NOMBRE EN QUATRE CARRÉS

faire ainsi, pour une infinité de valeurs de z,

d'où l'on conclura

^2 |j^2 ^ I ^ o (modA).

Soit, en second lieu, A^ 2 (mod 4); tout ce qui précède subsistera relativement à la nouvelle progression arithmétique, ayant

pour terme général

iAz-{~A — 1 .

Ainsi la possibilité de la congruence

^2 |j^2 | I = o (modA)

se trouve établie pour tout module impair, ou double d'un nombre impair.

Considérons maintenant la forme quadratique définie à quatre indéterminées

/= (A^-h a^4- pw)2H-(AjK— ^z-i- (xuy -{-z^-h u^, où les nombres entiers a et [3 satisfont à la condition

a2-4- j32 t , =^0 (modA).

L'mvariant A de cette forme sera en valeur absolue A^ ; donc, si l'on cherche son minimum pour des valeurs entières des indéterminées, on trouvera, d'après un théorème que j'ai donné en gé-

néral, un nombre au-dessous de la limite / 1 V^A, et, par suite,

moindre que 2 A. Mais il est aisé de reconnaître que les nombres représentables par /sont nécessairement des multiples de A; donc ce minimum ne peut qu'être A lui-même, qui se trouvera ainsi décomposé en une somme de quatre carrés.

Dans un de mes Mémoires (^) sur la théorie des formes quadratiques, publié dans le Journal de Crelle, on pourra voir comment l'analyse précédente conduit à l'expression du nombre de toutes les décompositions possibles, que M. Jacobi a obtenu le premier par la théorie des fonctions elliptiques.

(') Voir p. 259 et suivantes de ce Volume. E. P.