TU
et, en premier lieu, à chercher comment elle dépend des variables ^, u restées entièrement arbitraires. J'observe à cet effet qu'on a
Ao — fijn, n) = ao{m ^ ai n).. .{m -^ oc^n) (m -h ^in) (m ~h ^(in). . . On a posé d'ailleurs
et l'on en déduit immédiatement que
(TU)2 (tuy
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En second lieu, le déterminant PR — Q^ de O peut être remplacé par le déterminant de cp, où n'entrent que les variables t etu; on a ainsi
{tuY
Telle est donc la fonction de t^ u et des qualités propres seulement à la forme f^ et qui sert à limiter les coefficients de toutes les formes contenues dans (/).
5^ Il importe de bien voir comment cette fonction 9 est liée ana- Ijtiquement à la classe entière des formes équivalentes à /. A cet effet, considérons une transformée quelconque F, déduite de/" par
la substitution
X — m X H- niQ Y, y =^ n\ -{- n^Y .
La fonction 6, relative à F, s'obtiendra en remplaçant dans 9 les
quantités
do, a, p, Y respectivement par
Ao, a, b, c.
Mettons encore à la place des variables t et u^ de 6, d'autres lettres T et U; cela fait, je dis que 6 et 6 coïncideront en prenant
Effectivement, on trouvera comme tout à l'heure
Aq ^5
(TU)^ ~ {tuy'
D'autre part, ainsi qu'on l'a établi précédemment, la forme quadratique <ï>, composée avec F, de même que cp avec /, savoir :
<ï>=.T|(X4-aiY)^+...+ T^(X-f-a^Y;2-4-2Uf(X-4-biYj(X + CiY)-f-...
ou bien, dans l'hjpothèse admise,
41 ^ t\{m-^ ai/i)'-2(X-4- ai Y )2 +...-!- tl^(^m -\- ajj^n)5(X+ a^j^Y)- 4-...
se déduira de 'o par la substitution
^ = mX-f-77ioY, JK = /^X -4 /2o Y;
donc les déterminants de ces deux formes seront les mêmes; donc
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le rapport établi entre les variables de 6 et celles de 6 rend ces deux fonctions identiques.
De là se tirent deux conséquences importantes.
Premièrement : Les fonctions 9 et 6, relatives à deux formes équivalentes / et F, prennent les mêmes valeurs lorsque les variables passent par tous les états de grandeur, et ont même minimum. Ce minimum sera pour nous la définition du déterminant de la forme binaire de degré quelconque.
Secondement : Les formes quadratiques cp et <ï>j déduites de deux formes différentes f et F, avec les valeurs de t el u d'une part, T et U de l'autre, qui donnent le minimum des fonctions 6 et 6, deviendront équivalentes en même temps que /et F. Ainsi, <ï> se déduira de cp, par la même substitution que F de /. Pour rappeler cette propriété, nous appellerons, dorénavant, la forme quadratique o la correspondante de f.
Les considérations précédentes nous conduisent à nommer formes binaires de même déterminant l'ensemble des fonctions homogènes de même degré, pour lesquelles le minimum absolu de la fonction 9 aura une même valeur. Nous donnerons aussi le nom de réduites d'une forme / à la forme unique, ou aux formes de l'ensemble (/), qui correspondent à ce minimum de 8. Cela étant, on établira facilement ces propositions :
1° Les formes équivalentes ont les mêmes réduites.
Supposons que le minimum de la fonction 9, relative à /, s'obtienne pour les valeurs
if — T, w = u ;
le même minimum de la fonction 6, relative à une transformée équivalente F, déduite de/, en faisant
correspondra aux valeurs
Or il a été démontré plus haut que les formes de (/) et (F) cor-
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respondantes à des valeurs de /, u^ T, U, liées de cette manière, étaient précisément les mêmes.
Cette proposition fait dépendre l'équivalence de deux formes, de l'égalité absolue entre les réduites, ou les groupes de réduites qui leur correspondent.
2^ Les formes à coefficients entiers, de même déterminant 0, se distribuent en un nombre fini de classes.
Toutes ces formes ne donnent, en effet, qu'un nombre limité de réduites, car ces réduites étant représentées par
F = AoX^^-^AiX'^-iY-f-...-KA,,iXY«-i-HA,,Y'S
on a, pour toutes les valeurs du nombre entier /, de zéro à /z, la limitation
Pour première application des principes qui viennent d'être exposés, nous considérons les formes quadratiques à facteurs réels. Alors la fonction ^, comme on le voit immédiatement, est indépendante des variables ^^, t^ et se réduit à l'expression connue du déterminant. On a alors l'exemple unique dans les formes à deux indéterminées, mais qui se reproduira dans la suite de ces recherches, et un peu plus étendu, d'un nombre infini de réduites pour une forme donnée. Effectivement, les variables t^^ t^ restant arbitraires, les réduites d'une forme /donnent l'ensemble désigné par le symbole (/), et il s'agit maintenant de les obtenir par la réduction continuelle de la forme définie cp, lorsque les variables passent par tous les états de grandeur. Pour employer les notations habituelles, nous poserons
f =z a^2| '2,bxy -\- cy^ = «(^h- ay) (a; -f- oc' y); on aura
et, en introduisant dans cp le rapport (— ) ? qui y figure seul au fond,
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de sorte que l'ensemble (/) des réduites s'obtiendra en faisant dans/ toutes les substitutions propres à réduire cp, lorsque 1. varie d'une manière continue de zéro à l'infini.
En restant dans le cas général, où les coefficients de / sont des quantités quelconques, nous nous fonderons d'abord sur l'observation suivante :
1° Concevons qu'on attribue aux indéterminées de o tous les systèmes possibles de valeurs entières ; soient considérés toutefois comme distincts deux systèmes, tels que x, y et — x^ — -y^ et qu'on range par ordre croissant de grandeur les valeurs obtenues.
On aura ainsi une suite qui dépendra de la valeur de X, et que nous désignerons par le symbole ().); en ayant soin, si plusieurs systèmes des indéterminées reproduisaient une même valeur de cp, de les réunir pour les comprendre dans un même groupe.
Cela étant, faisons croître "k d'une manière continue de zéro à l'infini positif, et cherchons comment s'introduisent des changements dans l'ordre des termes de l'ensemble (X). J'observe à cet effet que tous ces termes sont des fonctions continues de );, de telle sorte qu'en passant d'une valeur déterminée Xq à une autre infiniment voisine, Xo + <3?X, on n'altérera jamais l'ordre de deux termes consécutifs, tant que leur différence sera une quantité finie. Mais supposons que les groupes formés de la réunion de deux ou plusieurs termes offrent, pour la valeur particulière Xq, des valeurs numériques égales; on voit clairement que deux termes réunis pour l = Xo auront d'abord été séparés, puis auront interverti leurs rangs, en passant d'une valeur un peu inférieure à une valeur un peu supérieure à Xq. Car, en représentant X par une abscisse, ces deux termes seraient les ordonnées de deux droites qui, après leur intersection, changent de position relative par rapport à l'axe des œ.
C'est donc toujours en devenant égaux que deux termes consécutifs échangent leurs places pour entrer dans une suite nouvelle. Avec cette observation bien simple, l'opération arithmétique de la réduction continuelle de cp, pour toutes les valeurs positives de X, de zéro à l'infini, devient facile à saisir, comme on va le voir.
2^ Prenons pour point de départ une transformée déduite de cp, dont les coefficients extrêmes soient inégaux. Ces coefficients représenteront, comme on l'a établi, les deux premiers minima
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l8o OEUVRES DE CHARLES HER MITE.
de cp ; donc, lorsque X, croissant d'une manière continue, atteint la limite au delà de laquelle une nouvelle réduite vient s'offrir, l'une ou l'autre de ces deux circonstances aura nécessairement lieu. Ou bien le troisième minimum deviendra égal au second, puis le remplacera, ou bien les deux premiers minima deviendront eux-mêmes égaux et intervertiront leur ordre. Le premier cas pourra d'abord se présenter plusieurs fois de suite, mais le second finira nécessairement par arriver ; car, à moins d'être indépendant de )v, un même terme ne pourrait toujours être le premier minimum. Il est évident d'ailleurs qu'il n'aura lieu qu'une seule fois; ce qui conduit à le considérer d'une manière particulière. Nous nommerons donc réduites principales les formes de (/), auxquelles correspondent des réduites de o dont les coefficients extrêmes sont égaux; toutes les autres recevront le nom à'' intermédiaires. Cela posé, lorsque, \ croissant d'une manière continue, une transformée réduite de cp cesse de l'être, par suite de l'échange du troisième minimum avec le second, la substitution propre à obtenir la réduite suivante sera nécessairement
ou son inverse
l^^n effet, le coefficient de X^ reste égal au premier minimum, et celui de Y- est bien le troisième, en employant la première ou la seconde substitution, selon que le coefficient moyen sera négatif ou positif. De la même manière on obtiendra donc ainsi toute réduite intermédiaire de '(/) au moyen de la réduite précédente. En second lieu, si une réduite de cp cesse de l'être, par suite de l'échange des deux premiers minima, on aura la substitution
Mais alors on sera parvenu à l'une des réduites principales de (/), que cette substitution changera en son associée opposée. Et en continuant les opérations, on verra de nouveau s'offrir une suite de réduites intermédiaires, puis une réduite principale suivie de son associée opposée, et ainsi jusqu'à l'infini. Nommons, pour abréger, P et Q les substitutions
x = X-hY, 7 = Y et ^ = Y, yt=z — X\
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VARIABLES CONTINUES. l8l
en partant d'une réduite principale, de rang quelconque, la substitution pour obtenir la suivante sera Q, suivie de P ou son inverse P~^, prise autant de fois de suite qu'il se présentera de formes intermédiaires, c'est-à-dire QP% le nombre entier i étant positif ou négatif. Et, en général, on peut résumer les opérations relatives à la réduction de la forme cp, pour toutes les valeurs de );, croissant d'une manière continue de zéro à l'infini positif dans la formule
. . .QP^QPyQp/'
S"" Les formes de (/), que nous avons nommées principales^ ont des caractères distinctifs de toutes les autres, et qu'il importe d'établir.
A cet effet, soit
F ..= AX2 -H 2BXY-i- GY2 ^ A(X -4- a Y) (X + a' Y) une transformée quelconque de/, obtenue par la substitution
on prouvera d'abord immédiatement que F appartiendra à (/), si
la forme définie
* =:.(X + aY)2-i-X(X + a'Y)2
est réduite, en attribuant à À une valeur positive convenable, et
cette condition est à la fois nécessaire et suffisante. Mais, si l'on
veut de plus que F soit une forme principale, il faut qu'on puisse
faire
ainsi, l'une des quantités a et a^ doit être plus grande et l'autre plus petite que l'unité. D'ailleurs, d'après la valeur de \^ <ï> devient
fx2 + Y2+2i^^4'xY
donc, pour que ce soit une forme réduite, on doit poser
, / I -4- aa'\2 V a -+- a' / ^
Réciproquement, cette condition nécessaire est à elle seule suffisante, car on peut l'écrire ainsi :
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l82 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
donc, I — a- et i — dî^ sont de signes contraires, et il est possible de prendre pour <ï> la valeur particulière
(i a'2^(X-4-aY)^ — (i — a2)(X-i-a'Y)2n:.(a2 — a'2)/'x2-f-Y2-i-2^-^t:^XY
qui est bien une forme définie réduite, dont les coefficients extrêmes sont égaux.
Ainsi, pour qu'une transformée F =:= (A, B, C) soit une réduite principale, il faut et il suffit que la valeur absolue du coefficient moyen ne soit pas inférieure à la valeur absolue de la somme des coefficients extrêmes.
4^^ On a supposé implicitement, dans tout ce qui précède, qu'à une forme définie donnée corresponde toujours uae réduite unique. Il en est effectivement ainsi en général; cependant nous devons tenir compte des cas d'exception, qui se présentent précisément dans les conditions précédentes, savoir, lorsque le second et le troisième, ou bien les deux premiers minima, sont égaux entre eux. On a alors deux réduites qui diffèrent seulement par le signe du coefficient moyen et, dans (/), deux formes différentes qui leur correspondent. Mais, de ces deux formes, l'une d'elles répond à la réduite unique pour une valeur de À un peu inférieure, l'autre à la réduite unique pour une valeur de À un peu supérieure à celle qui rend égaux les deux minima. Enfin, dans le cas plus particulier où les trois premiers minima seraient tous égaux, on aurait une forme définie proportionnelle à x^±xy-\-y'^ et susceptible de se transformer elle-même par une substitution de la forme P^' Q, Quatre formes de (/), correspondantes à cette réduite, seront alors deux principales et leurs opposées.
Nous avons toujours supposé jusqu'ici que les coefficients de la forme quadratique / étaient des quantités quelconques. Voyons maintenant les circonstances remarquables qui se présente ut lorsqu'on les suppose entiers. Alors l'ensemble (/) des réduites ne comprend plus qu'un nombre fini de formes distinctes, puisque leurs coefficients sont limités. Donc, lorsque la réduction continuelle de c:), pour des valeurs croissantes de \^ aura conduit à une
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VARIABLES CONTINUES. l83
forme déjà obtenue, la nature même des opérations montre clairement qu'elles se reproduiront dès lors périodiquement en faisant croître X jusqu'à l'infini, ou en le faisant décroître jusqu'à zéro. Ainsi (/) sera composé d'un groupe de formes en nombre fini se reproduisant une infinité de fois. Nous pouvons donc raisonner comme le fait M. Gauss, § 187, pour obtenir toutes les classes distinctes de formes de déterminant D, Calculons pour cela l'ensemble 0 des réduites principales, en employant tous les nombres A, B, C satisfaisant aux conditions
B2__AG = D, B2>(A-i-C)^
et prenons l'une d'elles, F. Il résulte immédiatement de nos principes qu'à la période des réduites principales de (F) appartiendront toutes les formes équivalentes de Q. Cette période obtenue, on prendra une autre forme G de 0 qui n'y soit pas comprise, et l'on calculera de même la période des réduites principales de (G). De là on déduira une nouvelle classe distincte de la précédente, et l'on poursuivra les mêmes opérations jusqu'à ce qu'on ait épuisé toutes les formes de Q. Alors on aura obtenu toutes les classes différentes de déterminant D, représentées chacune, non par une forme unique, mais par une période répétée indéfiniment d'un petit nombre de réduites principales. Ces périodes ne coïncident pas absolument avec celles de M. Gauss, comme on le voit par la définition des réduites données § 183. Remarquons néanmoins qu'elles présentent, comme celles de l'illustre analyste, une série de formes dont chacune est continue à la précédente par la première partie. En effet, la substitution QP', par laquelle on passe de l'une à l'autre, est précisément le type des substitutions qui donnent une transformée contiguë. On pourrait même sans doute calculer le nombre i, par la condition que la forme contiguë soit une réduite principale ; mais je laisserai cette recherche au lecteur.
Nous avons encore à présenter quelques considérations sur le problème important dont l'objet est de trouver toutes les transformations possibles de deux formes équivalentes l'une dans l'autre.
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l84 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
La belle solution donnée par M. Gaiiss, § 162, dépend d'une méthode profonde et cachée, qui, si je ne me trompe, reparaît encore dans d'autres circonstances, par exemple dans les recherches relatives à la multiplication des classes. J'aurais plutôt à essayer d'en pénétrer les principes qu'à y ajouter quelque chose; aussi je me bornerai à déduire des considérations précédentes ce cas particulier :
Le calcul de V ensemble désigné par (/) donne toutes les transformations possibles des réduites principales et intermédiaires en elles-mêmes.
Soit F = A(^ + ay) (^ -|- ^ y) l'une d'elles : nous savons que toutes les autres réduites s'obtiendront par la réduction continuelle de la forme définie
<i> =: (iT-i- aj^)2 -\-\{x -^ a'j)'^,
et cette forme définie, comme correspondante à F, est elle-même réduite, par exemple pour \^=.\q. Soit donc
â? = mX -h ttzqY, jk = /îX -f- tzoY
la substitution qui change F en elle-même; par cette substitution, la forme
(^ + ^yf -4- ,---'-,-T, (^ -i- ^yf
deviendra précisément <ï>, quand on y fait X == Aq ; ainsi donc, en réduisant la forme définie dans l'hypothèse
on obtiendra bien une transformée semblable quelconque de F.
Maintenant, nommons P la substitution qui reproduit F, pour la première fois lorsque \ croît depuis la valeur \q^ d'une manière continue jusqu'à une certaine limite X^ ; à partir de cette limite, les opérations se reproduiront périodiquement jusqu'à l'infini; c'est donc la substitution P, prise un nombre quelconque de fois, qui donnera toutes les transformations semblables. Et, si l'on considère les valeurs décroissantes de \^ de À^ à \q^ on aura dans un ordre inverse la même série d'opérations, qu'on pourra prolonger à l'infini, dans l'autre sens, et qui donnera pour transformations
VARIABLES CONTINUES. l85
semblables la substitution inverse P~% prise de même un nombre quelconque de fois. Les mêmes choses auraient lieu relativement à la transformation de toute réduite F en — F, lorsque cette transformation est possible.
L'équation x- — Dj/- = i a une infinité de solutions.
En prenant, en effet, /= ^- — Dj--, on a l'une des réduites intermédiaires comprises dans (/), car la forme définie correspondante
est réduite pour \^=^\, De là résulte l'existence d'une infinité de transformations semblables, telles que
^ z= 7?2X -f- 7?ZoY, JK = /^X 4- ^lo Y,
et toutes donnent nécessairement
772^ — D Al^ = I .
Pour obtenir la loi de toutes ces solutions, nous emploierons la méthode suivante. Soit 11(5) une fonction égale, pour toutes les valeurs réelles de 5, au minimum de la forme
lorsqu'on y suppose x et y entiers. Je dis que toute solution ^ = <7, y=zbj de l'équation proposée, donnera un indice de périodicité de la fonction H. On pourra déterminer, en effet, une quantité réelle co, telle que
et l'on trouvera
\a — 6/Dy \a-^bs/D
Or on peut faire
x-\^ys/'ù = {a~b \/d) (X -t- Y /d), ^ - j y/D = (a H- 6 /d) (x -^ y v/d),
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l86 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
car cela revient à la substitation au déterminant i :
donc n(^ -1- 0)) ne difFère pas de Ii(z).
Or la fonction n(^) est, par sa définition, du genre des fonctions parfaitement déterminées dans toute l'étendue des valeurs réelles de la variable : donc, d'après l'observation bien connue de M. Jacobi, tous les indices de périodicité, tels que to, sont des multiples entiers du plus petit d'entre eux. Autrement dit : toutes les solutions ^ = A, y = B de l'équation proposée se tirent de la solution unique œ :==:: a, y= b (pour laquelle a-\- b y/D est le plus petit possible) par la formule
i étant un nombre entier positif ou négatif.
Toutes ces solutions d'ailleurs s'obtiendront en cherchant effectivement les minima successifs de n(^), ou bien, ce qui est au fond la même chose, en formant la période de x'^ — J^y-. On a, en effet, cette proposition plus générale :
Toute représentation de minimum absolu d\ine forme à facteurs réels
sera donnée en cherchant^ pour des valeurs conçenables de t et t\ le nninimum de la forme définie
çp r= ^2(^|aj)2 ! ^'2(^j a' yy.
Supposons qaey soit le plus petit possible pour
Si le minimum de 9, dans l'hjpothèse suivante t == 7 ? t' =
a -{- ab a -i- a! b
n'était pas donné par le même système de valeurs, c'est qu'il en existerait un autre
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VÂRIABLKS CONTINUES. 187
tel qu'on ait
'A-4-aB\2 /A + a'B\2
ab or on en conclurait
^A-HaB\2 /A -4-a'B
a -\- ab / \ a
donc y* ne serait pas, contre l'hypothèse, un minimum absolu pour X ^= a^ y = b.
M. Gauss a encore déduit du développement de la période de Ja forme (i, o, — D) la décomposition en deux carrés du déterminant, lorsqu'il est un nombre premier 4^ -f- i • Ce beau résultat dépend des spéculations les plus élevées de l'Arithmétique transcendante, car il repose en entier sur cette proposition : que les formes proprement primitives de déterm^inant premier l\n-\-\ îi^ont jamais qu^ une classe ambiguë. Je vais essayer cependant, sans sortir des considérations élémentaires, de donner la raison de ces rapports singuliers, entre deux points bien différents de la théorie des formes quadratiques.
Soient a et b deux nombres entiers, tels qu'on ait
^2 DZ>2 r-= — A,
A étant essentiellement positif. La période de (i, o, — D) contiendra une transformée obtenue par la réduction de la forme que nous avons nommée (d dans l'hypothèse suivante :
o=:{x H-r/D)^ {a-hb^D) — {x —y /d)' {a — />/£>) = 2 /D(6, a, ^?D).
Or on obtient ainsi une forme à coefficients entiers de déterminant — A. Soit donc
l'une quelconque des réduites pour ce déterminant, et
a? = mX -h moY, y—nH-^n^Y
la substitution propre à passer de (è, a, Z>D) à (A, B, C). Cette
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substitution se présentera nécessairement pour déduire de ( i ,o, — D) Tune des réduites principales ou intermédiaires de sa période; soit (A, B, G) cette réduite, on aura, d'une part,
AX2 -^ 2BXY -h GY^ = (mX -h mo Y)2 — D(nX -+- noYy\
et de l'autre
AX2-+-2BXY-i-CY2=:r b(mX^moYy
-I- 2a(mX-4-/noY)(^X-f-7ioY)4-^D(/2X-t-noY)2 ;
or on tire aisément de là l'équation suivante
AC -'2BB-hGA = o,
dont nous allons montrer les conséquences.
Soit, en effet, A = i , 2, 3, 4, 5, etc. Au moyen des réduites connues pour ces déterminants, on trouvera successivement
ou
A — B-hG=o, A-1-G--0, 3A — 2B-1-2G - o, ...,
et ces relations donneront les représentations suivantes du déterminant D,
A2-T-B2, 2A2-{-B2, 3A2-4-BS 4A2-f-B2, ÔA'^+B^
ou
B2 AB-f-A2, A24-B2, B2 — AB + |A2.
Dans la dernière, A est nécessairement un nombre pair, et, en écrivant 2 A à la place de A, elle devient
B2 — 2AB-+-6A2 ou (B— A)2-^5A2;
ainsi la représentation de D, parla forme (i, o, + 5), s'obtiendra par le développement de la période de (i , o, D) toutes les fois que l'équalion
sera possible. Mais, de tous ces cas, le premier est le seul où nous puissions affirmer que la forme (A, B, G) est une réduite principale; alors, en effet, la relation B^ > (A-l-G)^ se réduitàB^^o, qui est satisfaite d'elle-même. Le second a été l'objet de recherches de M. Gôpel, auteur à jamais illustre du Mémoire Adumbratio
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levis theoriœ functionuni Ahellanarum, comme on le voit dans la Notice où M. Jacobi a rendu un digne hommage à sa mémoire. Dans ce champ de recherches sur les fonctions abéliennes, ouvertes en même temps par un autre géomètre dont il eût été l'émule, tous ceux qui suivront ses traces trouveront, à côté de leurs méditations, le regret d'une destinée cruelle. Qu'il me soit permis, pour avoir eu quelques pensées en partage avec M. Gopel, de joindre l'expression sincère de ce regret à celle de mon admiration pour son génie.
En passant des formes quadratiques à facteurs réels aux formes de degré plus élevé, la recherche des classes distinctes pour un déterminant donné dépend en premier lieu de la détermination du minimum de la fonction que nous avons désignée par 0. On n'a plus alors cet ensemble de circonstances analytiques remarquables que nous venons de parcourir, mais que nous retrouverons dans la théorie des formes à facteurs linéaires que nous avons définies § II. Le fait le plus important à observer, en abordant la théorie des formes cubiques, biquadratiques, etc., consiste peut-être dans l'existence pour chaque degré d'un certain nombre de formes comme celles que nous avons nommées précédemment correspondantes. M. Eisenstein a découvert le premier une correspondante du second degré pour les formes cubiques, et l'on peut voir le rôle qu'elle joue dans ses savantes recherches sur le nombre des classes distinctes pour un déterminant donné. Nos principes, comme on A^a voir, conduisent directement à cette même forme.
Posons, pour employer les notations suivies,
f — ax^ -r- 3 hx'^y -~- 3 cxy''- 4- dy"^ ;
on aura pour la fonction ^ deux expressions bien distinctes, l'une pour le cas où les facteurs linéaires ^ -H aj, x-\-^y^ x -\- cfl' y sont réels, savoir :
l'autre pour le cas où, x + ^J^y étant réel, x H- ^j! y et ^ 4- :j1^ y sont
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imaginaires conjugués
Ces deux expressions différentes peuvent néanmoins être rapprochées l'une de l'autre de la manière suivante :
Faisons dans la première
et dans la seconde
elles deviendront respectivement
0=aHa-a')(a-a")(a'-a")[(J)%-(^J)V("^y]\
0 a2(a-a')(a-a'O(a'-ao[-2(^^,y-(^yj
Or il est visible que, au facteur \/ — i près, la seconde valeur se déduit de la première en y supposant t'^ = V. D'un autre côté, le minimum de l'expression
composée de trois parties dont le produit est l'unité, s'obtiendra en rendant les variables égales, et la même hypothèse donnera la même valeur pour le minimum de la seconde fonction. Posant
= 27(— a2<^2^ 3b^-c^-— ^ac^ — ^db^ -i- 6abcd) = 27D,
on trouvera respectivement, pour les minima des deux expressions, les valeurs
v/367D et /— 36.D,
et, pour les formes définies auxquelles nous avons donné le nom général de correspondantes ^
cp r= -+- (a'a")2 (^f-aj)2 4 (^ — a")2 (^ -|- a'j^)2 -h (a — a')2 (a7-^ a"j)2, 9 = — (a' — a")2 (;c -h ocy)^ -+- 'i(ol — a') (a — a") (x -h a'jr) (-2? -h OL^y)-
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La différence analytique de ces deux formes manifeste la différence de nature entre les formes cubiques à facteurs réels et à facteurs imaginaires: dans le premier cas, -f s'exprime rationnellement par les coefficients de/, et l'on arrive à la forme de M. Eisenstein en multipliant par le facteur a-, savoir :
0) = (^ac — b^) x^ -V- [ad — bc) xy -^ {bd — c'^-^y'^.
Dans le second, il n'en est plus de même, et l'opération de la réduction exigera le calcul numérique de la racine réelle — a. Mais les limitations des coefficients pour les transformées réduites
AX3 -4- 3 BX2 Y -H 3 GXY2 -^ DY^ dépendent toujours de ces formules
ad<(^)Vd, .bg<^|)Vd,
en ayant soin de prendre la valeur absolue de D.
La correspondante à coefficients rationnels peut être aussi rattachée à une origine différente de celle que nous venons de lui donner, en la considérant comme le déterminant du système
dx^ dx dy
dx dy dy^
et de là se déduirait une démonstration facile de sa propriété caractéristique. Mais je veux surtout faire remarquer comment cette seconde expression conduit au théorème suivant :
Qu^en multipliant cp par elle-même^ le produit est toujours transformable en son opposée.
Partons à cet effet des substitutions
X == {ax H- by) x' -{- {bx -+- cy) y\ Y = {bx -^ cy) x' -\~ {ex -\- dy )y',
et représentons par cp, cp^, $ les déterminants des systèmes
ax ~\- by bx -\- cy bx ~\- cy ex -\- dy
ax' ~\- by bx' -\- cy' bx' -h cy' ex' -H dy
cX — bY dX—cY bX—aY cX — bY
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On trouvera d'abord, en résolvant successivement par rapport
à x', y' et X, y,
, X-{cx -^ dy) —Y (hx -^ cy) , — {hx -^ cy)y^-^{ax -^ by)X
? cp
'^{cx -\- dy') ~\{hx' -\- cy") — (bx' -^~ cy')l^ -^ {ax' -^ by')Y
Les deux premières formules donneront ensuite
__ x'{c\ — bY)-\-y'{d\ — cY)
— y'icX — bY) ^ x'(—bX -4- a Y)
et, en égalant entre elles les deux valeurs obtenues, par exemple pour ;r, on trouvera
Or on vérifie de suite que ^ est précisément l'opposée des deux correspondantes semblables cp et cp'; ce qui démontre la proposition énoncée.
Si, de plus, le coefficient mojen étant pair, ces formes sont proprement primitives, $, composée de nouveau avec cp, donnera la forme principale de même déterminant; toutes les classes de formes cubiques auront une correspondante quadratique, dont la triplication donnera cette forme principale. Mais il a été établi en outre, par M. Eisenstein, qu'à toute classe quadratique ^k répondait effectivement une seule et unique classe cubique, lorsque le déterminant n'avait pas de diviseur carré. Ce beau théorème montre, comme on voit, un rapport digne de remarque entre deux théories c[ui n'offrent au premier abord aucun point de contact.
Paris, juillet ï85o.
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