B-2< AG
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l68 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
d'où l'on tire, à cause de D = AG — B^*, les limitations suivantes :
B2<iD, AG<|D.
On en déduit immédiatement que les formes à coefficients entiers de même déterminant peuvent être distribuées en un nombre limité de classes, puisqu'elles ne donnent qu'un nombre limité de réduites distinctes.
3^ Les conditions
sont complètement caractéristiques des formes réduites. En effet, supposons, pour fixer les idées, B positif et prenons
les équations identiques
montrent qu'on diminue la valeur numérique de la forme en diminuant d'une unité celle des deux indéterminées dont la valeur absolue est la plus grande. On conclut de là que A et G sont les deux premiers minima de F, pour des valeurs entières des indéterminées; le troisième minimum est A — aB-f-G. Gette démonstration de la proposition énoncée est due à Legendre; je me suis servi de la propriété importante des formes réduites sur laquelle elle se fonde, dans ma recherche du minimum d'une forme ternaire définie, pour des valeurs entières des indéterminées, dont l'une est supposée égale à l'unité.
Gomme première application des résultats précédents, considérons la forme suivante :
dans laquelle a et A sont des quantités réelles quelconques; soient
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sa réduite et
y ^ ^X -h /lo Y
la substitution propre à l'obtenir. La condition AG <C|L) donne, pour le coefficient minimum A, la limite y/f t) ; on a d'ailleurs
D == -? A== {jn — anf--^ - •
donc : Pour une valeur donnée de A, on peut toujours déterminer deux entiers m et n^ tels qu^on ait
Or de là se tirent plusieurs conséquences : 1^ Le produit des deux facteurs [m — anY et — étant toujours inférieur à son maximum, savoir :
on aura a fortiori
ou
an < — - .
On a d'ailleurs à la fois
donc, on peut approcher indéfiniment d'une quantité quelconque a par des fractions — ? de telle sorte que l'erreur a soit toujours
moindre que =•
2* Les deux entiers m et n donnant, pour une certaine valeur de A, le minimum de /, on ne saurait avoir deux autres nombres entiers m\ n' ^ tels que n' soit < /z el [m' — an)- <^(m — anf\ donc, m — an représente un minimum absolu de la fonction linéaire X — ay^ relativement à toute valeur entière de ^ et à des valeurs entières de y qui ne surpassent pas n. Donc encore — ap-
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proche plus de a que toute autre fraction de dénominateur moindre, car l'hypothèse n^ <in entraînant {m! — an^Y > (/n — an)- on en déduit immédiatement
S'' Laissant de côté la recherche complète de tous les minima de la fonction a, ces minima étant relatifs à des valeurs en-
tières de ^ et à des valeurs entières de y^ inférieures à une limite donnée qu'on fait grandir indéfiniment : je considère deux minima consécutifs de/, auxquels correspondent deux systèmes distincts ^ =: m, y = ^, puis X = m^, y = n^ ,
On devra concevoir deux valeurs infiniment voisines de A, auxquelles appartiennent successivement les deux systèmes, de sorte qu'en désignant par S une quantité infiniment petite, on ait
( '«'- '^"-'r- + rr—Y^ < r— 3 \/i
(A-t-ô)2 ^ A + ÔV 3'
en mettant la seconde inégalité sous la forme
£ étant encore infiniment petit, et multipliant membre à membre, il viendra
[/ x/ ^ ,x nn'l^ / mn' — nin'Y^ 4 ^ /Z
{'n-an){m-an)+—^ +( 1 ) < Jli ^ i\/ ^
On en conclut, en négligeant s vis-à-vis des quantités finies.
{mn' — mil Y < ^>
et, par suite.
Cette relation prouve, entre autres choses, qu'étant données trois
m m' m" tives, — ? — 7^ — ^) on aura cette ^ n n n
m — km! ziz m, n!' ~ kn' ± /i,
fractions consécutives, — ? — 7^ -r? on aura cette loi de formation : ^ n n n
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k étant entier. On peut toujours, en effet, supposer deux inconnues, A", /, définies par les deux équations
ni!' — km' -\- Ini^ n" = knJ -\- Irij
lesquelles donnent
, m" n — Ji" m'
mil' — m' n '
le numérateur ayant, aussi bien que le dénominateur, l'unité pour valeur absolue.
Ce qu'on vient de voir, sur l'approximatian des quantités par des fractions rationnelles, était connu parla théorie des fractions continues; en faisant dépendre ces résultats de la seule notion de formes réduites de déterminant négatif, j'ai eu pour but de donner un premier exemple de l'emploi d'une variable continue dans une question relative aux nombres entiers, et aussi de faire voir comment cette longue chaîne de vérités, propres à l'Arithmétique transcendante, se lie dans l'origine aux éléments de l'Algèbre. La recherche complète des conditions d'équivalence de deux formes de déterminant négatif se présenterait, maintenant, comme conséquence des résultats qui viennent d'être obtenus^ mais je ne saurais pour cela que reproduire l'Ouvrage même de M. Gauss. Laissant donc de côté les propositions importantes qui se rapportent à l'équivalence propre et impropre, aux formes ambiguës, j'arrive à la théorie des fonctions homogènes, telles que
f{Xj y) = ŒqX^ -\- a^x^—^y -+-...-(- an^^xy^^'^ h- any'K
1° Désignons par x -\- cf.y les facteurs linéaires réels, et par X -f- Pjk, ^ -f- Yjr les facteurs imaginaires conjugués de la forme proposée, de telle sorte qu'on ait
{x -+- cL^y) {x -f- pijv') (^-+- Yir)- "{x -^ Pv7) (^ + Tvr) et
composons ensuite, avec ces facteurs et avec des quantités réelles,
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^^ , ^2? • • -j ^^M ^^27 • • •? la forme quadratique définie
-\- iii\{x-\- Pi7)(a7 + Yi7) + .. .^iul{x + PvJK)(^ + Tv7)-
Cela étant, on concevra qu'on calcule la suite indéfinie des substitutions propres à réduire cp, lorsque les variables t et u passent par tous les états possibles de grandeur. Chacune de ces substitutions, faite dans/, donnera une certaine transformée; nous désignerons leur ensemble par le symbole (/). Or une première observation consistera en ceci :
f et Y étant équivalentes, (/) et (Y) seront composés des mêmes formes.
Pour le démontrer, soit
X = m X H- mo Y, y = nX -i- rioY la substitution qui change / en
F = AqX'^ 4- Al X«-i Y -^ ...-+- A„^i XY/'-i + A;, Y''^ ; posons
niQ -{- ol71q mo -f- p n^) /??o H- Y ne, ^
m -{- oLfi /?! -I- p n m
on aura
F==Ao(X + njY)...(X-i-aj,^Y)(XH-biY)(X-+-CiY)...
(X + bvY)(X-f-CvY),
et la forme quadratique <ï> composée avec F, comme o avec /, sera
* = T?(X -H aiY)2 4-. . .+ Tâ(X -4- aj,Y)2
-^2U^(X-+-biY)(X-f-ciY)+...H-2U?,(X + bvY)(X + CvY).
Cela posé, si l'une des formes de (/) a été obtenue en faisant dans/ la substitution propre à réduire c:), lorsqu'on j suppose, en général,
je dis que la même forme se trouvera dans (F) et aura été obtenue en réduisant $ dans l'hypothèse
Soient, pour abréger, P la substitution qui transforme / en F
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et Q la substitution propre à réduire cp ; on vérifiera d'abord immédiatement que, par la substitution P, cp devient <ï> : donc, réciproquement, par la substitution inverse P~% <ï> devient cp, de telle sorte enfin que cp et <ï> se changent en une seule et même forme réduite par les substitutions Q et P~^ Q.
Maintenant ces deux substitutions, faites respectivement dans/* et F, donnent une même forme, la substitution inverse P~^ ramenant tout d'abord F à /.
Il est ainsi prouvé que toutes les formes de (/) sont dans (F); la réciproque est évidente, car on peut raisonner de F à y absolument comme on l'a fait de ./ à F; (/) et (F) sont donc 'identiques.
i"" C'est parmi les formes dont l'ensemble a été désigné par (/) que nous choisirons une réduite pour représenter la classe entière à laquelle appartient/; dans ce but, nous allons établir quelques résultats préliminaires.
Soit, pour un système déterminé de valeurs de t et u^
;r = /n X -h /?2o Y, y =:^ nli -\- n^Y
la substitution propre à réduire cp; en conservant les notations précédentes la transformée réduite ^ sera
cî> = T:f(X H- ai Y)-2 +...-!- T^(X -+- aj,Y)2
H-2U?(X-HbiY)(X-4-CiY)-4-...-4-2UUX-hbvY)(X-f-CvY),
les quantités T et U ayant pour valeurs
T2 = r-{7n4- an)2, U2= u^{m-v- ^n){m -\- ^n).
La transformée déduite de /, par la même substitution, sera également représentée par
F = AoX'^ -h AiX'^-i Y -f-. . .-^ A,,iXY'^-i -u A,, Y'^ ==.Ao(X-i-aiY)...(X + aj;,Y)(X-i-b,Y)(X4-CiY)...(X-t-bvY)(X-+-CvY).
Soit encore, pour abréger,
^^ PX2 + 2QXY-r-I\Y2,
de sorte que
..H- Tjj. + ^\]\ -H..
..-}- 2UÎ -P,
.-i-a^Tp,-f-2biCiU^-+-..
, .+ 2bvCvU? = R.
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On pourra faire, en général,
aT = cp/R» v/(bc)U = ^v/R;
les quantités to, rs d'une part, cp, i de l'aulre, donnent les équations correspondantes
. .-h 2T57,; = I, -H '-Oq^ -h 2 'J> J -H . . . -4- 2 •]>;; = T .
Enfin, nous remplacerons l'équation unique
par les deux suivantes
bU = ']>v/Re^">^, cU -= t};/Re~'^,
X étant l'argument de l'imaginaire b. Gela posé, nous transformerons comme il suit l'expression en facteurs linéaires de F. Multiplions les facteurs réels X-haY par T, et chacun des facteurs imaginaires conjugués X + bY, X + cY par U; on aura d'abord
TiT2,..Tj^U?U^..Uv'F = Ao...(TX + aTY)(UXH-bUY)(UX-t-cUY)...;
puis, en introduisant les quantités co, w^ cp, ^^ et représentant, pour abréger, T^ T^ . . .Tj,U?U^ . . .U; par (TU),
F = -^-- . . .(oJ v/PX -4- cp v/R Y) (m y/PX -f- e^^ ^ /RY) {m /PX + e-^')^ ^ /^Y) . . .
Or telle est l'expression de F à laquelle nous voulions arriver; par une simple raison d'homogénéité on en déduit cette conséquence importante, savoir :
Le produit de deux coefficients de F, également éloignés des extrêmes, s^ exprime de la manière suivante :
A2(PR)i'^
la quantité désignée par (i) dépendant seulement de to, rjr, cp, i) et X.
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On a, par exemple ,
3° Cette quantité (i), qui est évidemment réelle, a une valeur numérique essentiellement limitée, et dont le maximum s'obtient, quel que soit i', en annulant les arguments X, et, en faisant
on obtient aiasi la limite
^'^<^\ r.^iTTÂ
Je pense pouvoir supprimer la démonstration, qu'on trouvera sans peine.
4*' Il n'a point été introduit jusqu'ici que la forme quadratique <ï>
fût réduite. Or cette condition donne, en représentant par D le
déterminant PR — Q-,
