SS'== S'S

qu'en supposant S et S' exprimables parles puissances d'une même substitution. C'est ce qu'on peut établir de la manière suivante :

D'après le théorème du § V, si l'on désigne par \^ [i., v ; X^, u/, v' les quantités qui déterminent les substitutions S et S', et par f, iïl, tl celles qui déterminent la substitution composée S, S^, on aura

fJL

Cela étant, si l'on permute simultanément \ et V, [jl et [Ji^, v et v' de manière à obtenir les quantités analogues à £, iît, H pour la substitution S^S, on trouvera immédiatement que ces quantités ne diffèrent des précédentes que par les signes de L, M, N. La condition SS^= S^S entraîne donc les relations

et, par suite, celles-ci :

/ r= o, m = 0, n = 0, puisque le déterminant relatif aux trois fonctions linéaires L, M, N

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2l4 ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

est essentiellement différent de zéro. Or les valeurs de /, m, n font voir que \^ [jl, v sont aussi respectivement proportionnelles à )/^ u', v^; la proposition annoncée revient donc à celle-ci :

Toutes les substitutions semblables oh À, [jl, v sont proportionnels à trois nombres constants se réduisent aux puissances d^ une seule substitution.

Pour le faire voir, observons en premier lieu que ces quantités )v, p., V ont nécessairement des valeurs rationnelles y si la substitution est à coefficients entiers. Nous pouvons donc supposer en général

X, [A, V étant trois entiers constants sans diviseurs communs, et k un facteur rationnel arbitraire. Cela posé, prenons six autres membres a', [3', y^; a'^, ^\ y\ de telle sorte que le déterminant du système

a P T a' P' Y a" P" Y" soit Funité; en faisant

CL X -{- ^ y -\- ^( z = II,

ce' X -\- p'jr -1- y'-s = p, a"x H- ^"y -+- y" ^ = (^,

la forme ternaire proposée /(x, y, z) se changera en une forme équivalente que nous désignerons par F(w, (^, w) et dont les substitutions semblables se déduiront immédiatement de celles de la proposée. Désignons, en effet, spécialement par S les transformations semblables de /, où a, [3, y sont supposés constants; k étant seul variable, les transformations semblables correspondantes de F seront données par la formule symbolique

où s est la substitution employée ci-dessus, entre les variables x^ JK, z et w, ^^ w. Or il suffira de prouver que SSS~^ est de la forme T'^; car de l'équation

SSS-i = T'^

on tirera, comme on le voit, bien facilement S = 2-iT«2 = (2-1 TS)''.

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THÉORIE DES FORMES QUADRATIQUES. 2x5

Or, comme nous l'avons remarqué dans notre premier article, les transformations semblables de F(u, ç, ^), données par la formule SSS~^, sont caractérisées en ce que la fonction linéaire que ces transformations reproduisent est simplement la variable u. Appliquant donc cette forme F aux formules générales (i), nous j devrons faire ui et v nuls, pour en déduire l'expression particulière des transformations SSS~^ On trouvera ainsi, en supposant

F{u, ., ^v) = ^ j3^ ^, j^„j et 1 adjomte = L^^ ^,^ ^„