NOMBRE EN QUATRE CARRÉS

Comptes rendus des séances de V Académie des Sciences, tome XXXVll: i853.

Des recherches sur les nombres complexes m'ont conduit à la démonstration suivante du théorème de Fermât sur la décomposition d'un nombre en quatre carrés, que je vais exposer en peu de mots.

Désignant par A un nombre entier impair ou impairement pair, nous commencerons par établir la possibilité de la congruence

57^ -f- j^ H- I ^ o (mod A).

A cet effet, soit d'abord

k = i (mod 4),

£ représentant + i ou — i ; la progression arithmétique ayant pour terme général

ne contiendra que des nombres ^ i (mod 4)? puisque

2sA — 1SE2E2 — I EEE I (mod 4).

J'observe ensuite que le premier terme asA — i et la raison 4 A sont premiers entre eux, car, de ces deux nombres^, l'un est pair, l'autre impair, et la relation

montre qu'ils ne pourraient avoir d'autre diviseur commun que 2. Donc, d'après le théorème démontré par M. Dirichlet, cette progression contiendra une infinité de nombres premiers qui seront ^ I (mod 4) et, par suite, décomposables en deux carrés. On pourra

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