A = B2 — 4AG

il existera, comme on sait, une infinité de substitutions, au déterminant urij propres à faire disparaître les coefficients des carrés des indéterminées et à réduire cp à l'expression suivante

± XY y/Â.

l'une quelconque de ces substitutions; toutes les autres s'en dé-

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3o4 OEUVRES DE CHARLES HERMITE.

duiront, comme on sait, en la faisant suivre de substitutions de la forme suivante

(2) X^co-r^, Y=^~ij,

OÙ (i) est une quantité arbitraire. Cela posé, nous définirons comme forme canonique de /{oc^ y) la transformée qui en résulte par la substitution (i). Cette forme canonique contiendra essentiellement dans les coefficients une quantité arbitraire (^) qu'on mettra en évidence, si l'on veut, en j faisant la substitution (2). Mais posons d'abord

/(aX+pY, YXHhaY)=.F(X,Y);

nous aurons cette proposition fondamentale :

Toute fonction entière des coefficients de¥ ^ qui se reproduit identiquement dans la transformée obtenue par la substitution (2), est une fonction rationnelle des coefficients de la proposée f{x^ y), le dénominateur de cette fonction étant une puissance de A, et le numérateur un invariant de f. En second lieu, toute fonction qui se reproduit au signe près redonne, si on la multiplie par y/A, la même expression que les précédentes.

Voici donc le principe d'une nouvelle méthode pour la recherche des invariants, puisque tout invariant de la forme f{x^y) s'exprime par une fonction semblable des coefficients de la transformée F, qui possédera évidemment la propriété mentionnée dans notre proposition. Nous allons en faire l'application aux formes du cinquième degré.

(*) On aurait un second faisceau pour les formes canoniques en faisant dans une forme canonique particulière la substitution

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FONCTIONS HOMOGÈNES A DEUX INDÉTERMINÉES. 3o5