LES FONCTIONS ALGÉBRIQUES
Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, tome XXXII, i85i.
1. Les propositions données par M. Puiseax, sur les racines des équations algébriques considérées comme fonctions d'une variable z^ qui entre rationnellement dans leur premier membre, me semblent ouvrir un vaste champ de recherches destinées à jeter un grand jour sur la nature analytique de ce genre de quantités. Je me propose de donner ici le principe de ces recherches, et de faire voir comment elles conduisent à reconnaître si une équation quelconque
est résoluble algébriquement, c'est-à-dire si l'inconnue u peut être exprimée par une fonction de la variable z, ne contenant cette variable que sous les signes d'extraction de racines de degré entier. Les théorèmes auxquels nous serons ainsi amenés donneront, et sous un point de vue entièrement nouveau, le beau résultat obtenu par Abel sur la possibilité d'exprimer algébriquement sin am ( - j par sinam(^). Je me borne ici à la question de la résolution par radicaux; plus tard je ferai, au même point de vue, l'étude des équations modulaires, et je montrerai comment les théorèmes de M. Puiseux conduisent à effectuer l'abaissement de ces équations dans les cas annoncés par Galois, dont les principes serviront d'ailleurs de base à tout ce que nous allons dire.
l'équation dont les racines, mises pour ^ dans l'équation proposée
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lui font acquérir des racines multiples; désignons ces diverses valeurs de z par
et^ après avoir tracé dans un plan deux axes rectangulaires, représentons-les par autant de points que nous nommerons respectivement
Zq, Zi, . . . , Z^i.
Soient enfin, pour un point quelconque P du plan,
Uq^ Ui, • • • , Uni—l')
toutes les racines de l'équation proposée; M. Puiseux, et c'est là une partie essentielle de ses recherches, a donné le moyen de trouver la substitution qui s'opère entre les valeurs initiales Uq^ w,, . . ., Um-\ des racines de la proposée, quand la variable z décrit un contour fermé partant du point P, et embrassant l'un des points Zq, Zi, ..., Zp(,i, pour revenir au même point P. Représentons symboliquement par S/ la substitution relative à un contour élémentaire comprenant le seul point Z/; on aura les théorèmes suivants :
Théouème f. — Toute fonction des racines u^ invariable par
les substitutions
So, Si, .... Sjj^.i,
pourra être exprimée rationnellement par la variable z\ et aussi la proposition réciproque.
Théorème II. — Toute fonction des racines u^ déterminable rationnellement en 5, est invariable par les mêmes substitutions
Le groupe des substitutions en question jouera donc précisément le même rôle que le groupe de l'équation irréductible en V de Galois.
Démonstration du théorème I. — Soit U la fonction des racines ?/oj Ux-j ..., Um-\') q^ii vérifie les conditions du théorème I; il est évident qu'on pourra toujours établir entre cette fonction et la variable z une équation rationnelle. En second lieu, si l'on fait décrire au point P un contour fermé quelconque, la fonction reprendra
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toujours la même valeur initiale; donc, d'après une remarque qui appartient encore à M. Puiseux, U est une fonction entièrement rationnelle de ^.
Démonstration du théorème II. — Toutes les valeurs que pourrait acquérir la fonction U, en appliquant aux racines Uq^ U\^ . . ., Urn-\^ les substitutions So, Si, . . ., ?>^-\^ sont autant de valeurs initiales qu'on obtiendrait lorsque le point P, ayant décrit un contour quelconque, serait revenu à sa position primitive; si donc la fonction U remplit les conditions du théorème II, c'est-à-dire si elle est rationnelle, ces valeurs seront toutes les mêmes; donc, etc.
3. Je vais maintenant faire voir, par un exemple très simple, une première application de ce qui précède.
Le degré de l'équation proposée F(?/, ^) = o étant un nombre quelconque m, supposons que les divers systèmes circulaires de M. Puiseux soient tous identiques en embrassant toutes les racines, ou bien qu'ils soient réductibles tous aux puissances d'une même substitution circulaire d'ordre m, suivant l'expression employée par M. Gauchy, l'équation proposée sera résoluble par radicaux relativement à z.
En effet, si l'on désigne par a une racine quelconque de l'équation binôme a"* = i , la fonction suivante
(i^j H- a Wi -j- a- W2 M-. . .-h a"^-i ii;„i)'«
reprendra toujours la même valeur initiale, quel que soil le contour fermé qu'ait décrit le point mobile P en revenant à sa première position; donc cette fonction sera déterminable rationnellement en z\ donc, etc.
4. Actuellement supposons que le degré m soit un nombre premier; la condition nécessaire et suffisante de solubilité par radicaux consiste en ce que toute fonction des racines invariable par les substitutions de cette forme spéciale, savoir :
\ Uak-^b
a et b étant tous les entiers pris suivant le module m^ ainsi que l'indice variable k\ soit rationnellement connue.
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Donc, d'après le théorème II, la condition nécessaire et suffisante de solubilité revient à ce que :
Les substitutions Si, S^, • • ., Sp(,i, données parles principes de M. Puiseux, soient toutes de la forme ci-dessous :
Uak-hb
Pour établir de la manière la plus simple la possibilité de la résolution par radicaux, je raisonnerai ainsi :
Posons
cp(a) — ( Wo H- awi -h «2 W2-i-. . .-h (x,"^-'^U;n-i)'" ;
et désignons par p une racine primitive pour le nombre premier m; en employant une racine ^ de l'équation [3''^""^ = i, nous considérerons la nouvelle fonction résolvante
et je dis que cette fonction est invariable pour toutes les substitutions
