bxç^ — î^o) + («^o — ^J^o — ^o) ip'y -\-bx~ a) -^ ^— ■ — ^

( (v^A-f- to — /a) \a(yyo — XX(^) -f- b (xpy -I- .ryo)-f-fo.r — ^/q r] H- y/A (uy^^— ?/o.r-+- fpx— x^t) j" j V/Â(A ^^^ )

( (v/A-hco — v/Â) \a (yxo + ^To ) -^ <^ (^^o—yro) — t^y - Uo x\ -{- v/'Â(7ro — ^o.r -f- ^^^o~ ^^o-^) Y

"^ /^ y/A ( A -h t7) ' d'où, en négligeant les deux premiers carrés et introduisant Ja

(^) La formule d'Eiiler, qui donne sous la forme d'une somme de qualre carrés le produit de deux sommes de quatre carrés, suit immédiatement de ce que le

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l44 OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.

condition que w est infiniment petit^

et, par conséquent,

( uyo — f^oj^ + toX — Xoty^-^{ tyo — «oj -+- ^^-^o — i^o^)^ = i •

Ainsi, la norme du numérateur de la différence de deux fractions complexes consécutives est V unité; on eût obtenu Vanité ou le nombre deiix^ en employant dans l'expression du minimum de/

le facteur ItA au lieu du coefficient hypothétique ^ (* ).

La méthode précédente s'applique encore aux nombres complexes X -\- y sj — /? , dont la théorie est plus difficile et sur laquelle

produit des deux déterminants {ad — bc), (a'd' — b'c') est le déterminant du système

[aa' -h bc\ ab' -i- bd' 1 ca' -T- dc'^ cb' -î- dd' J

En effet, il suffit de supposer

a — p -\- q sj— I, b ~ r -\- s \j~ i, c = — /• + 5 sJ — i, d - P — q \/— i, a' ~ p' + q' \J—i, b' — r' -{- s' \j— i^ c' — ~ r' -\- s' s] — i, d' — p' — q'sj—^

pour obtenir

== ( pp'— ç^'— '''"' — ^^' )' + ( pç'-^ qp' -+- '"*' — 5'"' )-