SECTION II
Conséquences de la loi de réciprocité.
Nous considérons en premier lieu les invariants, qui sont un cas particulier des covariants, lorsqu'on suppose leur degré nul par rapport aux indéterminées x et y. La connaissance complète que
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nous avons des invariants des formes du second, troisième et quatrième degré, nous donnera alors immédiatement, pour des formes de degré quelconque, les invariants qui sont du second, troisième et quatrième degré par rapport aux coefficients de ces formes. Ainsi, les formes quadratiques
/= ax'*- -+- ihxy h- cjk^ = a{x ^ aj) {^x -\- od y)
ont pour expression générale de leurs invariants la fonction de degré 2 a,
A = {b-^ — acy^^ ^ (a — a')^lJ',
donc, toutes les formes de degré 2 ml possèdent un invariant quadratique, que nous allons calculer. Soit pour cela
en représentant symboliquement cette forme, suivant notre convention, par
F = (XX0-+- x'x; 4-. . .4- x(2ix)x<^2[x))2^
on trouvera bien aisément
Maintenant, il viendra par le développement de la puissance
H- {jL2(a2{A-2a'2H-a'2{^-2a2) —...],
en rapprochant les termes équidistants des extrêmes, et nommant, pour abréger, [x,, 1x2, ... les coefficients binomiaux. Gela fait, on peut immédiatement introduire les coefficients de F, et il viendra
22^A=.2(XoX-2|x))2^^(x;x(^^-i)) + 2(ji,(X2X'^i^-2))-...,
le dernier terme qui seul ne contient pas en évidence le facteur 2
étant
(-,)[^|Xj,(Xf Xf).
Or tel est l'invariant quadratique de la forme
Xo;r2F'-f- ^iXi.r2(/.-ij-f- jj.2XJ;r2{^-2j2 ^. ..-hX;f{x)^2tj.^
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dont M. Cayley le premier a fait la découverte. Les formes cubiques
f — ax^ -h 3 hx'^y -+- 3 cxy'^ -\- dy^^ ont pour invariants la fonction de degré 4 [^,
donc, toutes les fonctions du degré \^^ et celles-là seules, possèdent un invariant du troisième degré. Le théorème conduirait, si l'on ne le connaissait pas déjà, à l'invariant cubique des formes biquadratiques
f = ax^ -f- 4 hx^y -+- 6 cx'^y'*-' -t- 4 dxy^ 4- ey'*. Nous avons d'ailleurs l'invariant quadratique
A = ae — 4 hd -\-li c^, et, si nous posons
A' = ace -h 1 bcd — ad^ — c^ — h'^-e^
les invariants des formes biquadratiques s'exprimeront par des sommes de termes de la forme
OÙ 2 m -h 3 Al a la même valeur qui est le degré de l'invarianl, comme l'a démontré M. Sjlvester. Donc, toutes les formes de degré [ji = a m -H 3 ai possèdent des invariants du quatrième degré distincts en nombre égal à celui des solutions entières et positives de cette équation >^^im-\-Zn. C'est là encore un des beaux résultats obtenus par M. Cajley dans son Mémoire sur les hyperdéterminanls. Mais les conséquences de la loi de réciprocité, dont j'aurai besoin principalement dans la suite, se rapportant aux covariants, j'y arrive immédiatement en omettant beaucoup de remarques auxquelles les résultats précédents donneraient lieu. Considérant d'abord les formes quadratiques
f = ax^ -h 2 bxy -h cy^,
nous avons cette expression générale de leurs covariants, savoir :
* = 22(^(62 — ac)V'{ax^ -\- 'ibxy -\- cy^y
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de degré 2[jl-|- v par rapport aux coefficients de /. Donc, faisant
2[ji. -h V == m,
nous aurons autant de covariants du second degré par rapport aux formes de degré m qu'il y a de solutions entières et positives de cette équation. D'ailleurs, le nombre av représente le degré de chacun de ces covariants en x et y. Dans le cas où m est impair, et dans ce cas seulement, on peut faire v = i ; on est alors conduit à un covariant du second degré en x etjK, dont nous allons donner l'expression générale à cause de son importance. A cet effet, posons
de sorte que
A = a2l^+i(a — a')2l^, B ^ a2[J.+i(a — a')2l^ (a -l- a'), G == a3{A-f-i(a a')2[Aaa';
il s'agira d'exprimer ces diverses quantités au moyen des coefficients de la forme
F = «'^(X-f- aX'+ a2X"-h...-+- a'^X('^^))(X •+• a'X'-f- a'2X"-i-...-H «''«X^'»^)^
coefficients dont nous avons précédemment employé les valeurs, savoir :
Or, on trouve immédiatement A et C par le même calcul qui nous a donné l'invariant quadratique des formes de degré pair, savoir
A - 2(X(,'«-i)Xo) - 2|jii(Xi,— ^^x;) + 2Hi2(Xi,— 3)x;) -. . ., c = 2(x(-'x;) -2(ji,(Xi,— i)x-) + 2pL2(Xi,— 2)x';)^...;
quant à B, après quelques réductions très faciles, on obtiendra
B = 2(xi,-)Xo)^2(fxi~-F)(xr-^^x;)-h2(|x,^iJLi)(X(— 2)x';)-...,
le dernier terme étant
2(-,)!^(,.(,-î.j,,)(xir«'x<f).
Pour les formes cubiques
f = ax^ -+- 3 bx^y -\- 3 cxy'^ -4- dy^^
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nous avons le covariant quadratique
{h^- — ac) x^- -^ {bc — ad) xy-h(c^ — bd)y^,
que donneraient les formules précédentes; mais, en le multipliant par une puissance [jl de l'invariant du quatrième degré, on obtient un covariant du degré 4 [^ + 2 par rapport aux coefficients de /; donc, toutes les formes de degré 4^^ + ^ ont un covariant quadratique en œ et y, et du troisième degré par rapport à leurs coefficients. Cette conclusion, à laquelle il eût peut-être été difficile de parvenir par une autre voie, nous révèle ainsi l'existence d'un covariant quadratique pour toutes les formes dont le degré n'est pas un multiple de 4- Ces dernières, comme nous pourrons l'établir plus tard, possèdent elles-mêmes un covariant quadratique du cinquième degré par rapport à leurs coefficients, les seules formes biquadratiques exceptées. Les considérations dans lesquelles nous allons entrer vont montrer la grande importance de ces covariants quadratiques.
SECTION m.
Des formes canoniques.
Soit f(x, y) une forme pour laquelle on ait reconnu l'existence d'un covariant du second degré en xely.
Posons
