SYSTÈME D'ÉQUATIONS SIMULTANÉES

Comptes rendus des séances de l' Académie des Sciences, tome XXXV, i852.

Le théorème de M. Sturm a pour objet de déterminer le nombre des racines réelles d'une équation à une inconnue, qui sont comprises entre deux limites données. Je me suis proposé, dans le Mémoire que j'ai l'honneur de soumettre à l'Académie, une question analogue pour deux équations simultanées, et qu'on peut énoncer ainsi : Considérant l'une des inconnues comme l'abscisse, et l'autre comme l'ordonnée d'un point rapporté à deux axes rectangulaires, déterminer le nombre des points auxquels correspondent des solutions des équations proposées, et qui sont compris dans l'intérieur d'un rectangle donné. Cette question se trouve résolue de la mrnière suivante. Désignons les sommets du rectangle parles lettres a^ bj c, d^ et supposons les côtés ab et ad respectivement parallèles aux directions positives des axes des abscisses et des ordonnées. On substituera successivement les valeurs numériques des coordonnées de ces quatre points à la place des lettres x et y, dans une certaine suite de fonctions de ces deux variables; et en désignant par A, B, C, D les nombres de variations que présente cette suite, lorsqu'on prend pour les variables les coordonnées des points a, 6, c, d^ on aura, pour le nombre cherché, la valeur

A — Bh-G — D

Ce résultat est, comme on voit, entièrement analogue à celui du théorème de M. Sturm ; cette analogie se maintient encore lorsque l'on considère trois équations simultanées au lieu de deux. Désignant alors les inconnues par x^ y, ^, on les regardera comme les coordonnées d'un point de l'espace rapporté à trois axes rectangulaires, de sorte qu'à chaque solution des équations proposées

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réponde un point déterminé. Cela posé, considérons un parallélépipède droit, dont les bases parallèles au plan des œy soient les rectangles abcd^ a' b' d d' . Nous supposerons les côtés ab^ ad parallèles aux directions positives des x et des ^', et les droites aa' ^ bb\ ce' ^ dd' parallèles à la direction positive de l'axe des z. Gela étant, le nombre des points représentant des solutions et compris dans l'intérieur de ce parallélépipède sera déterminé de la manière suivante :

Désignons respectivement par A, B, G, D, A', B^, G', D^ les nombres des variations que présente une certaine suite de fonctions de trois variables, lorsqu'on substitue à ces variables les valeurs Qumériques des coordonnées des points «, 6, c, d^ a\ b\ c\ d' ^ le nombre cherché sera donné par la formule

Il est remarquable qu'il existe un grand nombre de suites jouissant ainsi de propriétés semblables à celles des fonctions de M. Sturm, dans la théorie des équations simultanées. Voici la plus simple pour le cas de deux équations prises, si l'on veut, sous la forme

F(x) étant un polynôme entier, et <ï>(^) une fonction rationnelle de X.

Nommons ^i, ^2? •••? ^m les racines de l'équation F(^) = o, j^i, JK27 ''•■) fm les valeurs correspondantes de j', S/ la somme symétrique

et T/ la suivante

yi x\ -i- jK2^2 -^ . • --^ym^'m ;

le premier terme de la suite sera l'unité, et les autres les déterminants des systèmes

T„-S„jK Ti-S.^-

T2-S2J T3-S3r T3--S3JK T4 — S47

To-SojK Ti-Sij^

To — SojK Ti — SijK Ti - Si7 T^ - S2JK T2 - S2JK T3 — S3jr

etc.

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SYSTÈME d'Équations simultanées. 283

le dernier terme est le déterminant k m -\- i colonnes obtenu en continuant la même loi. En général, c'est au moyen de fonctions symétriques des racines des équations proposées que se trouvent immédiatement exprimées les fonctions analogues à celles de M. Sturm, et les propriétés de ces fonctions sont déduites de leur loi même de formation. L'Idée d'introduire ainsi explicitement les racines est due à M. Sylvester, qui, le premier, a montré comment elles entraient dans la composition des fonctions de M. Sturm; M. Cayley a fait voir ensuite avec élégance comment les propriétés élémentaires des déterminants permettaient de transformer les premiers termes des formules de M. Sylvester en d'autres qui contiennent seulement les sommes des puissances semblables des racines (^). Ce sont aussi des expressions analogues à ces sommes, pour le cas de deux équations simultanées, qui figurent dans nos formules et qui les rapprochent de celles du savant géomètre. Mais le fait le plus important qui ressort de mes recherches consiste dans l'existence d'une infinité de fonctions possédant les propriétés de celles de M. Sturm, pour une ou plusieurs équations. Cela ouvre la voie à des recherches importantes, sur lesquelles je pourrai peut-être revenir dans une autre occasion; je me bornerai pour le moment à cette remarque, que les conditions de réalité des racines d'une équation à une inconnue peuvent s'exprimer uniquement à l'aide des fonctions rationnelles des coefficients qu'on nomme hyper dé ter minant s ou invariants.

(') Tomes IX et XIII du Journal de Mathématiques de M. Liouville.

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