LE THÉORÈME DE M. STURM

Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, tome XXXVI; i853.

En représentanl par V = o une équation quelconque de degré m^ dont les racines soient a, b, . . ., kj l, etpar V^, Vo, . .., Y m la suite des fonctions de M. Sturm, on a, d'après le beau théorème de M. Sylvester, les expressions

V3 Y {a — byia — cY{b -~ c)^

V ~ jUL {X ~-a){X'-~b){x~- c)

J'ai remarqué qu'en désignant par A, B, . . ., K, L des fonctions rationnelles semblables de a^ b^ . . . , k, l, de telle sorte que

les nouvelles fonctions

Vi^ ^ Y -

V jLdx —

V jU{x — a)(x — b)' \^s V^ (A-B)2(A-G)2(B-G)2

^, ^ (A — B)MA — G)--...(K-L)^ V - {x — a){x — b)...(x — l)

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THEOREME DE M. STURM.

ont les mêmes propriétés que celles de M. Sturm. Ainsi l'on a cette proposition : Pour une valeur réelle de x^ le nombre des termes positifs de la suite

y' V/ V^' *■" Vn.-l

représente le nombre des couples de racines imaginaires de L'équation

augmenté du nombre des racines réelles moindres que x. Le nombre des termes négatifs serait le nombre de couples des racines imaginaires, plus le nombre des racines réelles supérieures à x. De là se tire immédiatement le théorème de M. Sturm, sous la forme que lui a donnée l'illustre géomètre; mais les énoncés précédents sont ceux que fournit d'abord la méthode que j'ai suivie.

En considérant deux équations à deux inconnues dont les solutions simultanées, en nombre m, soient

je désigne d'une manière analogue par A, B, . . ., K, L, des fonctions rationnelles semblables de ces solutions, de sorte que

x\ =r cp(a, rt'), B = cp(Z>, ^'),

L = cp(/, /').

Gela étant, les expressions suivantes, fonctions rationnelles symétriques de ces solutions, savoir :

U Jd(x — a)(

lJ3 y . (A-B)^(A

^)ir — f^'){x — c){y — c')

et, en dernier lieu.

(A - B)nA — G)^..(K — L)2

U ix — a){y — a'){x—b){y — b')...{x^l){y — t')

donnent lieu à cette proposition :

Pour un système donné de valeurs réelles de x et y^ le nombre

des termes positifs de la suite

représente le nombre des couples de solutions imaginaires, augmenté du nombre des solutions simultanées réelles x ■=z a^ y= a\ pour lesquelles {x — a) {y — a') est positif. Le nombre des termes négatifs serait le nombre des couples de solutions imaginaires augmenté du nombre des solutions réelles^ pour lesquelles [x — <^) {y — ^0 ^'^^ négatif.

D'après cela, si l'on représente par (.r, y) le nombre des termes positifs de notre suite, on trouvera très aisément que le nombre des solutions simultanées réelles, pour lesquelles on a à la fois

7>ro, y<yu

est donné par la formule

Ces nouvelles fonctions auxiliaires sont plus simples que celles auxquelles j'étais arrivé dans un précédent Mémoire ; elles n'exigent point que l'on connaisse d'avance si, à une valeur de l'une des inconnues, correspond une seule ou plusieurs valeurs de l'autre inconnue. Dans le cas des solutions égales, elles se comportent comme celles de M. Sturm; la dernière fonction LJ^,ï s'évanouissant, toutes les autres U, Ui, Uo^ . • • acquièrent un facteur commun, tel que i^x — Ci) {y — ^')', 6t, après la suppression de ce facteur, la nouvelle suite présente, avec un terme de moins, exactement la même composition analytique et les mêmes propriétés que l'ancienne. On peut aussi démontrer que trois fonctions consécutives sont liées par une relation de la forme

PU/ + QU/^i 4- RU,+. = o,

où les coefficients extrêmes sont des carrés, de sorte qu'en général, si une fonction s'évanouit, la précédente et la suivante sont de signes contraires. Mais c'est là une conséquence et non le principe de ma méthode, qui repose sur quelques propriétés élémentaires

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