SECOND MÉMOIRE
On sait avec quelle facilité on a pu étendre aux nombres complexes de la forme a-\-h'\j — i la plupart des notions arithmétiques fondamentales relatives aux nombres entiers réels. Ainsi , des propositions élémentaires qui se rapportent à la divisibilité, on est parvenu rapidement jusqu'à ces propriétés plus profondes et plus cachées qui reposent sur la considération des formes quadratiques, sans rien changer d'essentiel aux principes des méthodes propres aux nombres réels. Il est cependant certaines circonstances où cette extension paraît exiger des principes nouveaux, et où Ton se trouve amené à suivre, dans plusieurs directions différentes, l'analogie entre les deux ordres de considérations arithmétiques. Nous nous proposons d'en offrir ici un exemple, auquel nous avons été conduit en étudiant la représentation d'un nombre par une somme de quatre carrés. Voici d'abord la méthode nouvelle que nous avons suivie dans cette question.
Désignons par A un nombre entier impair ou impair ement pair ; nous commencerons par établir la possibilité de la con-
gruence
x'"' -Hj2 i I = o (mod A).
A cet effet, soit d'abord
A ^- £ (mod 4)j
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£ représentant +i ou — i. La progression arithmétique ayant
pour terme général
ne contiendra que des nombres ^ i (mod 4), puisque
izk — I E^ 2£- — r = i (mod 4).
J'observe ensuite que le premier terme, âsA — i, et la raison 4 A sont premiers entre eux, car on a identiquement
4AA — (2£A— i)(2£A4- i) = I.
Donc, d'après le théorème démontré par M. Dirichlet, cette progression contiendra une infinité de nombres premiers qui seront ^ i (mod 4)j et, par suite, décomposables en deux carrés. On pourra faire ainsi, pour une infinité de valeurs de ^,
4A2-4-2SA — I ~ x^ -^y^',
d'où l'on conclura
cc^ -h y'^ -h i ^ o (mod A).
Soit, en second lieu,
A =s 2 (mod 4)-
Tout ce qui précède subsistera relativement à la nouvelle progression ayant pour terme général
Ainsi, la possibilité de la congruence
^2^j2|j^Q (mod A)
se trouve établie, pour tout module Impair ou double d'un nombre impair.
Considérons maintenant la forme quadratique définie à quatre indéterminées
/= (A^H-axîH- p^^)2-f-(A7-f-a^^— p^)2-^z2^ u^-, OÙ les nombres entiers a et j3 satisfont à la condition
a^ -+- p2 | X = o (mod. A).
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L'invariant A de cette forme sera, en valeur absolue, A^ ; car il s'obtiendra en multipliant l'invariant de
qui est V unité ^ par le carré du déterminant de la substitution linéaire
kx -^ CLZ -hpW — X,
Ky -ha^^— p^=Y,
et l'on trouve bien facilement que ce déterminant est A^. Cela étant, cherchons, pour des valeurs entières des indéterminées, le minimum de cette forme. D'après un théorème que j'ai donné en général {voir mes Lettres à M. Jacobi), il sera au-dessous de la
limite (^)^ y/Â", et, par suite, d'après la valeur de A, moindre que 2 A. Mais il est aisé de reconnaître que les nombres représentables par /sont nécessairement ^ o (mod A); donc ce minimum ne peut qu'être A lui-même, qui se trouvera ainsi décomposé en une somme de quatre carrés.
On peut rapprocher la démonstration précédente des méthodes relatives à la représentation des nombres par les formes quadratiques binaires, en la présentant sous le point de vue suivant. La forme
-jrf= A.(^- -^y^) -+- i^{zx -^ yu) -^ i^{xu — zy) H ~ {z'^ -\- u^)
a ses coefficients entiers, et pour invariant V unité. Elle est donc équivalente à
réduite unique qu'on obtient pour les formes quaternaires définies dont l'invariant est un. Soit donc
X = mx -I- m'y -+- rn!' z -h m" u.
Y = nx -^ n' y H- n!' z h- n" u^ Z = px -f- p' y -i- p" z -h p" u.
\] = qx -{- q' y -h q" z -f- q'" u
une transformation de Tune de ces formes dans raiitre : on trouvera, en comparant les coefficients de x'^ et y-^ les représentations suivantes du nombre A, par une somme de quatre carrés :
A = 77i2 -H 7i2 -1-^2 u qt^
A — /72'2 -4- Al'^ -\- /?'2 -\- ^'2.
Pour décomposer en deux carrés un nombre A, relativement auquel — I est résidu quadratique, il faudrait de même considérer la
forme
A ^2 j 2 a ^JK H 7- — y- ,
OÙ l'on suppose
a2 -H I = o (mod A),
et la substitution qui la lie à sa réduite X-H-Y^. Mais les considérations suivantes rattacheront à un ordre d'idées plus générales l'analogie que nous indiquons entre ces deux questions.
Représentons par (^ et çv les variables imaginaires
ce -h y \/— l, z -h- u ^— l,
et par Çq et iv^ leurs conjuguées
X — y y/ — I , z — u sj ■ — i . Soit de même
Vo - X — Y v/-=^ , Wo = Z — U v^^^,
on pourra distinguer dans l'ensemble des substitutions réelles entre les deux groupes de variables x^ y^ z^ u d'une part, X, Y, Z, U de l'autre, celles qui sont exprimables ainsi :
Po = «oVo -^ ^oWo, t^o == CqVo -4- <^oWo,
OÙ a, Z>, c, d sont encore des quantités imaginaires quelconques, et ^0, ^oj Cq^ (io^eurs conjuguées respectives. On obtient de la
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sorte une classe parfaitement définie de substitutions réelles, par rapport auxquelles on peut se poser les questions fondamentales de la comparaison des formes quaternaires : les deux problèmes de l'équivalence algébrique, de l'équivalence arithmétique et de la représentation des nombres par ces formes. Pour l'objet que nous avons en vue en ce moment, nous nous bornerons aux formes quadratiques suivantes :
f = A vÇq -4- B çwq -f- Bo wçq -f- G wwq,
dans lesquelles les coefficients extrêmes A et G sont supposés réels, tandis que les coefficients moyens B, Bq sont des quantités imaginaires conjuguées. Considérées par rapport aux variables primitives ^', y, z, u^ ces formes sont entièrement réelles, mais leur étude, au point de vue des substitutions que nous avons précédemment définies, repose essentiellement sur l'emploi des nombres complexes. On est alors conduit à leur attribuer un mode d'existence singulièrement analogue à celui des formes quadratiques binaires, bien qu'elles contiennent essentiellement quatre indéterminées.
Les considérations suivantes, que nous présentons comme une première esquisse d'une théorie vaste et féconde sur laquelle nous reviendrons à l'avenir, offriront plusieurs exemples de cette étroite analogie avec les formes binaires; mais on y verra en même temps le germe de notions arithmétiques toutes nouvelles, qui méritent peut-être de fixer un instant l'attention des Géomètres.
Le fait algébrique, sur lequel repose en entier la théorie des
formes
y* = A ç^po + B (^ Wo -H Bq uvç^ -f- G uu^,
consiste en ce que la substitution
t^= cV H- <f U, Wq— CoVo M- <3^oUo
conduit à une transformée semblable
F == 51 VVo -f- 13 YUo -H JBo UVo -H C UUo,
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dans laquelle les coefficients extrêmes 5t et € sont réels comme A et G, les coefficients moyens 13 et Bo étant des quantités imaginaires conjuguées comme B et Bq. On a^ en effet,
% r=Aa:ao + B a Cq -t-Bo^qC -i- Ce Cq=^ f{a, c\ ao, Cq),
13 =A<^^o + B a do-i-B^cbo ~h Ce do~ a -—■ -\~ c —y
do od
3l3o — A ao 6 4- Bo ao <i -H B Co 6 -f- G Cq <^ — «o ^ -+- Co — ?
ôùQ ôdo
e =Ab èoH-B b do-^-B^b^d ^~Gddo== f{b,d; b^, d^),
et ce que nous disons résulte immédiatement de ces formules. On en tire ensuite les conséquences suivantes :
i^ On a le théorème
Mo — %€= {ad—bc)(aodo — boC^) (BBo — AG).
Ainsi l'expression BBq — AG jouera dans notre théorie le rôle d'mvariant. Nous la désignerons par A.
'i"" Nommant /n et 72 deux constantes imaginaires quelconques, /?2o et /2o leurs conjuguées, et posant
df df ., df df ^,
nv — mu = U, n^^Q — m^UQ — Uo,
ce qui sera une substitution comprise dans la forme analytique générale des substitutions (i), je dis qu'on aura
/(p, u\ Vq, UQ)f{m, n; niQ, tiq) = Wq — AUUo.
Effectivement, cette relation n'est autre que celle du théorème précédent, dans laquelle on a mis ç et u au lieu de a et c^ m et n au lieu de b et d. Nous allons voir qu'elle donne tout ce qui concerne l'équivalence algébrique des formes/.
Supposons d'abord A positifs et mettons Vy/A au lieu de V, il faudra au lieu de Vq prendre Vq \/^j et alors la forme / deviendra
A(VVo-UUo)
/{m, n; niQ, tIq) Mais, si A est négatif, en remplaçant V par Vy/A, il faudra
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24o ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.
mettre — Vq y/^ pour la quantité conjuguée, et alors / deviendra
-A(VVo-f-UUo) /(m, 71 ; mo, tiq )
Enfin, par une nouvelle substitution qui consistera à multiplier V et U d'une part, Vq et Uo de l'autre, par un facteur et son conjugué, on obtiendra, au lieu des deux formes précédentes, celles-ci :
± (VVo - UUo), ± (VVo H- UUo).
Nous en conclurons ce théorème :
Les formes f peuvent toujours par les substitutions (i) être ramenées à F un des trois types quadratiques quaternaires, d'indice zéro, d'indice deux ou d' indice quatre.
Ce qui précède montre que les formes /' sont définies ou indéfinies, suivant que A est négatif ou positif. Nous pourrions aussi en conclure que, relativement aux substitutions (i), elles ne sauraient avoir d'autre invariant que la fonction A ou ses puissances. Mais, pour abréger, nous arrivons immédiatement aux principes relatifs à la représentation des nombres.
Rappelons d'abord qu'en désignant par m et n deux entiers complexes sans diviseurs communs, on peut toujours trouver deux autres nombres complexes ui et v, tels qu'on ait
Car, si l'on cherche par le procédé de M. Dirichlet le plus grand commun diviseur entre m et ^, il est aisé de voir qu'un reste de rang quelconque dans cette opération s'exprime toujours par une somme de multiples complexes des nombres m el n. Le dernier de ces restes ayant, dans le cas présent, V unité pour norme, pourra donc s'obtenir sous la même forme; d'où se conclut de suite la possibilité de la relation proposée. Cela étant, nous aurons les théorèmes qui suivent :
i"" Si un nombre M peut être représenté par la forme /, de manière que les valeurs complexes des indéterminées v et u,
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i^o et Uq soient premières entre elles, V invariant A sera congru suis^ant le module M à /a somme de deux carrés.
Supposant en effet et déterminant [ji et v par la relation
l'équation déjà considérée f{m,n: ^o, ^o)/( (^, v; f^o,Vo)
donnera
A^ (m -j^ -\- n -4-] (niç, ~L -^ n^ -L \ ( mod M).
Or le second membre, étant la norme de l'expression m-~- + ri-^ , est une somme de deux carrés.
Nous voyons par là qu'à toute représentation propre de M par la forme / est attachée une solution de la congruence
^2|j2=^^ (mod M)
en prenant
/ df df
-^ ^ d\L di
D'ailleurs, quels que soient {jl et v dans la relation mv — /zp. = i , les diverses valeurs qui en résulteront pour ^ et j^ seront congrues suivant le module M.
2^ Si le nombre M. peut être représenté par /, en donnant aux indéterminées ç et u les valeurs premières entre elles m et n, et à leurs conjuguées les valeurs m^, no, et que le nombre complexe
soit la valeur de V expression
df df
dit. av
les deux formes
f et F = MVVo-f-(^-i-jv/^)VUo-4-(a7-j/v/^)UVo-î-^'"^^'"^UUo H. — I. i6
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seront arithmétiquement équivalentes par la substitution
u= nY -i- vV, t^o = no Vo -I- Vo Uo,
OÙ les entiers complexes m^ n^ a, v vérifieront la relation
?nv ~ n\L — i.
3'' On remarquera la complète identité des théorèmes qui précèdent avec ceux des paragraphes 154, 155 et 168 de l'Ouvrage de M. Gauss. Il en résulte qu'il n'est aucune représentation propre de M par la forme / qui ne puisse s'obtenir en calculant toutes les expressions
F ^ Mvvo + (^ +7 v/^) vuo + U - j^ v/=^) Vo û 4- ^l:^-::!^ uuo
composées avec le nombre M et les entiers complexes x~\-y\J — i, solutions de la congruence
^2^^2=^A (modM),
et cherchant ensuite les transformations de / en chacune de ces formes. Et toutes ces représentations seront distinctes, si les formules de transformation sont comme ci-dessus :
V — m V -+- [ JL U ,
c^o == ^îqVo -f- H-oUo,
u — nY -\- vU,
iiç^ = no Yq M- vo Uo,
les entiers m, /2, jj., v vérifiant toujours la condition
771 y /Z [JL = -h I .
Après avoir fondé sur des principes identiques à ceux de M. Gauss, pour les formes binaires, les éléments de notre théorie, nous pourrons cependant voir se présenter déjà deux notions arithmétiques nouvelles et qui lui sont entièrement propres. La première consiste dans les divers ordres d'équivalence auxquels conduisent les substitutions
ç =r- mY -i- iJ,l] , çç, = moY^-^ ixqVo, u = n Y -^ ylJ ^ Lio = no Vq -f- vq Uo,
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d'après les conditions
mv -
-nix =
mv -
~nix=^
mv -
-niJ.=
mv -
Nous réservons pour un autre Mémoire l'étude approfondie des trois ordres d'équivalence impropre. La seconde, que nous voulons étudier dès à présent, consiste dans la forme nouvelle que vient prendre ici le caractère quadratique d'un nombre par rapport à un autre ; car, au lieu de la congruence
^2 = A (modM)
de la théorie des formes binaires, nous avons la suivante :
cci -^y2~ A (mod M).
Pour plus de généralité, nous considérerons l'équation
cc^-hKy^ = ^ (modM),
qui se présenterait dans la théorie des formes analogues à/, mais où l'on introduirait des nombres complexes x -^ysj — A au lieu des nombres x -^ y \J — i. La possibilité de la résolution, et, ce qui est plus difficile, la recherche du nombre total des solutions, reposent sur les lemmes suivants :
i^ Une congruence à un nombre quelconque dHnconnueSj et dont le module est un nombre composé, peut toujours être ramenée au cas où le module est premier, ou une puissance d\in nombre premier .
Soit, pour fixer les idées, ç(^, j) une fonction entière et à
coefficients entiers de deux inconnues x et y ^ et considérons le
cas de la congruence
!p(^, j^) = o (modM).
Si l'on nomme ses diverses solutions
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tous les systèmes de nombres entiers qui rendent la fonction cp divisible par M seront renfermés dans les formules
^ = ^2 -H MX, jK=72 4-MY,
On aura pareillement tous les systèmes qui rendent la fonction cp divisible par un autre entier M^, au moyen des solutions de la con-
gruence
cp(^, y) = o (mod M'),
que nous représenterons par
Cela posé, s'il est possible de rendre la fonction cp divisible à la fois par M et M^, il faudra que l'un des systèmes (A), par exemple
X = X/c'^- MX, J := JKA: H- MY,
coïncide avec l'un des systèmes semblables déduit des formules (A^),
par exemple
^-:ri. + M'X', y=y,'-^M'T,
D'ailleurs, si l'on peut obtenir simultanément
■ Xk-\-MX = x'f,' -\- M'X', yk + Wi^^y'j.-^ M'Y'
pour des valeurs entières de X, X^, Y, Y', on rendra la fonction co divisible à la fois par M et M^, et, conséquemment, s'ils sont premiers entre eux, par leur produit. Or, en nous plaçant dans ce cas, on pourra déterminer deux nombres entiers Mq, M^,
de manière à avoir
MMo — M'M'o-- I,
et, si Ton fait
X = {x'f^'^Xk) Mo + $M', Y = {/f^^-y,^) Mo -h rjM', X'=(^V-^A:)MJ + ^M, Y'=:(yi,~jK/,)M;H-TiM.
on trouvera, quels que soient les entiers arbitraires ^ et Tj,
x;,-{-MX = x). -f- M'X' et yu -H MY - y'j,' + M'Y'.
Ce qui précède subsistant évidemment, quel que soit le nombre des inconnues de la congruence, montre, comme nous l'avons annoncé, qu'il suffit de savoir la résoudre lorsque le module est premier, ou une puissance d'un nombre premier.
2^ Si Von désigne par [jl et ^ les nombres de solutions de la congruence
pour les modules M et M', qu^on suppose essentiellement premiers entre eux, ap.^ sera le nombre des solutions de la congruence
o{x,y) = o (mod MM').
Il résulte en effet des valeurs qu'on vient d'obtenir pour X, X', Y, Y^ les relations
^,. + MX-^i.-hM'X'^^l.MMo-^A^M'M'o )
> (mod MM ),
j.;,H-MY-ji.-4-M'Y'=jVMMo-y;tM'M'o )
de sorte qu'en combinant les a formules (A) avec les ;j.' formules (A^), on aura les p.uL^ systèmes de nombres
œ = x'k'mii, - ^/-m'm;, y = r/.'MMo —7/, M' m;,
qui offriront des solutions de la congruence proposée suivant le module MM^ Or je dis qu'on n'aura jamais à la fois
^;^.MMo-^A:M'M;^^;.MMo-^,-M'MJ ) ^ MM'^.
\ (mod MM )
jr;^.MMo-:KA^M'M;E^j;vMMo-7.-M'M'o (
car, suivant le module M d'abord, en observant que M^MJ,^ — i, on en conclurait
X}^ ^ ^ij
yk = yu et ensuite, suivant le module M^, les mêmes relations donneraient
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On voit qu'on n'aurait pas opéré, comme il faut le supposer, sur deux systèmes (^a, y/,), {x,,,^ y'j,)^ et {xt^ yi), {x\,^y[,) distincts l'un de l'autre.
3° En supposant la congruence o(jr, y) ^ o soluble pour un module premier, /?, elle le sera également pour le module p^^ si la fonction o est telle qu^on ne puisse avoir à la
fois
Dans ce cas^ en désignant par t: le nombre des solutions pour le module p^ le nombre des solutions pour le module p^ sera.
Représentons indéfiniment par^^E Ç, j^ ^ y^ les solutions de la congruence
T(^.7) = o (mod/?«),
tous les systèmes de nombres entiers, rendant la fonction cp divisible par p", seront compris dans les formules
Cela étant, je dis que sous les conditions énoncées il est possible de résoudre la même congruence suivant le module p^^^ . Effectivement, on pourra déterminer pour X et Y des valeurs telles que
soit divisible par p'^'^^ ; car, en développant, on voit qu'il suffira de rendre divisible par^ l'ensemble des termes
p^^^^ d^ ^ dr^'
et cela sera toujours possible, si l'on n'a jamais simultanément
d^ do /IN
car l'équation indéterminée
p'' ^ d\ drx ^
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sera alors résoluble en nombres entiers. Soit X = Xo, Y = Yq, un système quelconque de valeurs pour les inconnues X et Y, il est aisé de voir que toutes les solutions possibles seront données par les formules
7 (mod/>),
et que les valeurs de l'indéterminée t^ non congrues suivant le module /?, donneront autant de solutions distinctes. De là résulte cette expression des solutions de la congruence
cp(^,jK)^o (modjo'i+1 j;
et comme on peut donner à t les valeurs o, 1,2, ...,/? — i , on voit qu'en désignant par t:^^^ le nombre des solutions pour le module p^j le nombre des solutions pour le module /?"+^ sera ^(/z+0 - p-^iin) . (J'q{i i'qj^ conclut, comme nous l'avons annoncé.
Les théorèmes précédents conduisent à une expression générale du nombre des solutions de la congruence cp(^,j/)E^o suivant un module composé quelconque, lorsqu'on connaît les nombres de solutions pour des modules premiers. Soit, en effet,
U=p'^p-^,..pl^
l'expression du module décomposé en ses facteurs premiers, et iz^ TTi , . . . , Ttto les nombres de solutions de la congruence proposée suivant les modules/?, /?i, . . . , pi^^ on trouvera pour le nombre [^^ des solutions suivant le module M la valeur suivante :
jjl =pn-\ 71 X />"'■"' TTi . . . X p'l^~'^ 1^0)-
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On aura
Pour des congruences à un nombre k d'inconnues , on aurait la formule analogue
TCTTi . . . TTjj^
