AB2, A'B'2, A"B''^ BB'B", A A' A

sont comprises entre les limites

H- 2 A et — 2 A.

De là suit que la totalité des formes pour lesquelles A est le même ne donneront qu'an nombre fini de symboles (/) distincts les uns des autres, c'est-à-dire que les formes ternaires indéfinies de même invariant ne donnent jamais qu'un nombre limité de classes.

IV. Les substitutions propres à réduire 9 contiendront toutes les substitutions qui peuvent changer en elles-mêmes les diverses formes de (/).

Le calcul numérique de la réduction continuelle de la forme cp, lorsque X, u, v passent par tous les états de grandeur, sous la condition

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FORMES QUADRATIQUES TERNAIRES INDÉFINIES. igS

m'a conduit à de longues et pénibles recherches dont le théorème suivant est le point de départ :

Lorsque 9 cesse d^ être réduit par une variation infiniment petite de \^ [x, v, la substitution quHl faut employer pour le réduire de nouveau est Vune des soixante- deux substitutions d^Eisenstein, par lesquelles une forme définie réduite se change en elle-même.

La même proposition a encore lieu à l'égard de cet autre genre de formes 9, savoir :

o = Xi^ax -f- a' y H- a!' zf--^ \x{bx h- h' y 4- h" zY-\- v(ca;-i- d y -\- c" z^^ que j'ai introduites dans l'étude des formes cubiques

/= [ax -t- a' y -i- a" z) {bx -H b' y -l- b" z) {ex -h c'y -h c"z).

J'espère pouvoir donner, dans une autre occasion, le résultat de mes recherches sur cette question si difficile; mais, pour approfondir la nature des substitutions qui changent en elle-même une forme indéfinie, j'ai employé l'analyse suivante :

Étant proposé de découvrir la substitution de x^ jk, z en X, Y, Z qui donne identiquement

j'imagine que les trois premières variables, ainsi que les trois dernières, soient exprimées par des indéterminées auxiliaires ^, '/], S^, et cela de manière qu'on ait

( ^-hX=r23, JKH- Y = 2'/],

Sous ces conditions on va voir qu'il est facile d'obtenir les expressions de x^ y, z et X, Y, Z en ^, t], ^, Effectivement, il viendra en premier lieu

d'où, en développant et réduisant,

df

^/(?,^,0-X^-hY-^H-Z

dri