FORMES QUADRATIQUES TERNAIRES INDÉFINIES

Journal de Crelle, Tome 47.

M. Gauss a distingué les formes quadratiques ternaires en définies et indéfinies, suivant qu'elles sont réductibles par une substitution réelle aux formes

dz(:r2-+-72^i,2^ et dz(ifc2^72^2).

Nous considérerons dans cette Note les formes

/ =. ax^ -f- a' y'^ -H a" z^ -f- i hyz -^ ib' xz -\- i b"xy^ réductibles à

et tout ce que nous en dirons s'appliquera de soi-même à l'espèce des formes indéfinies qui appartiennent à l'autre type

Il est bon cependant d'observer que ces deux types sont essentiellement distincts l'un de l'autre, c'est-à-dire qu'il est impossible de trouver aucune substitution réelle qui change

x'i' -^r-y^ — z^- en X^ — Y^ -j- Z2.

Le déterminant, ou, d'après la nouvelle dénomination de M. Sjlvester, V invariant de/, sera

A r= ab'^ -^ a' b'^ -^ a" b"^ — ibb' b" — aa' a" \

la forme adjointe g sera

^'-^ d^' '' -^ db^'^ db' "'^ -^ W ''^'

^A da!

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igl OEUVRES DE CHARLES H ERMITE.

En même temps que la forme indéfinie y, nous considérerons la forme définie

^ ^ f -^ iÇkX -^r [^J4- V^)2,

OÙ }., !Ji, V sont des indéterminées réelles, assujetties à vérifier la

condition

Cela étant, on concevra qu'on calcule la suite infinie des substitutions propres à réduire 9 lorsque les indéterminées 1, p., v passent par tous les états possibles de grandeur. Chacune de ces substitutions faite dans / donnera une certaine transformée. Nous désignerons leur ensemble par le symbole (/*), et nous aurons les propositions suivantes :

I, Si deux formes ternaires f et ¥ sont éqaivalenteSj (/) et (F) contiendront les mêmes formes et seront identiques.

II, Si la forme ternaire f a pour coefficients des nombres entier s y (/) ne contiendra qu\in nombre essentiellement limité de transformées distinctes.

Effectivement, si l'on représente par F := ( ' ' ^„ \ l'une quelconque des formes contenues dans (/), on a ce théorème :