PREMIER MÉMOIRE

La méthode que j'ai exposée dans un précédent article, pour obtenir toutes les transformations en elle-même d'une forme ternaire indéfinie, exige, comme élément analytique essentiel, la connaissance des systèmes d'entiers qui rendent positive la forme adjointe. La nature d'une pareille condition fait bien voir que les transformations semblables d'une forme indéfinie impliquent nécessairement dans leurs expressions un nombre infini d'entiers arbitraires. Les considérations que nous développerons ici montreront même la possibilité de donner aux formules de transformations une expression qui offre explicitement un nombre infini d'entiers indéterminés. Nous insistons sur ce point, parce qu'il nous semble caractéristique dans la théorie des formes quadratiques. D'autres formes donneront lieu, en effet, à un nombre pareillement infini de substitutions semblables, mais toutes ces substitutions s'expriment avec un nombre essentiellement limité d'entiers arbitraires. Telles sont les formes du n}^^^ degré, décomposables en n facteurs linéaires, pour lesquelles on a la proposition suivante :

Soit a le nombre des facteurs linéaires réelsy b le nombre des couples de facteurs imaginaires conjugués et to H- i la somme de ces nombres : toutes les substitutions semblables seront données symboliquement par la formule

i>jn^ Q/n, c'"3 c'"u

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OÙ m^j m^t ' ' . sont des entiers arbitraires et S,, S2, . . ., w substitutions telles qu^ aucune d^ elles ne puisse s^ exprimer par les produits des puissances des autres.

On peut encore démontrer, par rapport à ces formes, qu'en

nommant S et T deux substitutions semblables quelconques, on a

toujours