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Ainsi, les fonctions linéaires que les substitutions S et S' changent en elles-mêmes étant
1 X -\~ iiy -h y z et l' ce -h iJ.'y -h v'.z,
la fonction linéaire que reproduit la substitution composée S S' sera
ou, en omettant le facteur numérique =?
(Xcc -]- iiy-i-vz) -+- {Vcc -\- p-'j^-h v'-s) -\-{Lx-^ My + N^).
C'est ce qu'on peut, comme on va voir, établir directement.
D'après le théorème (IV) définissons la substitution S par les éauations
équations
ce
i^4^„^Ux-Vvf ,î^
\ i\dz dx I 2 \ Ê^Z <3?X / '
et la substitution S^ par les relations analogues
de sorte que S S' s'obtienne, en éliminant X, \, Z, et exprimant ^, 7, z en U, V, W.
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Posons ensuite, pour abréger,
71 = X:27 -I- [J.JK -1- V j, nj = aX 4- [JiY H- vZ, n = A U -H [JiV + V W, ^'^X'a7-t- ix'y -^^/z, m'= X'X-f-fx'Y-i-v'Z, n'= VU -^- jji' V -f- v'W, o = Lx -hMj + N^, ^ = LX4-MY + NZ, <P == LU -f- MV -4-N\V;
nous obtiendrons immédiatement la relation
en ajoutant les équations (3) respectivement multipliées, la première par }v', la seconde par jji^ et la troisième par v^ Si l'on opère de même sur les équations (4) avec )^, u, v, i] viendra
Or on a à la fois
m' = W; on en conclut la relation proposée, savoir :
TT-r-Tr'-hO — Il-f-I]'-i-4>.
La substitution composée S S^ peut être définie par trois relations linéaires entre tt, u^, cp et II, II', ^. Posons, à cet effet,
et
(i - y) Ti'-h 2(1 -+- r) 71 = ^, (1 - Y) n + 2(1 -+- r) n' =- — q,
2(tc-1- 7î'-i- cp) — r, 2(11 + Il'-H $) = — R;
on aura les équations suivantes :
Nous remarquerons encore le résultat de la substitution des H. - I. i4
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variables t:, tî', cp aux variables x, y, z dans la forme ternaire proposée. En posant en premier lieu
on a identiquement On trouvera encore en employant la substitution transposée
D'ailleurs, la forme est l'adjointe de
^ = v; H- v't] 4- NÇ.
Les propositions précédentes peuvent être présentées sous un autre point de vue, comme se rattachant à la théorie de la composition des formes. Elles nous semblent offrir, en effet, les premiers exemples de l'extension de la théorie, donnée par M. Gauss pour les formes binaires, aux formes quadratiques d'un plus grand nombre d'indéterminées. Concevons qu'au lieu des formules (i) on prenne les suivantes, où l'on a supprimé le dénominateur et introduit une nouvelle indéterminée p, de sorte qu'elles deviennent homogènes relativement à X, jjl, v, p, savoir :
df\ ^Y
df ar \
dl
dX dl
^'dz)~dll^'
,dr
dX
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on aura
/(^, 7, ^) -/(X, Y, Z) [p^- - ^(X, II, v)p.
Ainsi toute forme ternaire est composée d'elle-même et du carré de la forme quaternaire p^ — gÇk^ p., v). Nous joindrons à ce théorème les résultats suivants, qui dépendent des mêmes principes. Faisons, pour abréger,
la substitution
^ = (p2-HY)X+p^-XCl5, jK = (p2H-Y) Y-f-p ^^ -H- 05, ^ = (p2 + Y)Z + p^|-v(i5
donnera identiquement
Soit encore
En posant
on aura
^ , df df df
^ = (cp-i- Ao2)X-4-p -# — Xi.
^^(^ + Ap2)Y-^p^-f.f,
^ = (cp 4- Ap2) Z + p ^ — vi,
/(^, r, ^) =/(X, Y, Z) [Ap2 -/(X, a, v)]2.
Ce dernier résultat, conséquence immédiate du précédent, offre sous une forme analytique nouvelle les expressions générales des substitutions semblables pour les formes ternaires; on les déduira sans peine, d'ailleurs, des formules (i). Enfin, on trouvera
g{x,y, z) = g{\, Y, Z) [Ap^- -~/(X, 1^, v)]2,
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en employant la substitution
dX I <^v
L'étude des formes quaternaires de déterminant carré, qui viennent se présenter dans les théorèmes précédents, savoir :
p2^(X, |a,v) et Ap2/(X, HL,V),
conduira à d'importantes notions arithmétiques. Dans un autre travail nous essayerons d'approfondir la nature de ces formes, qui nous paraissent devoir offrir une nouvelle application de l'idée ingénieuse des nombres idéaux de M. Kummer. Elles donnent lieu effectivement aux théorèmes de composition que nous allons énoncer, et dont on trouvera sans peine la démonstration par ce
qui précède. Posons
iT = Xp'-^ )/p-+-L,
i\\z=. p.p'-f- fji'p 4- M, ÎI z=z vp'-^ v'p -f- N,
% = pp'-i- r,
où L, M, N, r ont la signification donnée (§ V). On aura identiquement
%^ - g{£, M, m) = [p2 ^(X, JX, V)] [p'2 ^(X', p.', v')].
En second lieu, faisons
, , i / ,df ,df
2 dl'^'
m = iip'
r , I ( , df V^/
2 â?X' 2 ^!Jl' P'
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THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES. 2l3
on aura
Ces deux théorèmes comprennent^ comme cas particuliers, ceux d'Euler et de Lagrange, sur le produit de deux sommes de quatre carrés, ou de deux fonctions de la forme
^2 -4- ay"^ -+- ^^- -f- ahiC-.
Nous avons déjà dit qu'en désignant par S et S^ deux substitutions semblables quelconques on ne pouvait avoir la relation
