IL

Hosted by

Or il est visible qu'on satisfei^a de la manière la plus générale à celle équalion en prenanl

X, [JL, V désignant trois quantités arbitraires. Réciproquement, si l'on a vérifié ainsi l'équation (4), on en conclura nécessairement l'équation (3). Les formules générales (*), pour la transformation en elle-même de la forme y, s'obtiendront donc en résolvant les équations (5) par rapport à ^^ "^0? ^ et substituant les valeurs obtenues dans les relations

(6) ) y = 'ir,-Y,

Mais la conclusion suivante, à laquelle je suis arrivé d'abord par une analyse plus difficile, n'exige pas qu'on fasse ce calcul. Ajoutons les équations (5); après les avoir respectivement multipliées par )., [Ji, V, il viendra

(7) XX -h fJiY-i- vZ = X? + [J-'n + ^^j et Ton en déduit, par les équations (6),

XX+ ikY -^vZ = lx -{- [ly -^ v^.

Voici donc une fonction linéaire qui se change en elle-même par la substitution qui change aussi la forme /en elle-même. Gela posé, il est visible qu'au point de vue de la recherche présente des substitutions à coefficients entiers, les indéterminées X, [i., v doivent avoir des valeurs rationnelles; ainsi l'on peut faire ces quantités proportionnelles à trois entiers /, m, n, sans diviseur commun.

(^) L'analyse de M. Hermite ne prouve pas qu'on obtient sans aucune exception toutes les substitutions transformant la forme en elle-même; ce point essentiel a été ultérieurement complété par M. Hermite. {Journal de Crelle, t. 78.)

Hosted by