XA'V

-f-^XB-f-

d'où

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et il viendra

rjB"— -^ W ) V-\-qX'Y-h(p-^Bq)^Y.

Ces formules sont celles auxquelles nous voulions parvenir ; elles ne contiennent de fraction que la quantité -^ — > qui peut ne pas se réduire à un nombre entier par la seule condition

Cependant, si nous employons, au lieu des nombres p et q^ les suivants

qui donnent aussi

on trouvera alors

iq^,

et la formule de substitution ne renfermera plus que des nombres entiers. Le nombre 5V, qui joue ici un rôle essentiel, a pour valeur g{l^ nij /^); il doit être évidemment positif pour que la substitution ne soit pas identique. Ce sont donc les entiers pour lesquels la forme adjointe est positive qui sont les éléments essentiels de notre solution.

En résumé : si nous désignons par S la substitution (8), par S la substitution (9), la formule abrégée S~^SS donnera en nombres entiers la relation entre les deux groupes de variables x^ y, z et X, Y, Z, par laquelle f[x^y^ z) se change en /(X, Y, Z).

Comme conséquence de la méthode précédente, on obtient aisément les théorèmes suivants, que je me bornerai à énoncer :