IX = M

{ppi...po,)^-'

Nous allons en faire l'application à la congrtience particulière que nous avions principalement en vue, savoir

a;^-}~Ay^ = \ (modM).

Alors la détermination des nombres t:, 7:1, ... exige qu'on distingue deux cas, suivant que — A est non résidu ou résidu de /?. Nous allons les traiter successivement.

i"" — A non résidu de p. — Dans ce cas, A lui-même peut être résidu ou non résidu de/>, de sorte qu'on peut supposer

A = «2 ou A= — Aa2 (mod/?);

d'où ces deux formes de congruences

^2 4-AjK^=a2 et ^2| Aj/2 ~ — Aa^ (modjo).

Or, en faisant dans la première,

X ^^ a^, y ^^ aq (mod/)),

et, dans la seconde,

^=Aar;, y ^ a^ (mod/?).

elles deviendront respectivement

^2-+-A-r]2 = I et ^2^Ay]2= — T.

Cela posé, — A étant non résidu de/?, on aura

(^-hTj ^—Ay~^ — rii/—A (mod/)),

d'où

Toutes les solutions des congruences proposées seront donc données par les /? + i nombres complexes ? +v] y^— A, qui satis-

font à l'une ou à l'autre des congruences binômes

^p+i ES I et ^p+ir^— I (modp).

Dans les deux cas le nombre tt des solutions de la proposée,

suivant le module premier />, suivant lequel — A est non résidu,

sera donc

Tï — /) -f- ï.

2"" — A résidu de p. — Nous pouvons ici donner une méthode plus générale, n'exigeant pas comme tout à l'heure que le module soit un nombre premier. Supposant, en effet, — A résidu d'un nombre entier quelconque M, on pourra trouver une représentation propre de ce nombre, ou d'un de ses multiples, par la forme principale, X- + AjK^. Soient KM ce multiple, N une valeur de l'expression

sj"^^~K (modKM)

et

^^^ ~ KM ' les deux formes

x-^-\~Xy'- et KMX2-f-2NXY4-M'Y-^

seront équivalentes. Or, soit

^ = aX-+-pY, j^ = yX+SY

une transformation de l'une dans l'autre. En effectuant cette substitution dans la congruence proposée, elle deviendra

2 NXY + M' Y2 — A (mod M).

Gfela étant, on voit qu'on peut attribuer à Y une valeur entière quelconque, mais sans diviseur commun avec le module M, et qu'on trouvera une valeur entière correspondante pour X, par la congruence du premier degré

2NXY EEE A — M'Y2 (modM).

Cette congruence sera effectivement soluble, si 2N est aussi premier avec M; ce qui revient à supposer le module impair et le

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25o OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

nombre A sans facteurs communs avec ce module , comme on le

voit par la condition

N2 + A = o (modM).

La congruence proposée admettra donc autant de solutions qu'il j a de nombres moindres que M, et premiers avec M, car on ne pourra jamais avoir

' ^ (modIVn

^X-4-8YE^YX'H-aY' ) ^

qu'en supposant à la fois

c'est-à-dire qu'aux solutions distinctes de la transformée en X et \ correspondent nécessairement des solutions distinctes de la congruence proposée.

Ce qui précède conduit à la valeur suivante du nombre |i. des solutions pour un module M, par rapport auquel — A est résidu. Supposant

on aura

En combinant ensuite ce résultat avec celui qui a été obtenu précédemment pour les modules relativement auxquels — A est non résidu, on arrive à l'expression générale du nombre des solutions que nous voulions obtenir. Si l'on suppose toujours

on trouvera sans peine pour cette expression générale Ja forme suivante :

PPi-"Più

dans laquelle ( ) est + i ou — ^ i , suivant que — A est résidu

ou non résidu du nombre premier p.

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tx.

Les principes relatifs à la représentation des nombres par les formes quaternaires, que nous étudions dans ce Mémoire, nous conduisent à la question de l'équivalence arithmétique de ces formes. Dans cette nouvelle recherche, nous pourrons suivre encore longtemps l'analogie qui nous a déjà servi de guide, et l'on va voir s'établir par là de nouveaux rapports entre la théorie des nombres réels et celle des nombres complexes.

Nous obtiendrons, en effet, pour la réduction des formes /", lorsqu'elles sont définies, des résultats entièrement semblables à ceux qui concernent les formes binaires de déterminant négatif. Puis, en faisant de ces résultats les éléments de principes nouveaux pour l'étude des fonctions homogènes à deux indéterminées et à coefficients complexes, nous donnerons un nouvel exemple de l'identité des méthodes relatives aux nombres réels et aux nombres complexes. Dans ce champ si vaste de recherches, nous nous proposerons surtout de revenir sur l'étude des formes du second degré, qui ont été déjà l'objet d'un Mémoire important de M. Dirichlet. Le travail du savant géomètre laissant de côté la question difficile de la distribution en périodes de ces formes de même déterminant, j'essaierai dans un Mémoire spécial de combler cette lacune. On aura d'ailleurs, par ce que nous dirons plus bas des fractions continues complexes, une idée des fractions que nous emploierons.

i^ A toute forme définie ce coefficients quelconcjues

f — Kççq-\-B {^Uq -\-BqVqU -^ G uuq

correspond toujours une transformée arithmétiquement équivalente

F :.^ iVVVo -h |3VUo-+- l^oVoU -H CUUo,

telle que % soit non plus grand que ar, et qu^ en faisant 1^ — m -^ n \J— I , ^0= m — n sj ~ i ,

on aitj abstraction faite des signes.

im^ %,

'l5l OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

Concevons qu'on effectue dans/ toutes les substitutions

où a, h, c, d désignent indéfiniment des entiers complexes au déterminant ad — bc^i, et ao, ^o, <^oj ^o leurs conjugués respectifs. Cela étant, formons un premier groupe dans l'ensemble des transformées ainsi obtenues, de celles où le coefficient de Wq est le plus petit possible; puis, dans ce groupe, considérons toutes celles où le coefficient de UUo est lui-même un minimum. Je dis que la forme unique, ou les diverses formes auxquelles on parviendra de la sorte, vérifieront les conditions énoncées. Supposons, en effet, que Tune d'elles soit

F = iVVYo -4- '0 VUoH- l3oUVo -H CUUo et qu'on ait

Désignons par [ji et v deux quantités dont la valeur absolue soit l'unité, et qui aient respectivement le même signe que jn et n; si l'on fait dans F la substitution au déterminant un

on trouvera une transformée

F'=^'V'V'oH-l3'V'u;-4-i5;v'oU'4-ru'u'o,

dans laquelle

Or il suit, de la manière même dont F a été définie et obtenue, qu'on aura nécessairement

et cette dernière inégalité revient à

Considérons en second lieu la substitution

qui est encore au déterminant iin^ on arrivera tout à fait de même à la condition

Ainsi notre théorème est démontré.

Nous donnerons le nom de réduites aux formes F, qui vérifient les conditions précédentes, et nous réservons pour la suite de ces recherches la discussion complète des divers cas dans lesquels deux formes réduites sont équivalentes sans être identiques, cette discussion étant intimement liée à celle des divers ordres d'équivalence impropre dont nous avons parlé plus haut.

i"^ Les conditions qui viennent d'être établies conduisent immédiatement à la suivante :

et a fortiori

On en conclut ou encore

aCîK 2(AG — BBo),

puisque F et / ont même invariant. Cette notion d'invariant, si facile à obtenir, est au reste la seule que supposent les théorèmes que nous venons d'établir, et qui donnent lieu à une longue suite de conséquences, comme nous pensons l'avoir déjà montré à propos des formes binaires dans notre Mémoire sur l'introduction des variables continues dans la théorie des nombres. Suivant ici une marche analogue, nous allons traiter en premier lieu les questions relatives à l'approximation des quantités imaginaires quelconques, par des fractions rationnelles complexes. Considérons, pour cela, la forme suivante :

dans laquelle a est une quantité imaginaire, a^ sa conjuguée, et S une quantité réelle quelconque. Soit

F = 2VYVo+ 13 VUo-f- l3o VoU + €UUo sa réduite, et

II— nY-r-yV, Uo~ no'^o-^voUo

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la substitution propre à l'obtenir. La condition %€ <C — ^^ donne pour le coefficient minimum 51 la limite y/ — 2 A. On a, d'ailleurs^

ainsi, pour une valeur quelconque donnée à S, on peut toujours déterminer deux entiers complexes, m et n^ tels qu'on ait

{m — an){?7io~ a^na) ^ -^— < -^.

On tire de là les conséquences suivantes. Premièrement, les expressions

{m — an){mQ— aoriQ) et -^?

étant essentiellement positives, on a a fortiori

(A.) {m — an){jn(^ — <^o'^o)<-y-^ ~f ^ T ^^ /^/^o<ôv/2.

Secondement, le produit des mêmes expressions étant moindre que le carré de leur demi-somme, on aura encore a fortiori

ou bi

et

{m — an){ m^ ~ a^ iiq ) x -^— - < -1^ »

{m — an){mo — ciq/Iq) <

^ / V ^0 / 'in^^ n

Or la première relation (A) montre qu'étant donnée une quantité imaginaire quelconque a, on peut toujours en approcher par

une fraction rationnelle complexe — j. de telle manière que la norme

de 771 — an soit moindre que toute quantité donnée.

La seconde relation (A) donne l'ordre de grandeur du dénominateur de la fraction lorsqu'on fixe au-dessous de quelle limite doit se trouver la norme de m — an.

La relation (B) donne d'une manière précise la limite de l'er-

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reur a, à quelque valeur de S que corresponde l'approximation obtenue.

D'un autre côté, si nous observons que, quel que soit 8, les entiers complexes m et n donnent le minimum de f, nous serons amenés à cette nouvelle conséquence :

// n'existe aucun système de deux autres nombres complexes , m! et n' ^ tels que, la norme de n' étant moindre que la norme de n^ la norme de m' — an' soit aussi moindre que celle de m — an.

Ainsi l'expression (m — an) [m^ — ci^n^) représente un minimum de l'expression ((^ — au) ((^o — ctoU^) relativement à toute valeur complexe entière n dont la norme ne dépasse pas une limite donnée. On peut encore dire que — approche plus de a que toute fraction dont le dénominateur aurait une norme moindre ; car, l'hypothèse

n' n'^^ < n/io, entraînant

( m' — an ) {m'^ — a^ n'^) > {m — an ) ( /?2o — cinç^)^

on en déduit, en divisant membre à membre les inégalités qui sont de sens contraire,

f m' \ / m norme — j — «^ > norme

Nous pouvons enfin établir d'une manière complète et rigoureuse un théorème sur les fractions — » que j'ai déjà donné dans mes Lettres à M. Jacobi sur la théorie des nombres.

Considérons deux minima consécutifs de la forme /, auxquels correspondent les deux systèmes d'entiers complexes

p r= m, u ^= n\ (^ = jn\ u =^ n' \

on pourra concevoir deux valeurs infiniment voisines de S, auxquelles appartiennent successivement les deux systèmes, de telle sorte qu'en désignant par s une quantité infiniment petite, on ait

{m — an ) ( /?io — «o ^o ) H ^ < "^ ■»

{m — an') ( mo — «o^o)"^ p ^ .^ < ^ . ^-

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Mettons cette seconde inéeralité sous la forme

{m' — an') (m'^ — «^o'^o) "

'f\ étant encore infiniment petit, et multiplions-la membre à membre avec la première. En faisant dans l'équation identique suivante :

(MMo 4- NNo) (M'M'o H- N'N; )

= (MM'o -f- NNi ) (MoM'-h NoN') -+- (M'N — MN') ( M; No— MoN'o )

(qu'on trouve en cherchant le produit des déterminants

No Mo

n; M'o qui figure dans le second membre) :

et

= m — an,

Mo = mo —

aoAio,

= 7n' — an',

Mi = ni'^ —

■i-^ 0 — • "TT >

No --g-,

le produit des premiers membres prendra la forme

norme \{m — an){niQ — «o^o) ^ ^ ~^ ^ norme {mn — m' n),

le produit des seconds membres étant

Or, en négligeant r\ vis-à-vis des quantités finies, on en conclura, après avoir multiplié par S-,

norme {mn' — m' n) < 2, et, puisque m, /i, m' ^ n' sont des entiers complexes ( ' ), norme {mn' — m' n) =^ i.

(^) On peut se demander pourquoi M. Hermite ne considère pas comme possible l'égalité normQ {mn' — m' n) = 1. En réalité, cette égalité pourrait avoir lieu, mais alors il serait possible d'introduire une approximation intermédiaire satisfaisant à la condition cherchée. E. P.

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Cette relation entre les fractions qui correspondent à deux approximations consécutives rattache complètement la théorie présente à la théorie élémentaire des fractions continues. Les principes sur lesquels nous nous sommes fondés ont donné bien rapidement^ comme on voit, l'extension de cette théorie aux nombres complexes. La marche plus naturelle qui consisterait à prendre le point de départ dans le procédé donné par M. Dirichlet pour obtenir le plus grand commun diviseur entre deux quantités complexes serait au contraire sujette à de nombreuses difficultés. Il nous semble particulièrement impossible d'établir simplement, en se plaçant à ce point de vue, les propriétés de minimum des expressions m — a/1, a : propriétés caractéristiques du mode

d'approximation des quantités réelles par les fractions continues, et que donne tout d'abord notre méthode. Quant au théorème exprimé par la relation

( 7?i — an) { /?io — a^rio) '

•iri/iQ

M. Dirichlet l'a donné avec une limite numérique moins précise dans son admirable Mémoire sur la théorie des formes quadratiques à coefficients et indéterminées complexes. Le procédé, si ingénieux et si simple, employé dans cette occasion par l'illustre analyste, tout en conduisant par la voie la plus rapide à un résultat important, ne me semble pas pouvoir donner les rapports qui existent entre deux approximations consécutives, et qu'il faut cependant obtenir pour mettre dans toute son évidence l'analogie entre les nombres réels et les nombres complexes.

3'' Les formes f, à coefficients entiers et de même invariant, peuvent être distribuées en un nombre fini de classes.

Les limitations données précédemment pour les coefficients des formes réduites font voir, en effet, que le nombre de ces réduites est essentiellement fini pour un invariant donné. On les trouvera toutes d'ailleurs par la méthode suivante :

Soit A l'invariant proposé, et considérons, pour fixer les idées,

seulement les iovva^^ positives. On prendra pour % tous les nombres

entiers réels qui ne surpassent pas y/ — 2 A, et à chaque valeur de %

on fera correspondre une valeur de 13, représentée par le nombre

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complexe x-\-y sj — \] x^ y constituant une solution de la con-

gruence

^2^^2 = A (modJV)

et tel qu'on ait en valeur absolue

2^^ 21, iy'^%.

Quant à €, on le déterminera par la relation

|3|lo-^C= A,

qui fournira toujours une valeur entière. Mais s'il arrive qu'on obtienne par là quelques formes dans lesquelles € soit <C il, elles seront à rejeter, et les autres seront évidemment des formes réduites. Considérons par exemple le cas de A = — i , on aura la seule valeur ^=i, d'où 15 = 0 et, par suite, €=1; ainsi, toutes les formes / d'invariant — i sont réductibles par le genre spécial de substitutions que nous considérons ici à la seule forme

VVo + UUo.

Ce résultat va nous conduire très simplement au théorème de Jacobi sur le nombre des représentations d'un nombre entier impair quelconque par une somme de quatre carrés.

i*^ Dans la théorie des formes f un nombre impair quelconque M est représentable par la forme r^o + uuq.

Nous avons établi en effet que la congruence

x2 f-j/2 = — f (mod M)

est toujours résoluble pour tout module impair. Or toutes les formes

F = MVVo -f- (^ + JK /^ VUo + {x -y ^/~~l) Y, U -i- •!— 1^1— -^ UUo,

ayant pour invariant — i, seront équivalentes à la réduite unique ç'^o -H uuq^ que nous avons trouvée dans ce cas. Cela étant, soit

P = aV-i-6U,

«.Vo-

-^jU„,

M= cY^dV,

Uo ~-

CoV,^

Hf/ol'o

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une quelconque des substitutions au déterminant ad — bc=^i^ qui donnent

on trouvera

M = aaQ -H ccq\

ce qui constitue une représentation d e M par la forme ^^o "+" ^^o? qui est une somme de quatre carrés quand on la considère par rapport aux variables réelles.

Mais, comme conséquence de la théorie des formes/, cette représentation possède ce caractère tout particulier que les deux entiers complexes a et c sont premiers entre eux. Nous sommes amenés par là à cette conclusion (') :

Tout nombre impair est décomposable en quatre carrés et, parmi ces décompositions ^ il en existe toujours de telles que la somme de deux carrés soit sans diviseurs communs avec la somme de deux autres.

2° Nous allons actuellement nous servir des propositions établies dans ce Mémoire, pour obtenir l'expression générale du nombre de toutes les représentations de cette espèce.

Représentons cette expression par ç(M). Des théorèmes établis (§ VI) résulte qu'en désignant par u. le nombre des solutions

de la congruence

.^2|^2=^i (modM),

et par S le nombre des transformations en elle-même de la forme

vVq -h uuq^ on aura

cp(M) == [jl8.

Or nous établirons dans la suite de ces recherches que S == 8, de sorte que si l'on fait

on trouvera

Ainsi, dans le cas où M ne renferme qu'à la première puissance des

(*) En réalité M. Hermiie n'établit pas la proposition énoncée, car a et c étant premiers entre eux, il n'en est pas nécessairement de même pour aa^ et cCf^. Le théorème est cependant probablement exact. E. P.

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26o ŒUVRES DE CHARLES HERMITE.

nombres premiers ^ — i (mod 4)? <^ii ^i^ir^

et la formule devenant

cp(M) = 8(7? + i)(;?iH- l). . . (/?a)+ 0,

on voit apparaître la fonction remarquable qui donne la somme de tous les diviseurs de M. Mais alors on reconnaît de suite qu'il ne peut j avoir d'autres décompositions de M en quatre carrés, que celles qui résultent des représentations propres de M dans la théorie des formes / par ^(^0+ "^^o- Donc, en désignant par <Ï)(M) l'expression générale de toutes les représentations de M par une somm e de quatre carrés, on aura dans ce cas :

*(M) = cp(M)==8(/?4- I)(/?i-l- l)...(/?a) + l),

comme Jacobi l'a trouvé par la théorie des fonctions elliptiques .

3' Pour arriver en général à la détermination de ^(M), il nous faut recourir aux représentations impropres de M, par la forme çi^Q + ua^i. Ces représentations ont lieu en faisant

k étant le plus grand commun diviseur des nombres complexes a et (\ De là résulte

par conséquent, M est divisible par Mo, et la substitution fournit une représentation propre du nombre jj- par la forme

uUq, Ayant ainsi trouvé les valeurs

on en déduira celles où k est le plus grand commun diviseur de (^

et Uj en prenant

V = kg, ç^^=kogo,

u = kh, Uq = ko ht).

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De là nous pouvons facilement conclure toutes les décompositions

possibles d'un nombre en quatre carrés.

Soit, en effet,

Si, par exemple, les deux sommes m^ + m'^ et m'^^ + m"^^ ont un diviseur commun, on sait par la théorie des formes binaires qu'il sera nécessairement une somme de deux carrés; donc, le plus grand commun diviseur m sera lui-même de la forme m = a^ -j- (3-^ et la décomposition considérée résultera d'une représentation propre

de — -, par la forme (^^n + uuçs*

4° Ces considérations bien simples nous conduisent à exprimer la fonction 0(M) qui désigne le nombre de toutes les représentations de M par une somme de quatre carrés au moyen de la fonction cp(M). Soient, en effet, m,, m^, . . ., mi les différents diviseurs de M qui sont décomposables en deux carrés; uii, 0.3, ..., [jl/ les nombres de représentations de chacun de ces diviseurs par une pareille somme ; on aura

<I>(M) = ,..cp (I-) + ^,cp (H j +.. .^ ^,ç (|.

Cette relation va nous donner le théorème de Jacobi, que nous allons établir dans le cas où les nombres premiers qui divisent M n'y entrent qu'à la première puissance.

Décomposons à cet effet M en deux facteurs, P et Q, le premier formé du produit pp^ • . • /^w des nombres premiers

^4- I (mod 4)

le second du produit qq^ • • . ^cr des nombres premiers

= — I (mod 4)-

Les diviseurs décomposables en deux carrés, et désignés dans la relation précédente par la lettre m, seront, comme on sait, les divers termes du développement

Or il résulte de la théorie des formes binaires que, pour un divi-

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202 CCUVRES DE CHARLES HERMÏTE.

seuT m, composé de X facteurs premiers, le nombre p, correspondant sera 2^.

L'expression de ç(M) peut donc s'écrire ainsi

-f- 22 L ( ) -f- 9 (i-) +..,4-cp( )

L KppiPi/ \pp\p-J \\più-2Pi^-ipu>/ A

Cela posé, d'après ce que nous avons obtenu précédemment en général,

9(M) = 8(/? ^ I) (/?i -^ f). . ,(jDa, — 0 (^ -^-0 (^1-+- 0- • -(^CT + 1) ;

d'où l'on conclut les relations

^ \ppiP2J {p — 0 (/?i - 0 (/>2 —

de sorte que l'expression de <1>(M) prend cette nouvelle forme

<î>(M)=<p(M)ri+2y— !— -t-2'-'v , — -^ — r

les signes N désignant successivementla somme des quantités 1

la somme de leurs produits deux à deux, trois à trois, etc. Or il est évident qu'on a ainsi le développement du produit

\ /^ — 1/ V Pi— 1/ V /?w— 1/

qu'on peut ramener à

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Nous obtenons donc , en supprimant le facteur commun

(/^ — l)(/^l™0---(/^co — ï),

ce qui est précisément le théorème de Jacobi.

Pour le cas plus compliqué où; le nombre M contient des diviseurs premiers à des puissances quelconques, nous remettons à le traiter lorsque nous publierons la suite de ces recherches, dans l'espérance de la présenter d'une manière plus concise et plus élégante que nous ne pourrions le faire maintenant.

Paris, août i853.

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NOTE