H^v/^-(P-^-Qv
les entiers P et Q étant les moindres nombres qui vérifient la condition
La substitution considérée étant donc définie par les équations
% iv — IV i^ -^(B"u + Pl'ç -f- B w) v^'^
= (P -f- Q i/^y [%W - ru + (B'^U + A'V -f- BW) /^]. %w — Wu — (B"u-+-A'ç-{- Bw) s/^
= (P — Q v/^)'' [^W — 33'U — (B"U H- A'V -h BW) \/%] ,
il est évident qu'elle résulte de la substitution particulière pour laquelle n = i^ prise n fois successivement.
L'expression générale des transformations semblables donnée au § I peut être présentée sous une forme analytique bien différente, en cherchant à mettre en évidence les fonctions qui se reproduisent à un facteur constant près, comme nous venons d'être conduit à le faire. On y parvient aisément de la manière suivante :
Désignons par >/, [j.^, v^ trois quantités entièrement arbitraires, et employons les mêmes notations qu'au § V, pour désigner des expressions analytiques de même forme, savoir :
TT = X 37 -f- [JIJK 4- V ^, 11 = X X -h (JL Y -I- V Z ,
tJ= l'x-\- î^>H-v'^, n'=: )/X -f- jjt'Y-f-v'Z,
o = L^ + MjK + N^, <!> = LX -f-MY-f-NZ;
nous trouverons d'abord, en ajoutant les équations (i), après les avoir respectivement multipliées par )/, [jl^, v^,
(i — y)!!' = (i -I- y) n'— 2* — 2rii.
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En second lieu, nous déduirons des équations (2) les suivantes :
<'-v)(-'i^»I-)=(-T.(-s->^I)-4TV-,:in,
, J.df df\ ^ /. df df\ , „ r/Y„
Puis, en les ajoutant après les avoir multipliées, la première par \' ^ la seconde par p.', la troisième par v', il viendra
(i— y) ? === (i -1- y) * — syIT'h- 9Tn.
Ainsi, l'introduction des cjuantités arbitraires )/, [jl^, v^ nous conduit à cette transformation remarquable des équations (i), savoir :
(1— Y)cp = arn — 2Yn'-+-(n-Y)4>;
et nous en conclurons en dernier lieu les relations suivantes, auxquelles nous voulions parvenir et qu'on vérifiera facilement :
T-'- Tti + o v/y = 1:^1^ (y n- rn + ^ v^ï), I -4- v/ Y
YTi'— Ttu— (pv^Y = ^ "^ /- {^(W'~VX{ — ^s/~i).
Il est digne de remarque que les coefficients de la forme ternaire, les quantités A, a, v, qui définissent la substitution par laquelle cette forme se change en elle-même, et enfin les quantités entièrement arbitraires V, \jJ y v^ ne figurent plus dans les coefficients de ces nouvelles relations que par les deux constantes y et F.
Les théorèmes de compositions relatifs aux formes cjuaternaires
p2-^(X, [X, V) et Ap2/(X, {1, v), donnés au § VIII, ont été déduits des expressions générales pour
2l8 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.
les transformations semblables des formes ternaires. Réciproquement, on peut obtenir ces expressions générales comme conséquence des théorèmes du § VIII par la méthode suivante :
Considérons le produit des trois facteurs
mis sous la forme
Pour obtenir les valeurs de £, ÛX, 11, tl nous poserons
\X |JL" , m = v'X" — '^ ^" 1 m ^= v"X — X"v, m" — vX' — Xv', n = \' [jl"— fi.' X^ 7i' = X'' [Jt — [Jt'X, 7i" := X-o.'— |j.X';
I df 1 .//'
~ -idr ^ -~. dv'
2 dji
■2 \ <rA "^ «?|Ji
,„ I / , di df
dv 1
i\dk ' d\x
où l'on a mis
pour abréger.
pour
f{l, m, n), J\i, m\ n'), f{l\ m\ n")', gÇk, îjl,v ), ^^(X', ^\ v'), ^(X", jjl", v").
Gela étant, on aura les expressions suivantes :
iT = (pp'X''4- p'fl + p"pl') -^ (p L — p'L' + p" LO -f- (Xr — XT'-i- X" r"),
iji = (pp'|Jt."4- p» -h p"pfji') -H (p M — p' M'-i- p"M") + ([Jir— |jlT'^ /r"),
tt = (pp'v"-Hp'p% -f- p"pv')-f-(pN — p'N'-+-p"N")-i-(vr — vT'-H v'T"),
% = (PP'p"4- pr -h pT'H- p"r"-t- a8).
Maintenant faisons
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on aura
et, le déterminant S s'évanouissant, la valeur de tî deviendra L'équation
se réduisant donc à la suivante :
p'2[p2 ^(X, ja, v)]-2 - ^(£, iîl, îl) = [p^ - ^(X, |x, v)]^- [p'^- ^(X', (i.', v')], donnera
^^(if, iît, ^t)-^-(x^ ja', v')[p^-é^(x, [i., v)]^
et l'on en conclura
if MX X[\ __ /X' [jl' v'
^U' ^ ' ^y "" vp'^ p" p'
D'ailleurs on obtient pour f , Jïl, Hl les expressions suivantes :
£ =(p2+Y)X'-i-2pL — ^xr",
iîl == ( p2 -H y) jjt'+ 2 p M — 2 fJir'^
tl-=(p2 + Y) v'-f-2pN — 2vr;
de sorte que l'on retrouve ainsi l'un des théorèmes donnés au § VIL Mais il y a une autre conséquence à déduire des considérations précédentes.
Nommons respectivement S, S^ S^' les transformations semblables de la forme ternaire y, qui sont définies par les quantités
-y -> - ; -y ^3 -7; -77? V' irJ les quantités analogues par lesquelles
ppppppppp
sera déterminée la substitution composée S S' S'' seront évidemment ^' ^' ^ • Or l'hypothèse admise précédemment, savoir :
r__X î:!:!__if !!__!.
revient à supposer la substitution S^^ l'inverse de la substitution S (voir § IV) : donc toute substitution, telle que
