A(XX
dZ^
■vZ),
df ^^df
-^dz)'
enfin, il viendra immédiatement
S4X-Ï An2 = 8YAn2,
S4(i + Y)AXxn ^ 4(n- y) An2,
et, en ajoutant et réduisant, on obtiendra finalement, comme nous l'avons annoncé,
ri vv> (x df ^y df df
de sorte qu'on a identiquement
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Nous allons maintenanl donner quelques conséquences de ces formules que nous venons de démontrer, pour la transformation en elle-même d'une forme ternaire.
La première de ces conséquences est le théorème exprimé par
l'égalité
la; -\- [jLjK-i-v5 = XX-h |jlY + vZ,
et que nous avons précédemment fait connaître. Nous j joindrons la remarque suivante :
Selon que la substitution par laquelle /se change en elle-même est au déterminant -|- i ou — i, il existe une fonction linéaire que la même substitution reproduit identiquement ou reproduit changée de signe.
En mettant en évidence les indéterminées X, Y, Z, dans les formules (i), de sorte qu'elles deviennent
les racines de l'équation du troisième degré que l'on forme en égalant à zéro le déterminant du système
seront
Ainsi l'on voit que cette équation est réciproque^ comme nous l'avons déjà dit.
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En formant l'expression
d£ df dy ^ dz
on trouvera qu'elle reproduit une expression de même nature en X, Y, Z, mais où les signes de p. et v sont changés, de sorte qu'on obtient
dy ^ dz) 2 V dX
et l'on trouvera de même
dz dx
i\ dx dy
' dZ
df
dp dZj
^dX~^dY
Ces formules montrent qu'en désignant par S la substitution (i), S~^ se déduira immédiatement de S, en j changeant )., [Ji, v de signe.
Faisons suivre S d\ine nouvelle substitution S^, où l'on aurait mis V, \iJ ^ v' au lieu de X, [Ji, v. La substitution composée SS^ changeanty en elle-même sera nécessairement comprise dans la même forme analytique que S et S^, et devra se déduire des formules (i), en mettant au lieu de "k, [jl, v des quantités C, iïl, Hl, fonctions de }., (X, V et de V, [jl^, v^ Or voici l'expression de ces quantités :
Posons
/ = JJLV' V|Jl', 771 = vX' — Xv', /^ = XfJl' — [kl',
1 df
et
L = al -h h" 771 ■ M — b" l -\- a' Tïi -
1 dl
hn
N ^= b' l -T- bm -\- a" n =^
^ = -A'''di
, dy , dy
1 dm 1 dît
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