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se tire de S^, en y remplaçant -, ? ^ » — par trois fonctions linéaires

de ces quantités qui donnent précisément une transformation en

elle-même de la forme adjointe.

SECONDE PARTIE

INous venons de résumer tout ce que nous avons pu jusqu'à présent tirer de l'étude algébrique des formules générales de substitution par lesquelles une forme ternaire quelconque se change en elle-même. Si nous nous sommes un peu étendus sur ces considérations, c'est dans l'espoir de les lier un jour par de nouvelles recherches à l'étude arithmétique des substitutions semblables, que nous avons entreprises sous un point de vue si différent en le faisant dépendre de la réduction continuelle d'une forme ternaire définie à paramètres variables. Afin qu'on puisse mieux saisir ce qu'il y a de général dans ce point de vue, nous réunirons ici les deux questions de l'équivalence des formes décomposables en facteurs linéaires, et de l'équivalence des formes quadratiques indéfinies, traitées par le même principe arithmétique. Dans d'autres Mémoires nous donnerons les démonstrations des théorèmes que nous allons énoncer, désirant surtout en ce moment appeler l'attention du lecteur sur l'identité de la méthode appliquée à des genres de formes d'une nature si différente.

Deux formes sont dites eqiiiçalenteslorsqu^on peut obtenir l'une d'elles en faisant dans l'autre une substitution linéaire et homogène, à coefficients entiers et au déterminant un. C'est en cela du moins que consiste V équivalence arithmétique. En admettant des quantités quelconques pour les coefficients de la substitution, on aura la notion de ce qu'on peut appeler V équivalence algébrique. Dans le cas des formes quadratiques à un nombre quelconque n d'indéterminées, et des formes du /i'^°^^ degré, décomposables en

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n facteurs linéaires, un seul et même fait analytique très simple déroule de cette notion. Ces formes, en effet, sont toujours algébriquement équivalentes; les premières comme réductibles à une somme de n carrés ^^ + ^^ + • • • H- .^^i ? les secondes comme réductibles à un produit de n variables x^^ X\^ x^^ • • -, oCn-K- De là résulte, pour ces deux genres de formes, Texistence d'un seul invariant, c'est-à-dire d'une seule fonction des coefficients, qui la reproduit dans une transformée obtenue par une substitution algébrique, multipliée par une puissance donnée du déterminant de cette substitution. S'il s'agit d'une forme quadratique à n indéterminées/(^o,^i,...,^/i i), nous définirons cet invariant comme le déterminant du système linéaire

'2 dxç^ 1 dxi 2 <i^2 2 dx,i-i

Pour une forme décomposable en facteurs linéaires

F = u^u^ii, . . . ?^,7 i, OÙ l'on suppose

Ui = atXQ H- biXi -+- c/^2 +• • •-+- f^i^ii-i-,

nous le définirons comme le carré du déterminant relatif aux fonctions

Uq^ Ui^ 112-) •••7 ^^/i— !•

Dans ces deux cas l'invariant, que nous désignerons par A, se reproduira dans toute transformée, multiplié par le carré du déterminant de la substitution.

On peut particulariser la nature de l'équivalence algébrique de deux formes, en exigeant que les coefficients de la substitution soient des quantités réelles. Sous ce point de vue, les formes dont nous nous occupons n'offrent plus une seule espèce chacune, et, en supposant leurs coefficients des quantités réelles, on a les propositions suivantes :

i'^ Les formes du /i^^"^« degré, décomposables en n facteurs linéaires, sont réductibles par des substitutions algébriques réelles,

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à|(Ai+i)ou|^(/i + 2) types distincts, suivant que n est impair ou pair. L'un de ces types est encore le produit XqX^ , , -û^n-i des variables, et les autres s'obtiendront en groupant deux à deux les indéterminées, et remplaçant successivement le produit des indéterminées d'un même groupe par la somme de leurs carrés. Nous les nommerons en général types factoriels, et le nombre des facteurs d'un type, qui seront formés d'une somme de deux carrés, sera Y indice de ce type.

2° Les formes quadratiques à n indéterminées sont réductibles par des substitutions réelles à /? -h i types distincts, dont l'un est la somme x\ -\- x\ -\- . . . -\- x\^ des carrés des indéterminées, les autres s'en déduisant en faisant précéder du signe moins le carré de l'une, de deux, etc. ou de toutes les indéterminées. Nous nommerons indice d'un type quadratique le nombre des carrés qui sont ainsi précédés du signe moins.

La proposition relative à l'équivalence réelle des formes décomposables en facteurs revient à la notion élémentaire des racines réelles ou imaginaires des équations algébriques; celle qui concerne les formes quadratiques, à la distinction géométrique des diverses courbes ou surfaces du second degré, dans les cas de trois ou quatre indéterminées.

Les considérations précédentes impliquent ce théorème : que deux types différents ne peuvent être identifiés par aucune substitution réelle ; elles conduisent aussi à la recherche des conditions qui doivent être remplies par une forme pour qu'elle soit réductible à un type donné. Pour les formes quadratiques, M. Cauchya donné l'expression suivante de ces conditions. Soient /{xq^ x^j . . ., Xfi\) la forme proposée. A/ l'invariant de la forme à i indéterminées, qu'on obtient en faisant

a^i = o, a;/j i = o, ^/-i-2 = o, . . . , ccn-i = o ; le nombre des termes négatifs de la suite

Al A2 ^n-l

donnera Immédiatement l'indice du tjpe auquel appartient la forme proposée. Le premier terme Ai est le coefficient de .2?^, et il faut remarquer que, si l'une des quantités A, A/, par exemple,, vient à s'évanouir, on devra considérer les deux termes -^ et -— ^ comme donnant, l'un un signe plus et l'autre un signe moins. Remarquons qu'en appliquant la même règle à une transformée de/ les quantités Ai, A2, . . . changent toutes en général, mais de manière que le nombre des termes positifs et négatifs de la nouvelle suite soit exactement le nombre des termes positifs et négatifs de l'ancienne.

Un premier point de contact entre la théorie des formes décomposables en facteurs et la théorie des formes quadratiques consiste en ce que la connaissance des caractères propres aux divers types quadratiques, que fournit si simplement la méthode de M. Cauchj, suffit pour arriver à la distinction des types factoriels. Soit, en effet,

F =z Uq Ui. . . Un-\

la forme proposée, ut désignant la même chose qu'au § I; il est aisé de voir que les coefficients de la forme quadratique

\ao/ \aj \a.

s'exprimeront rationnellement par ceux de F. Or le type factoriel de F et le type quadratique de cp ont précisément même indice. Alors, si l'un des deux détermine l'autre, j'ajouterai la remarque suivante :

Soit co une fonction rationnelle quelconque des quantités h c k

et faisons

\ai ai ai!

quelle que soit l'indéterminée ^, les coefficients de la forme

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s'exprimeront encore rationnellement par ceux de F, où l'indice du type quadratique auquel appartient cette nouvelle forme sera l'indice du type factoriel de F, augmenté du nombre des quantités (o qui sont supérieures à z. Ainsi le nombre des quantités co qui sont comprises entre deux limites Zq et z^ sera déterminé par la différence entre l'indice du type quadratique / pour z=^ Zq et l'indice du type quadratique de la même forme pour z ^ z^.

Arrivons maintenant à la question de l'équivalence arithmétique de deux formes décomposables en facteurs, et des transformations semblables de ces formes. Cette recherche, que nous allons rapprocher de celle qui est relative aux formes quadratiques indéfinies, repose sur les principes suivants :

Désignons par mod^ u le carré du module d'un facteur linéaire quelconque de F, c'est-à-dire le carré de ce facteur, s'il est réef^ ou le produit qu'on obtient en le multipliant par le facteur conjugué s'il est imaginaire. Nous considérons en même temps avec F la forme quadratique définie

o — \l moà^ iio -h 1\ moà^Ui -\- 1% moà-u-, -i-. . .-i- 'kl-i moà^- ii,i-i.

OÙ les quantités A sont des indéterminées réelles quelconques auxquelles nous donnerons le nom à'arguments^ et nous aurons les propositions qui suivent :

i^ Concevant qu'on calcule toutes les substitutions propres à réduire cp, pour toutes les valeurs des arguments, et qu'on fasse chacune de ces substitutions dans F, on obtiendra ainsi une infinité de transformées dont nous désignerons l'ensemble par le symbole (F). Cela étant, si l'on opère de même sur une autre forme F^, et que F et F' soient arithmétiquement équivalentes, (F) et (F^) seront identiques. L'opération de réduction est faite ici dans le sens que je lui ai donné dans la troisième de mes Lettres à M. Jacobi sur la théorie des nombres.

2^ En supposant entiers les coefficients de F, ceux des formes contenues dans (F) le seront pareillement, et auront des limites

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déterminées par une seule fonction des coefficients de F, à savoir l'invariant A.

S"" Si Ton désigne par £ l'une des formes de (F), il n'j aura aucune transformation semblable de £ qui ne soit donnée par le calcul arithmétique de (F) tel que nous l'avons défini.

4" Toutes les formes F, à coefficients entiers et de même invariant A, sont réductibles à un nombre fini de classes distinctes. Une application de cette dernière conséquence, que nous allons indiquer en peu de mots, conduit à une notion importante sur les racines des équations à coefficients entiers.

Soit

a a;" -H p^«-i-+-. ..H-ô^-l-£= ol{cc — aQ)(x — ai). . .{x — an-i) — o

une équation à coefficients entiers de degré n. Représentons par A cette fonction entière des coefficients a, p, ... à laquelle les Géomètres anglais ont donné le nom de discriminant^ et qu'on peut définir ainsi

A ^ oL^in-i) (^ao— aiYiai — a^y . . . {an-2 — cin-iY,

le second membre renfermant le produit des carrés des difi'érences des racines prises deux à deux. Si Ton pose

Ui = a^o-H aiXi -j- ar ^2 -+-• • •+ <^f~^ ^«-n

et qu'on considère la forme

F := a«-i Uq Ui ^^2 • • • ^/i-i?

les coefficients de cette forme seront tous entiers; et, d'après la définition que nous avons donnée, son invariant reproduira précisément le discriminant A. Observant donc que deux équations différentes, donnant lieu à des formes F arithmétiquement équivalentes, sont réductibles l'une à l'autre par une substitution rationnelle, on arrivera à ce théorème :

Les équations numériques^ en nombre infini, pour lesquelles le discriminant a une même valeur, ne contiennent qu^un nombre essentiellement limité d^ irrationnalités distinctes.

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Considérons actuellement une forme quadratique quelconque indéfinie et à /i indéterminées. Cette forme appartiendra à un type d'indice i^ différent de zéro ; de sorte qu'on pourra trouver d'une infinité de manières /i fonctions linéaires réelles, î/qj ^i? •••? Un-\^ telles qu'on ait

Supposons d'abord connu un seul système de pareilles fonctions : tous les autres s'obtiendront en posant

et en déterminant l'expression la plus générale des quantités U par les quantités u. Cela revient à la recherche algébrique des substitutions semblables du type quadratique d'indice i. Or la méthode donnée dans mon premier article sur les formes ternaires s'applique à des formes d'un nombre quelconque d'indéterminées, et conduira à exprimer rationnellement cette substitution au moyen de ~n(n — i) quantités arbitraires (^). Nous leur donnerons le nom à^ arguments, car on va voir qu'elles jouent le même rôle que les quantités \ du § V.

En effet, nous considérons, en même temps que la forme indéfinie proposée F, la forme définie

et nous aurons les propositions suivantes :

ï° Concevant qu'on calcule toutes les substitutions propres à réduire o^ pour toutes les valeurs des arguments, et qu'on fasse chacune de ces substitutions dans F, on obtiendra ainsi une infi-

(') On pourrait, sans recourir à ma théorie, déduire ces expressions de celles qu'a données M. Cayley, pour le type d'indice zéro. Voyez, dans le Journal de Crelle, le beau Mémoire, sur les déterminants gauches, du savant géomètre anglais.

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nité de transformées dont nous désignerons l'ensemble par le symbole (F). Gela fait, si deux formes F et F^ sont arithmétiquement équivalentes, (F) et (F^) seront identiques.

i"" En supposant entiers les coefficients de F, ceux des formes contenues dans (F) le seront pareillement, et auront des limites déterminées par une seule fonction des coefficients de F, l'invariant A. Un exemple des limitations de ces coefficients a été donné dans mon premier article, pour le cas des formes ternaires.

3" Si l'on désigne par £ l'une des formes de (F), il n'j aura aucune transformation de £ en elle-même qui ne soit donnée par le calcul arithmétique de (F), tel qu'il a été défini.

4' Toutes les formes quadratiques à coefficients entiers, qui appartiennent au même tjpe et ont même invariant A, sont réductibles à un nombre fini de classes distinctes.

Depuis l'année 1847, où je rencontrais les principes de la réduction des formes définies, j'ai cherché à plusieurs reprises la démonstration rigoureuse de ce dernier théorème, et je ne suis parvenu qu'après bien des efî'orts à la théorie qu'on vient de voir. Il me reste à montrer comment, pour les formes binaires de déterminant positif qui appartiennent en même temps aux formes quadratiques indéfinies et aux formes décomposables en facteurs linéaires, on est conduit au même résultat en appliquant les principes relatifs à ces deux cas.

Ayant fait

F = kx^- -^ ilèxy -\- Cy^ = (ax -h by){a' x -\~ h' y) — uu\

nous aurons d'abord cette expression par le type quadratique binaire d'indice un^ savoir :

en posant Soient ensuite

et déterminons les constantes a, a', p, ^' de manière à obtenir identiquement

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On posera pour cela

a2~p2:^i, aa'— pp' = o, oi'^ — p ^ — i ^ d'où il sera facile de conclure

Or la forme définie cp étant elle deviendra par ces relations

cp =r:(a2-+- p2)v2|2(aa'-+- Pj3')vv'-+-(a'2| j3'2)v' = («2 4- a'2) (v2 H- v'2) H- 4aa'vv'.

Remettant maintenant au lieu de v et v^leurs valeurs en u et u', il viendra

ç = i (a2 -I- a'2) (^^2 p j^'2) ^ aa'(^^2 jr^'2) ::::= | ( a -i- a' )2 ^^2 ^ i (^ a')2 u'^ ;

ce qui est précisément la forme quadratique définie à laquelle on serait amené, d'après le § V, en considérant F comme appartenant aux formes décomposables en facteurs linéaires. (Je reprendrai, dans un Mémoire spécial, la distribution en périodes des formes de déterminant positif, pour compléter et mettre fin en quelques points à ce que j'en ai déjà dit dans un Mémoire sur l'introduction des variables continues dans la théorie des nombres.)

Pour compléter ce qui nous reste à dire des principes communs à ces deux grandes théories arithmétiques des formes quadratiques à un nombre quelconque d'indéterminées, et des formes décomposables en facteurs linéaires, nous allons exposer comment on doit concevoir l'opération de la réduction continuelle de l'une en l'autre des formes précédemment désignés par cp. Nommons 1, 4F^, £''^ . . . la série des formes contenues dans (F), F désignant soit une forme quadratique, soit une forme à facteurs linéaires, et S, S^, S'^, ... les substitutions par lesquelles on les a respectivement tirées de F.

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En effectuant chacune de ces substitutions dans cp on aura les transformées correspondantes $, $', ^^\ ..., qui seront réduites pour certaines valeurs de leurs arguments. Or, il est très facile de voir, pour l'une et l'autre des formes cp, que toute transformée telle que ^ peut s'obtenir directement par 4F, d'après le mode même de formation de cp au moyen de F. Maintenant, pour arriver à saisir l'enchaînement de ces opérations arithmétiques de réduction continuelle, lorsque les arguments prennent toutes les valeurs possibles, nous observerons que, au lieu d'opérer toujours sur cette même forme îp, pour en déduire successivement ^, <ï>^, <ï>'^, . . ., on peut concevoir l'une quelconque de ces formes, obtenue au moyen d'une autre précédemment réduite, en j introduisant les valeurs des arguments pour lesquelles elle a cessé de l'être, et lui appliquant alors la méthode générale de réduction.

Or ici est l'origine d'une notion importante, que nous allons présenter d'abord, dans le cas particulier de deux arguments variables. Imaginons que ces deux arguments soient les coordonnées d'un point rapporté sur un plan à deux axes fixes, de sorte qu'à tout point de ce plan corresponde une forme cp entièrement déterminée. Indépendamment de toute connaissance sur la nature analytique des conditions que doivent remplir les coefficients d'une forme réduite, on peut concevoir l'existence d'une courbe séparant les points du plan auxquels correspond une forme ^, toujours réduite, de ceux auxquels correspond une forme qui ne l'est plus. Cela posé, soient, à une distance infiniment voisine de cette courbe, S^, S'', ll'^\ . . ., les diverses substitutions qu'il faudra successivement employer pour réduire de nouveau ^ ; nous nommerons réduites adjacentes à <ï> les transformées ^^, ^'^, ^'^^^ . . . qu'on obtiendra en faisant ces substitutions dans ^. Et, si l'on appelle £ la forme de (F) à laquelle ^ correspond, nous donnerons le nom de formes contiguës à iF, aux transformées £' ^ £", y, . . .,

qui en résultent par les substitutions S^, S'^, S^^^, Dans le cas

général, considérons l'ensemble des valeurs des arguments pour lesquelles une forme ^ est réduite, ces valeurs étant telles que cette forme cesse de l'être lorsqu'elles subissent une variation infiniment petite. Nommons encore S^, S'^, ... la totalité des substitutions propres à réduire ^ de nouveau, dans cette hypothèse d'un changement infiniment petit dans les arguments : les réduites ad-

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jacentes seront les transformées <ï>^, *^% . . . qui résultent de <ï> par les substitutions S', S'^, ... ; et, en nommant £ la forme correspondante de <ï> dans (F), ses contiguës seront les transformées £'^ £" ^ . . . qui s'en déduisent par les mêmes substitutions.

Cette notion des réduites adjacentes conduit à imaginer la disposition graphique suivante du calcul arithmétique de la réduction continuelle de o :

Ayant représenté par les désignations abrégées <ï>, <E>^, <ï>'' , ... la série indéfinie des réduites quadratiques qui correspondent chacune à une forme de (F), nous concevrons qu'on fasse avec toutes ces formes un tableau dans lequel chacune d'elles sera immédiatement environnée de toutes celles qui kii sont adjacentes, et auxquelles on la joindra par autant de traits. De la sorte toute forme ^ se trouvera réunie par deux traits à une autre <ï>^; car <ï> ayant pour adjacente <ï>^, réciproquement ^^ aura pour adjacente <ï>. Maintenant, si l'on place sur chaque double trait une désignation abrégée de la substitution par laquelle l'une des deux formes dépend de son adjacente, on aura la réunion de tous les éléments du calcul arithmétique dont nous avons essayé de donner une image claire et sensible.

On pourra encore, dans le tableau ainsi obtenu, remplacer chaque réduite quadratique par la forme £ qui lui correspond dans (F) ; en conservant d'ailleurs toutes les indications de substitutions. De là résultera une disposition par groupes de formes contiguës, dont on va voir l'usage dans la démonstration du. théorème suivant.

Lorsque les coefficients de la forme F sont entiers, que cette forme soit quadratique ou décomposable en facteurs linéaires, il existe un nombre fini de substitutions semblables, telles qu^on peut exprimer, par les produits des puissances de ces substitutions, toutes les transformations de cette forme en ellemême.

Je dis en premier lieu qu'il suffit d'établir ce théorème pour une forme déterminée iF, de l'ensemble (F). Supposons, en effet, que F

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THÉORIE DKS FORMES QUADRATIQUES. 23l

se change en £ par la substitution S, en désignant indéfiniment par S les substitutions semblables de £ : toutes les substitutions de même nature relativement à F seront données, comme on sait, par la formule 282"^ Cela posé, admettons que S s'exprime parle produit de diverses substitutions S^, S'^, S'^^, . . ., de sorte qu'on ait

par exemple

En posant

on vérifiera de suite la relation

rr\ rp/ rri// rr\tll

On voit par là comment à toute expression de la substitution S, par un produit d'autres substitutions, correspond une expression toute semblable pour la substitution T.

Gela posé, soit <ï> la forme quadratique qui correspond à £. Cette forme sera réduite pour certaines valeurs de ses arguments; mais, en les faisant varier de nouveau, et considérant l'ensemble des substitutions qui se présentent successivement pour la réduire, nous avons fait la remarque (§ V et VI, 3") qu'il n'y avait aucune transformation de £ en elle-même qui ne soit comprise dans cet ensemble de substitutions. En partant de cette proposition, qui est fondamentale pour ce que nous allons avoir à dire, nous raisonnons comme il suit.

Supposons formé le tableau complet des formes de (F), disposé par groupes de formes contiguës, ainsi qu'on l'a expliqué plus haut. En vertu du second théorème des § V et VI, ce tableau renfermera, répétées une infinité de fois chacune, un nombre essentiellement limité de formes difi'érentes. Ainsi il s'agit de saisir, en général, par quel enchaînement de substitutions on peut toujours lier deux transformées identiques occupant dans le tableau deux places distinctes.

Pour y parvenir, nous concevrons qu'on groupe les formes du tableau de la manière suivante :

Partant d'abord de iT, nous la joindrons à toutes ses contiguës^ pour en faire un pï^emier groupe (A). Ensuite nous regarderons la totalité des formes contiguës à (A) comme formant, d'une part,

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l3l ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

(A) lui-même, et de l'autre un second groupe (B). Nous continuerons de même en regardant les formes contiguës à (A) et (B) comme formant, d'une part, (A) et (B) et, de l'autre, un troisième groupe (C). Enfin, ayant en général obtenu les groupes (A), (B), (C), ..., (R), le suivant (L) sera défini comme réunissant les formes qui, sans appartenir aux groupes précédents, leurs sont contiguës.

Cela posé, j'observe que si deux formes égales à if se présentent à deux places diff'érentes dans le tableau général, et qu'on les prenne l'une et l'autre pour points de départ d'une disposition par groupes, on arrivera identiquement aux mêmes résultats. On se rappelle, en efi'et, que toute forme quadratique ^ se déduit directement de sa correspondante if, dans l'ensemble (F); de sorte que deux transformées égales dans (F) ramènent des formes quadratiques ofi'rant les mêmes fonctions des arguments et, par suite, les mêmes opérations de réductions successives.

Gela étant, considérons les groupes successifs dans lesquels on retrouve la forme -f, qui a été prise pour point de départ. Autant de fois cette forme se trouvera reproduite dans un groupe, autant on aura de transformations en elle-même. Nommons S, S^, S'^, .. . ces substitutions. De ce que nous avons dit précédemment résulte que ce sera toujours l'une de ces substitutions qu'il faudra employer pour passer de £ (quelle que soit sa place dans le tableau) à la même forme placée dans le groupe le plus voisin. Donc, de proche en proche, on voit que la substitution à faire pour passer généralement de iF à la même forme, placée en tout autre point, résultera nécessairement de la combinaison successive des substitutions fondamentales S, S', S'^, ....

Il est possible de réduire de moitié le nombre de ces substitutions fondamentales ; car on démontre immédiatement, comme conséquence de la manière dont elles ont été obtenues, qu'on y trouve simultanément S et S~% S' et S^~^, .... Mais c'est seulement pour les formes dé'composables en facteurs linéaires que j'ai pu obtenir l'expression du nombre des substitutions fondamentales, entièrement indépendantes. Il est alors le même que celui des arguments

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essentiellement distincts dans la forme quadratique cp, c'est-à-dire, comme nous l'avons annoncé au commencement de ce Mémoire, la somme diminuée d'une unité du nombre des facteurs linéaires réels et du nombre des couples de facteurs imaginaires conjugués. La démonstration de ce théorème (^) sera pour nous l'objet d'un Mémoire particulier, dans lequel nous montrerons comment nos principes s'appliquent à l'étude des équations algébriques dont les coefficients sont des nombres entiers. Nous terminerons en remarquant que la présence d'un nombre illimité d'entiers arbitraires dans les transformations semblables des formes ternaires résulte des considérations précédentes. Car en supposant, pour fixer les idées, deux substitutions fondamentales S et S^, l'expression générale des transformations semblables serait de la forme

m, /z, /?, q étant des entiers positifs ou négatifs. Or aucune réduction ne saurait avoir lieu entre les nombres m, n^ . . ., à cause de l'impossibilité de permuter deux substitutions distinctes, comme nous l'avons démontrée (§ IX, i^*' partie).

Paris, juin i853.

( ') II ne semble pas que M. Hermite soit jamais revenu sur ce théorème, qui présente une grande analogie avec le théorème de Dirichlet sur le nombre des unités complexes fondamentales dans un corps algébrique. E. P.

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