pr —qs' + /•/>'+ ^7')'-+ (/>-^'h- qr' -i- p' s — q' r
Celle de Lagrange vient en mettant ^ y/A, /V^? ^v^AB, ... au lieu de q, r, ^
(^) M. Hermite a repris cette question dans un Mémoire ultérieur en se servant des formes quadratiques binaires à indéterminées conjuguées, et démontré rigoureusement que la norme est bien égale à un.
On doit remarquer que la limite hypothétique ^.^. " - y D admise par M. Her-
\/' n -Y- J mite est trop faible. Pour n = 4^ elle ne donne déjà plus la limite supréieure du minimum. En effet, cette limite est alors, d'après MM. Korkine et Zolotareff, v/2 y^D^ et c'est là une limite précise que Ton ne peut abaisser. Comme ^2 surpasse jj^) la limite hypothétique est trop faible. Si l'on reprend le calcul ci-dessus, V5
en remplaçant — par v/2, on retrouve d'ailleurs le résultat de M. Hermite, qui se trouve alors aussi complètement établi par cette voie. E. P.
je me propose de revenir. Mais ce n'est qu'an mojen de la réduction de formes de degrés plus élevés qu'on pourra résoudre les questions analogues à la précédente^ dans lesquelles entreraient les nombres complexes 7'éels x -^ y \J n et ceux qui dépendent d'irrationnelles numériques plus compliquées que les radicaux carrés.
Voici maintenant une autre série de questions importantes dont la solution dépend encore de la recherche du minimum d'une forme quadratique et qu'on peut comprendre dans cet énoncé général :
Ti'ouver, en nombres entiers^ le minimum du produit dhin certain nombre de fonctions linéaires et homogènes, à coejfficients réels ou imaginaires.
Nommons les fonctions linéaires à coefficients réels,
g-U gu ..., gn'': hu ll-l, ..., fin'
les fonctions à coefficients imaginaires, gi et A/ étant des fonctions conjuguées. Si l'on suppose que leur produit prenne la plus petite valeur possible en attribuant aux indéterminées les valeurs entières X = cTfl, yz=yç^^ . . ,, et qu'on désigne alors par
ce que deviennent les facteurs linéaires réels, et de même par
ryO 7. 0 . o-O 7. 0 . o- 0 , 7.0,
6 15 '' 1 7 6 2' '^2 : • • • î é n ■) 'Itl 1
les diverses couples de facteurs conjugués, je dis cjue la forme cjuadratique
J 1 / \,/ 2 / \J ti / S i"' i b l'^l b n' 'Ifî'
sera elle-même la plus petite possible pour x = .^o, y = i'^, ... Supposons, en effet, qu'on puisse avoir
rù
f\l \fll '" \fV ^^\hi-^ g\h\~^-'"^'Jfrnf,
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M étant moindre que /z + an'; comme le produit des facteurs
sera toujours inférieur à son maximum
la supposition de M <; /^ H- 2 n' conduirait à
et, par suite, le produit des facteurs linéaires ne serait pas, contre l'hypothèse, le plus petit possible pour .r = ^o? JK =JKoj •••• J'ajoute qu'en faisant M = n 4-2 /î^e produit (a) ne pourra atteindre son maximum ou l'unité qu'autant qu'on aura
A\^, (flY--.. Ifn
6 1 '*■! é 2 '^^2 o II' ''-n'
Nous voici donc encore conduit, comme vous le voyez. Monsieur, à cette recherche singulière de tous les minima, d^ une forme quadratique, correspondant aux divers systèmes de valeurs de plusieurs paramètres qu' il faudra supposer passer par tous les états possibles de grandeur. Telle est du moins la voie qui nous est ouverte, par l'analyse précédente, pour la solution de nombreuses questions, parmi lesquelles je choisirai celle-ci :
(j^ [cl) désignant un nombre entier complexe, composé avec une racine a de V équation F(^) = o à coefficients entiers, celui du premier terme étant Vanité^ trouver toutes les solutions de Véquation
Norme (p(a) = i.
Soit M un minimum d'une quelconque des formes définies
"^ Kf '^^ K| +---+^ K|^ '
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dans lesquelles a, , ag, . . . , a.^ désignent les racines réelles, et |3i , y< ; P27 Y2; • • • ; ^n'i yn' les couples des racines imaginaires de l'équation F(^) = o. En faisant, pour abréger, n-\-2n'^=: m, on déduira de la limite
où D est Je déterminant de ^, la relation suivante :
Norme Y^(a)<(^j- ,
dans laquelle A représente la valeur absolue de l'expression
F'(aOF'(a,)...F'(P„0F'(Y,0, et où n'entrent plus les valeurs de A^, A2, . . ., K^, K2, ....
Donc, quelles que soient les quantités Ai, A2, . . ., K,/, le minimum de 0 conduit à une valeur toujours limitée pour la norme de cp(a); mais ce qui a été établi précédemment fait voir, de plus, qu'en faisant passer Ai, A2, . . ., K^, Ko, . . . par tous les états possibles de grandeur, on obtiendra nécessairement toutes les unités complexes^ toutes les solutions de l'équation
Norme cp(a) =: i.
Considérons une solution particulière telle que N cpo(a)= i , elle sera donnée, par le minimum de cp, dans l'hypothèse suivante :
L?o(3^i)J L?o(a2)J **■ ' L?u(a/OJ
?o(pi)To(Ti) " ?o(3/^')To(Y/^')
Mais ne pourrait-il pas exister deux ou plusieurs autres représen tations distinctes du même minimum et conduisant, par suite, à de nouvelles solutions?
Observons, à cet effet, qu'on a les conditions
LTo(^i)J ' L?o(a2)J ' '**' L?o(a/OJ
To(Pi)yo(ïi) ' "■' To(P«')?o(T/.')
déjà établies précédemment, de sorte qu'en supposant l'équation
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l.iS OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
F(.^)==o irréductible, si Ton prend ç(a,) = cpo(a,), la même équation aura lieu pour toute autre racine réelle ou imaginaire, et il en serait de même en partant de la condition cp(a^) = — cpo(a,). Or, le premier cas conduit nécessairement à ^ = ^o? JK =JKo? • • •? ^^ le second à ^ =: — Xq^ y=z — y^^ ....
Mais, si toutes les racines étaient imaginaires, la démonstration serait en défaut; dans ce cas, on est conduit à détacher de l'ensemble général des solutions un certain nombre d'entre elles qui olFrent ce caractère singulier de donner lieu à des entiej^s complexes dont le module analytique est U unité. Ainsi du minimum de la forme
on déduira non seulement
?(?i)-?o(.3i), ?(Ti)-?o(Ti), ..., ?(M-=?o(?,^'X ?(ï..') = ?o(>'). mais encore
9(^,0 =. cpo(?.)4^(?.'), ?(>') - ?o(t.O^(T.').
les nombres entiers complexes A satisfaisant aux conditions suivantes :
et l'on pourra en faire abstraction puisqu'ils peuvent être déterminés d'avance. J'ai trouvé, du moins, quils ne pouvaient être que de celte forme, savoir :
k et L étant entiers, l^e dénominateur / est sans doute égal au nombre in^-\- i, mais je n'ai pu encore suffisamment approfondir toutes ces circonstances qui me paraissent bien singulières.
Quoi qu'il en soit, les considérations qui précèdent établissent qu'on n'aura jamais à rechercher qu'une seule représentation, en nombres entiers, de chacun des minima distincts, donnant lieu à une unité complexe, qu'offrira la forme <î>, lorsque les quantités
Ai, A2; ..., kn, Kj, K2, ..., K/,'
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LETTRES SUR LA THEORIE DES NOMRRES. 1 jQ
passeront par tous les états possibles de grandeur. Mais, une fois amenés à cette nouvelle recherche, il faut recourir à la théorie de la réduction des formes quadratiques quelconques. Je vais, avant tout, définir ce que /appelle réduire une forme donnée {^).
Soient/ cette forme, Q^f'tf'^ ...la série entière de toutes celles qui lui sont équivalentes, et que je représenterai, d'une manière
générale, par
/^^.^.«yV^^'^/'
en supposant que les coefficients des carrés, rangés par ordre croissant de grandeur, soient
Cela étant, nous subdiviserons, progressivement, l'ensemble de toutes les formes équivalentes, en réunissant dans un même groupe :
1° Toutes les formes où a^^^ a la plus petite valeur possible;
^o Parmi celles-ci, toutes celles où «2,2 est également un minimum ;
S"" Parmi les précédentes, celles où «3^3 est encore un minimum ; et ainsi de suite, de telle sorte qu'après avoir épuisé la série a^ ,, ^2,2? • • -, cfn.n on arrive à une ou plusieurs formes dont les coefficients des carrés sont nécessairement les mêmes.
Ces formes offrent un caractère essentiel qui consiste en ce que toutes les expressions quadratiques
(a/,-, atj, ajj)
sont réduites. On peut établir qu'on a la limite
a étant un coefficient numérique ne dépendant que du nombre n des variables; mais je ne m'arrêterai pas à la démonstration.
Revenons au dernier groupe de formes équivalentes auquel nous venons de parvenir, il pourra être subdivisé de nouveau, d'après la
(^) Il est clair, d'après les opérations indiquées, qu'il s'agit seulement ici de formes définies. E. I^.
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f5o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
grandeur des déterminants
en réunissant ensemble :
1° Toutes les formes où A|^2 sera le plus petit possible;
2° Parmi ces dernières, toutes celles où A^^3 est également un minimum;
3^ Parmi les précédentes, celles où A^ ^/, est encore un minimum ; et ainsi de suite, de telle sorte qu'après avoir épuisé la série
on passe à la suivante
puis à celle-ci
et Ton continuera jusqu'à ce qu'on soit arrivé, en dernière analyse, à une ou à plusieurs formes offrant des valeurs numériques égales, pour toutes les quantités A/^y.
Mais il est évident qu'alors les valeurs absolues des coefficients a.ij sont pareillement les mêmes. Or la forme unique qu'il faudr^i définitivement choisir pour réduire s'obtiendra par la considération des déterminants ternaires
en opérant comme on a fait précédemment avec les fonctions A/^y. Les formes réunies en dernier lieu, offrant les mêmes valeurs des diverses expressions A/^y^;^, deviendront identiques {^\ en rendant positifs par exemple, comme cela est toujours possible, tous les coefficients a^^t.
Réduire une forme donnée/, ce sera donc chercher la transformation de cette forme en la réduite équivalente telle qu'elle vienl d'être définie. Cette réduite, comme vous le voyez. Monsieur, n'es! pas celle à laquelle conduit la méthode que j'ai eu l'honneur de vous soumettre dans ma dernière Lettre. Il y aura donc lieu d'es-
(^) Si certains des coefficients a^.{i = 2,3, ...^n) étaient nuls, on n'obtiendrait pas nécessairement ainsi l'identité des deux formes, mais il est facile de combler cette lacune de manière à avoir toujours une réduite unique. E. P.
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LETTRES SUR LA THÉORIE DES NOMRRES. l5l
pérer une nouvelle substitution, mais jusqu'ici je n'ai vu d'autre moyen à employer que celui qui est indiqué par l'analyse précédente et qui consiste à former la série entière des formes aux plus petits coefficients des carrés. Seulement, il est facile de démontrer que leur nombre a une limite indépendante du déterminant et qui est fonction uniquement du nombre des indéterminées.
Dans le cas des formes ternaires, les réduites jouissent d'une propriété qui mérite peut-être d'être remarquée, car elle ne me par ait pas s^ étendre aux formes contenant un plus grand nombre de variables. Elle consiste en ce que toute forme ternaire réduite o[x^ y-) ^) prend une valeur moindre, en diminuant celle des variables dont la valeur absolue est plus grande.
çp z=z ax- ~\- a' y- -+- a" z"^ -i- ibyz -H ib' xz + -ib" xy.
En supposant quelconques les signes des coefficients ^, b' ^ V\ on peut admettre que les indéterminées sont positives. Or, en supposant x^y^ ^^ ^, on prouve aisément la proposition énoncée (^), dans chacun des quatre cas qu'oflrent les signes de V et 6'^, au moyen des équations identiques
?(^- ï.J, z) — ^Xx,y, z)
— — 2(^ — i) (a -h b" -^ b') -\- ib" {x — y — i) -f- ib\x — z — i) — a = — ^{x — i)(a-h b') — ib" y -^ ib' {x — z — \) — a = — -i^x — i) {a ~\- b" ) ^ 1 b" {x — y — i ) — Q.b' z — a = — i{x — i)a — ^b"y — ib' z — a,
les quatre expressions précédentes correspondant aux quatre cas
Je reviens maintenant à Ja recherche de toutes les représentations distinctes des divers minima de la forme quadratique
+ ' K| +^ Kl -^•••-^ ^î, '
( ^ ) Il peut y avoir un cas d'exception, auquel ne s'applique pas d'ailleurs la démonstration de M. Hermite; c'est celui dans lequel les trois variables ont leurs valeurs absolues égales à l'unité. E. P.
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l52 COUVRES DE CHARLES HERMITE.
correspondant à tous les systèmes possibles de valeurs de Ai, A2J . . ., K^i , K2J ....
Dans cette forme, les quantités o(a) sont les valeurs d'une expression telle que
en supposant a, l'une quelconque des racines de l'équatior,
dont le degré n + 2/z^ est toujours désigné par m. Cela posé, soit pour un système déterminé de valeurs des quantités A et K,
la substitution propre à réduire <ï>. En posant, pour abréger,
(a)/ = ai -4- ai^/ -4- a^ c^ -4- . . . -f- a'"~^ //, 6(a) r=:j'o(a)o 4-J'i(a)i H- -H 7/;,i ( :t ;,,,! ,
la transformée réduite sera
-i- 1 rr^ r 2 — -^^ -h ... -h '2 tj^ •
Kl Wl Wk'
Mais on peut l'écrire d'une autre manière.
Soit yo celle des indéterminées dont le carré a le plus petit coefficient, et posons
N = (ai)o (a2)o. . .(a„)o( Pi)o(ïi )o- • • (!3a.')o(>')o,
N il est clair que, a désignant l'une quelconque des racines, sera
un polynôme à coefficients entiers en a, et qu'il en sera de même de
que je désignerai par ^/(a). Or, de la valeur-limite du produit des coefficients des carrés des indéterminées dans toute forme réduite, telle qu'elle a été indiquée plus haut, on déduit facilement, que
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LETTRES SUR LA THÉORIE DES NOMRRES. l53
tous ces polynômes J>/(a) ont pour coefficients des nombres entiers ayant aussi des limites finies. Il en est de même d'ailleurs de N, comme on l'a vu précédemment d'une manière spéciale. Donc, transformant ainsi les fonctions '^(a), savoir :
4>(a)= -^ [7oN+jiJ;,(a)-l-7ot];2(a)-t-...-+-7,;e i^,;^-i(a)],
et posant
NA, - Af N^K^ K^^'
l'expression de 'i» devient
et c'est là le type analytique (') auquel je voulais arriver pour y rapporter toute forme réduite. Le nombre de ces types, comme ou le voit d'après le caractère des fonctions -/(oc), est essentiellement fini, et c'est là un résultat qui ouvre la voie à un nouvel ordre de recherches destinées, si je ne m'abuse étrangement, à jeter un grand jour sur la nature si inconnue des irrationnelles algébriques.
Et d'abord, on en déduit immédiatement une démonstration directe de la possibilité de V équation cjue je me suis proposé
de résoudre, sas^oir
Norme cp(a) = i.
En effet, on a pour cela le tliéorème : Que lorsqu\ine substitution
«^0 J^O "^ -^'l JKi -i- . • --^ ^ni~\y iiL-ï^
correspondant à un système différent de valeurs c/e A, , A^, . . ., K,, K2, ..., conduit au même type réduit ^F, le nombre entier
(') D'après M. Hermite deux de ces types sont les mêmes lorsqu'ils ne diffèrent entre eux que par rapport aux quantités A' et K'. Jacobi.
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l54 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
complexe représenté par le déterminant des quantités
^0 qi ..• qm-\,
Sq 6*i ... S„i — \^
aura pour norme V unité.
J'ai trouvé aussi : quHl suffisait d'' obtenir le système des substitutions propres à réduire la forme <ï> dans un intervalle fini des quantités A et K, les substitutions correspondant à toutes les autres valeurs de ces mêmes quantités se déduisant de celles-là.
De là on déduit que toutes les solutions de l'équation
Norme ©(a) = [
peuvent s'obtenir par un nombre limité d'entre elles, convenablement choisies, mais d'autres considérations mènent à la même conséquence. Je vais les indiquer en restant dans le cas particulier qui me les a fait découvrir.
Désignons par a la racine réelle, et par [3 et y les deux racines imaginaires de l'équation du troisième degré à coefficients entiers
Soient aussi ^p et A deux unités complexes de la forme
je dis que de ces deux unités en résulte une troisième dont elles sont V une et Vautre des puissances entières. Posons, en effet,
m, n, /7Zo, Uq étant quatre nombres entiers tels que
mriQ — nniQ = i, on aura réciproquement
De deux choses l'une : ou l'on pourra faire par exemple <ï> = i, et le théorème est démontré : ou bien au moins 4>==:^", s étant
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LETTRES SUR LA THÉORIE DRS NOMBRES. l55
moindre que l'unité et n pouvant prendre une infinité de valeurs différentes. Or, ayant toujours norme 0 = 1, on conclurait qu'il existe une infinité de solutions de cette équation dans lesquelles la valeur de l'unité complexe réelle et celle du module analytique des deux unités conjuguées imaginaires seraient aussi voisines du nombre i qu'on le voudrait, ce qui est absurde.
Une méthode toute semblable m'a conduit à démontrer que, dans le cas des trois racines réelles, toutes les unités sont les produits des puissances de deux d'entre elles qui ne sont pas réductibles l'une et l'autre aux puissances entières d'une troisième, et il ne me paraît pas difficile d'étendre les mêmes considérations au cas le plus général.
Quatrième Lettre.
La dernière Lettre que j'ai eu l'honneur de vous écrire était à peine partie que j'ai eu communication, par M. Liouville, d'une Note tirée des Comptes rendus de votre Académie, et dans laquelle vous traitez de la réduction des formes quadratiques, à coefficients entiers, sous un point de vue qui ne se serait jamais présenté à mon esprit et qui m'a vivement intéressé. Le résultat plein d'élégance auquel vous arrivez par une méthode si simple m'a fait rechercher si, dans ce nouveau type de formes réduites, il y avait encore possibilité d'obtenir des limitations des coefficients , fonctions seulement du déterminant.
En particulier, j'ai considéré les formes définies ternaires
f =z ax^ -4- a'y^ -H a" z^ -{- i hyz -^ 'ib' xz -^ i b" xy^
dans lesquelles, d'après le principe de votre méthode, il faut faire par exemple
(o désignant le plus grand commun diviseur de b et b\ déterminé
par l'équation
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l56 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
On obtient ainsi la transformée
OÙ' l'un des rectangles des indéterminées a disparu.
Gela posé, si les coefficients de Jet forme proposée sont limités, cm moyen dit déterminant D, il en sera de même des coefficients de la transformée. En particulier, % peut s'écrire
%= ~ (ab'--{-a'b'^ — ibb'b")=^ - (aa' a" — a" b"'' — D), aj2 oj^
^^ aa a
Or on peut ensuite supposer
en déterminant convenablement [3 et ^' dans l'équation
ou, ce qui est au fond la même chose, en changeant dans la transformée ^ en ^ + m^r\. Quant à la limite du dernier coefficient %' ^ elle se tire de l'équation
%%'—'t^ = aa'— b"K
En revenant aux premières considérations qui m'avaient fait entrevoir, il j a longtemps, l'importance de la recherche du minimum des formes à un nombre quelconque de variables, j'ai été conduit à présenter de la manière suivante les idées que vous avez le premier émises sur l'impossibilité de certaines fonctions périodiques.
Soient, pour les fonctions d'une seule variable,
trois indices quelconques de périodicité, je considère la forme définie ternaire
f — {ax -\- a' y -h o!' zY -^ {bx -\- b' y -^ b" zY -^ —^■>
dont le déterminant
f ab' — ba!
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LETTRES SLR LA THÉORIE DES NOMBRES. iSy
Si ab' — ba' n'est pas nul, et que les deux équations
ax -4- a' y -\- o!' z — o, hx -h h' y -\~ h" z = o
ne puissent être vérifiées pour des valeurs entières de x^ y et z^ la fonction sera impossible. Car pouvant faire, pour toute valeur de A,
et, a fortiori,
{ax --f- a y -h a" zf- -+- {bx -\- b' y -+- //' z'f- < y^'iD,
on déduirait des indices proposés une période dont le module serait infiniment petit. Mais cette conclusion n'a plus lieu si aU — ba! = o. Alors je considère la forme binaire
f — ( ax -\- a' y j- ^ {bx -\- b'y)'- -\- '-— •>
dont le déterminant, dans l'hypothèse admise, se trouve être
Or il est maintenant facile de prouver ^we lorsque ab' — ba'^=o l'on ne peut même admettre les deux périodes
a ^ b \J — 1 et o! -^ b' s/ — j, si on les suppose irréductibles, c'est-à-dire si les équations
ax -f- a y = o, hx -\- b' y = o
ne peuvent avoir lieu en nombres entiers. On peut faire, en effet, pour tOLite valeur de A,
et, a fortiori,
■ «>)' -^{hx-+- b'y Y- < i/^ D,
{ax -
ce qui conduit de nouveau à une période infiniment petite.
Les fonctions de plusieurs variables à périodes coexistantes que vous avez introduites le premier dans l'analyse, peuvent être traitées parles mêmes principes.
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Soient
ai-^hi\J — 1, Ci^disJ — I, ..., A-/-H // y/— 1,
n indices simultanés de périodicité correspondant, respectivement, aux variables
dans une fonction telle queir(^, j/, . . ., «/), je dis que si le nombre de ces groupes d'' indices, supposés irréductibles, surpasse in ^ la fonction proposée sera impossible, dans ce sens qu^on sera forcé d^ admettre un groupe dHndices simultanés infiniment petits.
Faisons, pour abréger,
le déterminant D de la forme
sera, comme on le trouve aisément,
Iai bi . . . ki II
jj = — aet. ^ - ^
^111 t>2n • • • 1^211 t-in
et la conséquence que je voulais obtenir découle, comme précédemment, de la relation
à laquelle on peut toujours satisfaire quelque grand que soit A.
Si Ton suppose que le déterminant qui entre dans l'expression de D s'évanouisse, la démonstration n'est plus applicable, mais la proposition n'en a pas moins lieu, et l'on obtient ainsi le premier terme d'une série de nouveaux cas d'impossibilité dont voici les conditions analytiques.
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Soit, pour abréger,
3ii =: ^1 ^1 H- «2^2 ~+" • • • ~+" <^2fl-\-i—l^in-\-l—h
Mi = kl Xi -4- /C2^2 H-. . .H- /C2Ai+l-/^2«+l-?j
et soit D/ le déterminant de la forme
Si l'on suppose D/^ nul, on trouve que A^D/ s'obtient en faisant la somme des carrés de tous les déterminants que fournit le système
«1, 6i, .,., Al, /t,
^"2ti—ii b^fi^i^ . . . , k^ji—i^ l^n—i)
en employant, d'une manière quelconque, in — i lignes verticales. Or, toute fonction périodique de /i variables sera impossible lorsque, ayant in — i groupes de périodes simultanées irréductibles, savoir :
JÀ = 2 Aî — /
le déterminant D/ de la forme /f, composé avec ces indices, s'annulera. En effet, on arrivera à un système de périodes simultanées infiniment petites, en considérant dans la série des formes
yi'+ij fi-^ii •••5 f'iti-ii
la première de celles dont le déterminant ne s'évanouit point. La dernière d'ailleurs est dans ce cas, car on trouve aisément
D2^-i = ^, {a\ ^h\-\-...-^k\-^ il).
L'analyse que je viens d'employer s'applique à une question bien différente, à la théorie des unités complexes les plus gênéraies, et donne ce théorème :
Soit m! le nombre des racines réelles et des couples de racines imaginaires d'une équation irréductible à coefficients
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l6o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
entiers et dont le premier coefficient est V unité, si L'on a m' unités complexes quelconques, formées avec les racines de cette équation, elles peuvent toujours s'exprimer par les produits des puissances entières, positives ou négatives, de m' — i autres convenablement choisies (^).
Nommons
les racines réelles de l'équaLion proposée, et
Pi, Ti; P2, T2; ... : P/i', T^:'
les divers couples de ses racines imaginaires. Soit encore
cp^-(a) = «/+ a 6/ -H y^Ci-\-. . .-f-a'«-i 1/ une unité complexe quelconque, et
log9jr(a)= (a)/,
F(a)— ^i(a)i -+- ^2(^)2 -V. . .-^^/«'(a)//z'. r(?, Y) = :ri((3, Y)i -+- :r2(P, 7)2 -4-. . .-4- ^,„'( p, 7),,-
je dis qu'il est toujours possible de déterminer, pour^,, ^2, .••? ^^i', un système de valeurs entières, positives ou négatives, telles qu'on ait
(i) F(a) = o ou coY^{^x)ol''(cc)...ol^-\a)=i.
Cette condition d'ailleurs aura nécessairement lieu à la fois pour toutes les racines, réelles ou imaginaires, puisqu'elles appartiennent, par hypothèse, à une équation irréductible.
Supposons, en effet, l'équation (i) impossible, et voyons quelles conséquences vont s'ensuivre.
(1) Le théorème complet, savoir : Quit y a effectivement^ dans tous les cas, jji' — I unités complexes indépendantes pai^ les produits des puissances desquelles on peut représenter toutes les autres, est un des plus importants, mais aussi un des plus épineux de la Science des nombres. La démonstration rigoureuse de ce théorème a été donnée par M. Lejeune-Dirichlet dans les Comptes rendus mensuels de l^ Académie de Berlin du 3o mars 1846. Voir aussi ceux d'octobre i84i et d'avril 1842, et une Lettre du même auteur à M. Liou ville. {Journal de Mathématiques, t. V; i84o.) Jacobi.
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En premier lieu, deux systèmes distincts de valeurs entières des indéterminées, ^,, ^o, . . ., Xjn'-^ ne donneront jamais la même valeur de F (a). Car, ayant, par exemple,
on en déduirait
(^1— JKi)( a)i -h (372—^2) (2()2 + ...-!- (a7,;i'—jr;,,') (a),,,' = o,
c'est-à-dire une solution de l'équation (i), ce qui est contre l'iivpo thèse admise.
Gela posé, je considère la forme quadratique
F-F2(p„YO + Fn?2,T2)H-.. H-FH?.', .0 + FHa0 4-F2(a2)+...-f-FHa.0 + 5'.
dont le déterminant est
(^,ïi)i
(Pi,T02
"^ ^''1 (?i,Ti)i (Pi,Ti)2 ... (Pi,Ti)m'-i
et je le supposerai d'abord différent de zéro.
Dans ce cas, si je cherche les minima de la forme F, pour des valeurs indéfiniment croissantes de A, il est clair qu'en posant
F(a) = log^n^^) et, par suite,
F(p,Y) = log<ï>(.3)cî>(Y),
j'obtiendrai une infinité d'unités complexes, 4>(a), toutes différentes, d'après la remarque précédemment faite, et dont les valeurs absolues réelles, ainsi que les modides des valeurs imaginaires, seront aussi voisins de l'unité qu'on voudra. Or on aurait de la sorte /n' fonctions linéaires et homogènes, à 111! indéterminées entières, qui seraient susceptibles de prendre une infinité de valeurs H. - I. II
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l62 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
numériques inégales et comprises dans un intervalle limité, ce qui est absurde.
Lorsque le déterminant D sera différent de zéro, on peut donc satisfaire par des nombres entiers à l'équation
Cela posé, je fais
ri(a)i4-j2(a)2-4-...4-rm'(a),,,' =:logY(a), Z] (a)i -1-^2(3^)2 -^-.- --H ^m'(^)m' == logZ(a),
^1 (a)i-j- c^2(a)2 -f-. . .-f- (■'m'(a);;,' = logV(a),
les nombres entiers jk, ^, . . ., p étant pris de manière que le déterminant relatif à ces équations linéaires et à la précédente soit l'unité. Il est clair qu'on pourra tirer de là les valeurs des m^ unités '^/(a), exprimées par les produits des puissances entières de Y(a), Z(a), ..., V(a), qui représentent d'autres unités complexes, au nombre seulement de m^ — i.
Il me reste à examiner le cas où le déterminant de la forme F est supposé s'évanouir. Soit alors
F/(?, T) - ^i(?, T)i +- M?. ï)2 +. . .-i- ^,.'-z(3, Y)..'-/, et soit D/ le déterminant de la forme
F, = F; ( p,, yO + F; ( ^„ Y2 ) -I- . . . + Fj ( ^.^,, y^O -HFj(aO + F](a2)+...-f-F;(a,0-^.
Si l'on suppose D/i nul, on trouve, tout à fait comme précédemment, que A^Di s'obtient en faisant la somme des carrés des divers déterminants que fournit le système
(aOi (0^2)1 ." K-l)l (Pl^ïOl (1^2,Y2)l ... (?n-r(n')i
01)2' («2)2 ... (a/l-l)2 (?nYl)2 (?2, Y2)2 ... (?//', Y/^')2
{^])m'-\-i ('^2)m'-i-i "- {.'^n-\)m'-\-i (^^i , Yl)w'-1-/ (p2, Y2)//i'-l-i ... i.^n'i^(ii')ni'-i-i,
en employant m! — i — i lignes verticales. Considérant donc dans
la série des formes
Fi, Fo, . . ., F/,; '-2,
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LETTRES SUR LA THÉORIE DES NOMBRES. l63
la première de celles dont le déterminant ne s'évanouit point [et la dernière est toujours dans ce cas (*)], on obtiendra absolument les mêmes résultats que ceux auxquels nous sommes parvenus tout à l'heure, puisque le déterminant D/ devient d'une petitesse arbitraire pour des valeurs suffisamment grandes de A.
Je ne sais, Monsieur, si ces résultats et la méthode que j'ai employée sont connus, et nommément s'ils se trouvent déjà dans les travaux de M. Kummer, que vous avez eu la bonté de m^indiquer. M. Liouville sans doute les publierait de suite dans son Journal, si nous pouvions trouver un traducteur, et ce serait pour moi en particulier un grand plaisir de prendre connaissance de ces recherches d'après ce que vous m'en avez écrit. L'introduction du nombre complexe, auquel M. Kummer donne le nom d^ idéal y m'intéresserait surtout au plus haut degré.
P . S. L'expression des unités complexes au moyen d'un nombre déterminé d'entre elles donne lieu à une remarque essentielle et que j'ai omise, lorsque les racines qui entrent dans leur composition sont toutes imaginaires. L'analyse que j'ai employée conduit alors de nouveau à isoler celle de ces unités dont le module analy tique est un, si toutefois il en existe. C'est au resté le même résultat auquel je suis parvenu par une tout autre voie dans ma dernière Lettre.
( ' ) II faudrait excepter le cas où les unités complexes considérées auraient leurs modules analytiques égaux à l'unité. E. P.
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SUR LLNTRODUCTION
DES
Journal de Crelle, tome 41.
Amené depuis longtemps, par des recherches sur la théorie des fonctions elliptiques et abéliennes, à diverses questions d'Arithmétique transcendante, je viens offrir aux Lecteurs de ce Recueil quelques-uns des résultats auxquels je suis parvenu, et les principes de la méthode que j'ai suivie. Ces résultats sont relatifs surtout aux nombres complexes, considérés en général, ou plutôt à la théorie de certaines formes décomposables en facteurs linéaires et dont on verra plus bas la définition. Pour la méthode, son principal caractère consiste dans l'introduction, par un procédé général et très simple, de variables continues, qui font dépendre les questions relatives aux nombres entiers des principes analytiques les plus élémentaires. C'est là surtout ce que je me suis proposé de faire ressortir avec évidence, en revenant même sur une des théories exposées avec tant de profondeur et d'élégance dans les DlsquisLtiones arithmeticœ (la distribution en périodes des formes de déterminant positif), pour la présenter sous un nouveau point de vue. Quant aux questions nouvelles que j'ai essayé de traiter, je suis loin de les avoir approfondies autant que je l'aurais souhaité; aussi je demande l'indulgence du Lecteur pour ce que mon travail aura d'incomplet, espérant par la suite y revenir et le perfectionner.
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VARIABLES CONTINUES. l65
On connaît toute l'importance du problème général, dont l'objet est de distinguer si deux formes sont équivalentes ou non, et de trouver dans le premier cas toutes les transformations de l'une dans l'autre. Je m'occuperai, sous ce point de vue, des formes quadratiques définies, à un nombre quelconque de variables, et des formes binaires de degré quelconque, pour présenter d'une manière nouvelle ce que j'ai déjà dit dans le Journal de C relie, tome 46. J'essayerai ensuite de fonder la théorie des nombres complexes, sur l'étude d'une série particulière de formes, que je définis de la manière suivante :
Soient
/( Li ) = II" -+- A w"-i H- B iift-^- -|-...-4-K^^^-L = o
une équation irréductible à coefficients entiers, et
cp^-( u) = nxi M,"-i -4- Pi u"-- + . . . -t- r/ ït -h 5/
une fonction entière de ?/, à coefficients entiers : l'expression
Norme [Xcpi (t/) H- Ycp2(M) -h . . . -4- Vcp,i(M)]
sera évidemment une fonction homogène et à coefficients entiers
des n variables, X, Y, . . ., V. Je nomme encore A le déterminant
du système
mi pi ... ri Si
"^n Pn " ' rn S
Gela étant, j'assimilerai à l'ensemble des formes quadratiques de même déterminant toutes les expressions
4> = 1 Norme [Xoi{u) ^Y o,{u) -^ . . .^Yon(u)],
dont les coefficients se réduiront à des nombres entiers. Ainsi il faut concevoir que la fonction /(u) ne changeant point, on attribue à A la série indéfinie des valeurs entières, puis qu'on prenne.
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pour chaque valeur de A, tous les systèmes de nombres entiers m, /?,..., ^, qui donnent à la norme le facteur A. Distribuer en classes distinctes toutes les expressions <ï>, obtenues de la sorte, sera la question fondamentale d'une théorie analogue à celle des formes quadratiques binaires à facteurs réels, et qui indique sous quel point de vue j'envisage l'étude des nombres complexes.
La définition précédente peut être simplifiée en observant que toute forme <ï> a une équivalente, dans laquelle le système
'^2 Pi
Ti Si
I fn,i pn, ... Va S,
dont le déterminant a pour valeur A, est remplacé par le suivant ;
Si
Les nombres entiers, désignés par les lettres g^ h^ , . .. /, sont positifs et vérifient toutes les conditions
et l'on a toujours
ooi Ô2 . . . ô/j i = A.
Ainsi, pour chaque valeur de A, on voit qu'il n'existe jamais qu'un nombre fini d'expressions $, distinctes. Mais je m'occuperai tout d'abord des formes binaires qui offrent, dans des circonstances analytiques plus simples, l'application des mêmes principes.
La théorie connue de la réduction des formes quadratiques de déterminant négatif, étant le point de départ des recherches que je vais exposer, je le résumerai en peu de mots.
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i^ Toute forme
f — ax'^ -i- 2 hxy -h c/^ ^
de déterminant négatif
a une équivalente
F:= AX^-+-2BXY+GY^
où le coefficient moyen 2B est, en valeur absolue, inférieur à A et C. Considérons en effet, l'ensemble des transformées déduites de / par la substitution
37 — /;iX -+- /^^o Y, y — /iX + /io Y,
m, n^ nioj n^ étant des entiers tels que
mria — niQ ji — i ;
puis réunissons dans un même groupe toutes celles où le coefficient de X^ est le plus petit possible, et choisissons dans ce groupe la forme où le coefficient de Y^ est lui-même un minimum : cette transformée remplira les conditions énoncées.
Pour le prouver, il suffit de faire voir qu'on ne peut supposer itz 2B > A, puisque A est évidemment le minimum absolu de /', pour des valeurs entières des indéterminées, et ne peut surpasser C ;
or on en conclurait
A=p2Bh-G< g, et la substitution
changerait F en
A(- X'-j- Y')^- q= 2BY'(- X'-h Y') -h GY'2
^ AX'2 -h2(=hB — A)X'Y'-f-(Aip'2B + G)Y'2,
transformée équivalente, où un coefficient moindre pour Y- est associé avec le même coefficient de X^.
Les formes obtenues par la méthode qui vient d'être indiquée se nomment formes réduites, et il est évident que, pour une classe donnée, on a au plus deux réduites, qui ne diffèrent que par le signe du coefficient moyen.
2"^ Les conditions
±2B<A, ±2B<G donnent
